Teorema Steiner pada Garis singgung lingkaran

Teorema Steiner

Pada pembahasan kali lalu, kita telah mempelajari teorema Pitot mengenai hubungan lingkaran dengan bidang segi empat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung lingkaran tersebut. Pada kali ini kita akan membahas mengenai teorema lain yang berkaitan dengan hubungan tersebut, yakni teorema Steiner. Perbedaan antara teorema Steiner dengan teorema Pitot terletak pada kedudukan lingkaran tersebut terhadap bidang segiempatnya. Pada teorema Pitot, lingkaran berada di dalam bidang segiempat. Sebaliknya pada teorema Steiner, lingkaran berada di luar bidang segiempat tersebut. 

• Teorema 1

Jika terdapat segiempat ABCD dimana setiap sisinya merupakan garis yang bersinggungan dengan sebuah lingkaran di luar segiempat tersebut maka berlaku rumus AB - CD = AD - BC 

 

Bukti:

Kasus 1

Misalkan titik P, Q, R, dan S masing-masing adalah titik singgung garis AB, AD, BC dan DC pada lingkaran. Maka pada gambar nampak bahwa

AB = AP - BP

AD = AQ - DQ 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - AD = (AP-BP) - (AQ - DQ) ....... persamaan 1

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BR 

DS = DQ

CR = CS

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 1 diperoleh

                                                     AB - AD = (AP - BP) - (AQ - DQ)

                                                     AB - AD = (AQ - BR) - (AQ - DS)

                                                     AB - AD =       DS       -       BR

                                                     AB - AD = (DC + CS) - (BC + CR)

                                                     AB - AD = (DC + CS) - (BC + CS)

                                                     AB - AD =        DC      -        BC 

                                           AB - DC =        AD      -        BC 

 

Dengan demikian terbukti 

Kasus 2

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung garis AB, AD, CD dan CB seperti gambar berikut:

Pada gambar nampak bahwa :

AB = AP - BP

AD = AQ - DQ 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - AD = (AP-BP) - (AQ - DQ) ....... persamaan 2

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BS 

DR = DQ

CR = CS

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 2 diperoleh

                                                  AB - AD = (AP - BP) - (AQ - DQ)

                                                  AB - AD = (AQ - BS) - (AQ - DR)

                                                  AB - AD =       DR      -       BS

                                                  AB - AD = (CD - CR) - (BC - CS)

                                                  AB - AD = (CD - CS) - (BC - CS)

                                                  AB - AD =       CD      -       BC 

                                                  AB - CD =       AD      -       BC

Dengan demikian terbukti

• Teorema 2

Jika titik A, B, C, D dan E masing-masing merupakan itik potong 4 garis singgung lingkaran di luar lingkaran tersebut seperti nampak pada gambar di bawah ini, maka AB - CD= BC - AD

 

Bukti

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung garis AB, AD, CD dan CB seperti gambar berikut:

Pada gambar nampak bahwa :

AB = BP - AP

CD = DR - CR 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - CD = (BP - AP) - (DR - CR) ....... persamaan 3

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BS 

DR = DQ

CS = CR

SE = EQ

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 2 diperoleh

                                                  AB - CD = (BP - AP) - (DR - CR)

                                                  AB - CD = (BS - AQ) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = ((BC - CS) - (AD - DQ)) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = (BC - CS - AD + DQ) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = BC - AD 

==== Selamat Belajar ====