Altissima: Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga.

Jumat, 28 Januari 2022

Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga.

Menentukan Panjang Jari - Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga


Setelah kita membahas materi tentang sabuk pada lingkaran, kali ini kita akan mempelajari materi mengenai bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dimana tiga titik pada lingkaran tersebut masing-masing menyinggung sisi-sisi pada segitiga. Pada pembahasan kali ini. kita akan mengenal istilah jari-jari lingkaran dalam segitiga dan jari-jari lingkaran luar segitiga. Namun sebelum kita mengenal lebih jauh mengenai hal itu, kita akan diperkenalkan terlebih dahulu teknik menghitung luas segitiga bila diketahui panjang ketiga sisinya.


A. Menentukan Luas Segitiga Bila Diketahui Panjang Sisi-Sisinya.


 Perhatikan gambar berikut ini:


Gambar di atas menunjukan bahwa segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = c, AC = b dan BC = a. Jika kita menarik garis tegak lurus BC dan melalui A, maka akan didapatkan titik potong garis tegak lurus tersebut dengan garis BC. Misalkan saja titik potong tersebut adalah D. Apabila kita andaikan panjang BD = x, maka panjang CD = a - x. Dengan demikian berdasarkan rumus Phtagoras kita dapatkan:

t2=c2x2   dan  t2=b2(ax)2 ........ persamaan 1

jika kita subtitusikan kedua persaman tersebut maka kita akan mendapatkan   

                c2x2=b2(ax)2 

                c2x2=b2a2+2axx2

                c2b2+a2=2ax

                x=c2b2+a22a

kita subtitusikan persamaan terakhir ke dalam bagian pertama persamaan 1 didapat

                 t2=c2x2

                 t2=c2(c2b2+a22a)2    ingat      p2q2=(pq)(p+q)     

                 t2=(c+c2b2+a22a)(cc2b2+a22a)

                 t2=(2ac+c2b2+a22a)(2ac(c2b2+a2)2a)

                 t2=(c2b2+a2+2ac2a)(c2+b2a2+2ac2a)

                 t2=(c2+2ac+a2b22a)(b2(c22ac+a2)2a)

                 t2=((c+a)2b22a)(b2(ca)22a)

                 t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(b(ca))2a) 

                 t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(bc+a))2a)  ..... persamaan 2


Sekarang misalkan s=12×keliling ABC=12(a+b+c), maka

                 a+b+c=2s       c+a=2sb      a+b=2sc       b+c=2sa   ..... persamaan 3

Sehingga dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

                t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(bc+a))2a)  

               t2=((s)((2sb)b)2a)(((2sa)a)((2sc)c)2a)  

               t2=((2s)(2s2b)2a)((2s2a)(2s2c)2a)  

              t2=(2(2s)(sb)2a)(2(sa)2(sc)2a)  

              t2=(4(s)(sb)(sb)(sa)a2)  

              t=2a(s)(sb)(sb)(sa)  

Karena Luas ABC=12×a×t, maka dari persamaan terakhir diperoleh

               Luas ABC=12×a×2a(s)(sb)(sb)(sa)

               Luas ABC=(s)(sb)(sb)(sa)

            
Dengan demikian kita sudah dapat menyimpulkan bahwa

Rumus :

" Jika sebuah segitiga memiliki panjang sisi masing-masing adalah a, b dan c, maka luas segitiga tersebut adalah 

               Luas =s(sa)(sb)(sc)        dimana s=12×(a+b+c)


B. Jari-jari Lingkaran  Dalam Segitiga


Sekarang perhatikan gambar berikut ini


Pada gambar di atas nampak a, b, dan c adalah panjang sisi masing-masing segitiga. Setiap sisi segitiga tersebut bersinggungan dengan sebuah lingkaran yang terdapat pada segitiga tersebut. Kita akan menunjukan hubungan antara luas segitiga, panjang sisi segitiga dan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut.

Perhatikan bahwa segitiga ABC terbagi dalam 3 buah segitiga yakni : AOB.AOC  dan  BOC. Jari-jari lingkaran yang terdapat di dalam ABC  merupakan tinggi dari setiap segitiga tersebut. Dengan demikian 

Luas ABC= luas AOB + luas AOC + luas BOC

                   Luas ABC=12.c.r+12.b.r+12.a.r

                   Luas ABC=12r.(a+b+c)

karena (a+b+c) = 2s dan luas segitiga  =s(sa)(sb)(sc)  maka kita dapatkan 

                   Luas ABC=12r.(a+b+c)

                   Luas ABC=12r.2s


                   r=luasABCs=s(sa)(sb)(sc)s


Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

"Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga dibagi setengah dari keliling segitiga, yakni:

  r=luasABCs=s(sa)(sb)(sc)s

C. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga


Untuk memahami jari-jari lingkaran luar segitiga, kalian bisa mengamti gambar berikut ini:


Gambar di atas menunjukan bahwa sebuah segitiga ABC berada di dalam lingkaran yang berjari-jari. Setiap sudut dari ABC menyinggung lingkaran yang berpusat di O. Panjang sisi AB=c,BC=a dan AC=b. Kita akan menentukan apakah ada hubungan antara jari-jari lingkaran dengan panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Sebagai gambaran awalny, coba kalian membuat garis AD yang tegak lurus dengan garis BC. Kemudian kalian buat perpanjangan garis AO sampai memotong lingkaran di titik E. Maka kalian akan mendapati gambar seperti berikut ini:


 
Kalau kalian amati, AE merupakan diameter lingkaran dan ACE merupakan sudut keliling yang menghadap busur AE.  Berdasarkan sifat sudut keliling dan sudut pusat,  maka kita dapatkan:

ACE=12×AOE=12×180o=90o

kemudian perhatikan ABC dan AEC. Kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yakni AC. Maka berdasarkan sifat semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kita dapatkan

ABC=AEC

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa ABD sebanding dengan AEC sehingga berlaku hubungan perbandingan yakni:

AEAB=ACAD

2rc=bAD         sebab AE adalah diameter lingkaran


AD=b×c2r  ............... persamaan (i)

Sekarang kita amati kembali ABC. Dengan mensubtitusikan persamaan (i) maka kita dapatkan luas segitiga tersebut adalah

Luas ABC=12×BC×AD=12×a×(b×c2r)=a×b×c4r

atau

r=a×b×c4×luasABC=a×b×c4s(sa)(sb)(sc)

untuk  s=12×(a+b+c)

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa
"Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perkalian sisi-sisi segitiga dibagi dengan 4 kali luas segitiga tersebut, yakni :

r=a×b×c4×luasABC=a×b×c4s(sa)(sb)(sc)

untuk  s=12×(a+b+c)




===== Selamat Belajar =====















Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...