Teorema Pitot pada garis singgung lingkaran

Teorema Pitot pada Garis Singgung Lingkaran

Pada pembahasan sebelumnya, kalian terlah mempelajari kharakteristik dari garis singgung lingkaran beserta beberapa teorema yang mengikutinya. Pada pembahasan kali ini, kita juga akan diperkenalkan dengan beberapa teorema lain yang berhubungan dengan garis singgung pada lingkaran. Salah satu teorema yang cukup terkenal adalah teorema Pitot, Dalam ulasannya Pitot mengaitkan hubungan diantara panjang ruas segiempat yang setiap garis pada sisi segiempat bersinggungan dengan lingkaran yang terdapat di dalam segiempat tersebut. 

A. Segitiga Sama Kaki dan Garis Singgung Lingkaran

Jika $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga di dalam lingkaran dan garis m adalah garis singgung lingkaran di titik A, maka $\bigtriangleup ABC$ merupakan segitiga sama kaki jika garis m sejajar dengan garis BC.

hubungan garis singgung lingkaran dan
segitiga sama kaki di dalam lingkaran

 B. Teorema Pitot

• Teorema 2

Jika setiap sisi segitiga ABC menyinggung lingkaran yang berada di dalam segitiga tersebut dan titik P adalah titik singgung pada sisi AC, maka berlaku rumus AC + PB = BC + AP

Bukti:

Misalkan titik Q dan R masing-masing merupakan titik singgung sisi AC dan BC pada lingkaran seperti pada gambar berikut:

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

QC = RC

AQ = AP

PB = BR

Jika ketiga persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh 

AQ + QC + BP = BR + RC + AP

AC + PB = BC + AP 

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

 

• Teotema 2

Jika segiempat ABCD merupakan segi empat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung sebuah lingkaran (lingkaran berada di dalam segi empat), maka berlaku rumus AB +CD = AD +BC

Pada kasus 1

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung sisi AD, CD, BC dan AB seperti pada gambar berikut: 

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

AS = AP

SB = BR

CQ = RC

QD = PD

Jika keempat persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh 

AS + SB + CQ + QD = AP + PD + BR +RC

AB + CD = AD + BC 

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

Pada kasus 2 

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

AS = AP

SB = BQ

RD =PD 

Jika ketiga persamaan terakhir dijumlahkan maka persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh:

AS + SB + PD = AP + BQ + RD ...... persamaan (*)

Akan tetapi kita tahu  bahwa

CQ = RC  

BQ = BC + CQ

RD = RC + CD

Dengan mensubtitusikan tiga persamaan terakhir ke dalam  persamaan (*) , diperoleh :

AS + SB + RD = AP + BQ + PD

AB + RC + CD = AP + BC + CQ + PD

AB + CQ + CD = AD + BC + CQ

AB + CD = AD + BC

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

==== Selamat Belajar ====