Altissima: Latihan soal untuk menghadapi OSN 2022

Jumat, 14 Januari 2022

Latihan soal untuk menghadapi OSN 2022


Pembahasan latihan Soal Matematika
Persiapan Menghadapi OSN 2022

  1. Untuk polinom f(x)=2ax3+3bx2+6cx+d  (a, b, c, d konstanta real), jika a<0 dan D=b24ac>0, maka titik maksimum dari kurva f  tercapai di  (x0,y0) dengan x0=...> 

    Pembahasan: 

    Karena f(x) tidak memiliki titik ujung dan titik singular, maka titik kritisnya terjadi ketika                   f(x)=6ax2+6bx+6c=0                   
             ax2+bx+c=0   ...........................  persamaan (1)

    Karena D=b24ac>0, maka persamaan (1) memiliki dua solusi riil yang berbeda, yakni                x1=b+D2a            x1=bD2a  yang mana merupakan calon dari titik maksimum kurva f(x). Karena a<0, maka nilai maksimumnya terjadi ketika x0=x=bD2a yakni dititik: 

              (x1=bD2a,f(bD2a))


  2.  Diberikan persamaan kuadrat 2012x22011x+2010=0, memiliki akar-kar n dan w. Maka nilai dari (1+n+n2+n3+n4+)(1+w+w2+w3+w4+) adalah. …

    jawab :

    Perhatikan bahwa 

              2012x22011x+2010=0n+w=ba=20112012 dan n×w=ca=20102012

    1+n2+n3+n4+...=11n   dan 1+w2+w3+w4+...=11w

    dengan demikian

       (1+n+n2+n3+n4+)(1+w+w2+w3+w4+)=(11n)(11w)=11nw+n+w

                                                                                                            =11+20112012+20102012=20122011 

  3. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 × 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan N adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:
             • untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
             • untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap
    Nilai N adalah ...

    Pembahasan 

    Perhatikan bahwa dua bilangan memiliki jumlahan genap jika dan hanya jika keduanya memiliki paritas

    sama. Akibatnya, keempat bilangan yang diisikan pada tabel 2 × 2 tersebut harus genap semua atau harus ganjil semua.

           (i) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 1 atau 3 maka banyaknya cara adalah 24 = 16.

             (ii) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 2 maka banyaknya cara adalah 1.

    Jadi, diperoleh nilai N = 16 + 1 = 17.

  4. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ..

    Pembahasan
    Misalkan segitiga tersebut adalah segitiga ABC dimana garis bagi BE tegak lurus dengan garis berat CD, seperti tampak pada gambar di bawah ini

    gambar 1 


    Karena ∠C BE = ∠DBE dan BE⊥C D, akibatnya C BD adalah segitiga sama kaki dengan BC = BD. Jadi,  AB = 2BC.

    Misalkan pula panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, a + 1 dan a + 2 untuk suatu bilangan asli a.

    Terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu

    • BC = a dan AB = a + 1. Akibatnya a + 1 = 2a ⇒ a = 1. Jadi, diperoleh AB = 2, BC = 1 dan CA = 3. Akan tetapi, segitiga yang demikian tidak ada.

    • BC = a dan AB = a + 2. Akibatnya a + 2 = 2a ⇒ a = 2. Jadi, diperoleh AB = 4, BC = 2 dan CA = 3. 

    • (iii) BC = a + 1 dan AB = a + 2. Akibatnya a+2=2(a+1)a=0 Jelas ini tidak mungkin.

    maka keliling segitiga yang memenuhi syarat adalah 2 + 3 + 4 = 9 

  5. Buktikan bahwa untuk nϵN bentuk 5n4n1 akan habis dibagi 16.

    Pembahasan
    untuk n=1 jelas 5n4n1=0 adalah benar karena 0 habis dibagi dengan 16. Dengan demikian P(1) benar

    Andaikan asumsi tersebut benar untuk P(n) benar yaitu 5n4n1=16m untuk mϵZ. Akan ditunjukan bahwa pernyataan tersebut benar untuk P(n+1)

    P(n+1)=5n+14(n+1)1=5.5n4n5=5(5n4n1)4n5+(20n+5)=5.16m+16=16(5m+n)

    bentuk terakhir  merupakan kelipatan 16 sehingga 5n4n1=16m,ϵmathbbZ benar untuk semua nϵmathbbN

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...