Segi empat tali busur

        Kharakteristik Segiempat Tali Busur

        Segi empat tali busur merupakan segiempat yang titik sudutnya terletak pada lingkaran. Keempat ruas garis yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut merupakan tali busur pada lingkaran tersebut. Pada gambar di bawah ini, nampak bahwa garis $\overline {AB}, \overline {BC},\overline {CD}$  dan $\overline {AD}$ merupakan tali busur yang terhubung sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah segi empat ABCD dimana setiap sudutnya terletak pada lingkaran.

segiempat tali busur

Nah, pada pembahasan kali ini, kita akan diajak untuk memahami kharakteristik dari segiempat tali busur beserta beberapa teorema yang mengikutinya.

A. Sifat-sifat tali busur

Misalkan kita membuat 4 garis yang melalui titik pusat dan menuju ke masing-masing sudut pada segiempat ABCD seperti pada gambar berikut.

hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada segiempat tali busur

Perhatikan bahwa $\angle DAB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset{\frown}{DB}$. Dengan demikian berdasarkan  hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama didapat:

$\angle DAB =\frac {1}{2}\times \angle DOB=\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC)$ ..... persamaan 1

Tetapi kita juga melihat bahwa $\angle DCB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusat yang menghadap busur $\overset {\frown}{DB}$ pada arah yang berlawanan. Sehingga kita dapatkan juga

$\angle DCB =\frac {1}{2}\times \angle DOB=\frac{1}{2}\times (\angle DOA+\angle AOB)$ ..... persamaan 2

Tetapi kita tahu juga bahwa $\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB=360^o$ membentuk satu putaran penuh sehingga

$\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB=360^o$ ..... persamaan 3

Maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 kita dapatkan

$\angle DAB =\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC)$

$\underline {\angle DCB =\frac{1}{2}\times (\angle DOA+\angle AOB})$ + 

$\angle DAB +\angle DCB =\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB)=\frac{1}{2}\times 360^o =180^o$

 Hal sama bisa kalian periksa untuk $\angle ABC$ dan $\angle ADC$. Jika keduanya dijumlahkan maka akan didapat

$\angle ABC + \angle ADC =180^o$

Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa

jumlah dari dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah $180^o$

 B. Segiempat talibusur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran

Hal yang menarik akan kita amati pada segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran seperti gambar berikut ini:

tali busur persegi panjang

$\overline {AC}$  dan  $\overline {BD}$  masing-masing merupakan diameter lingkaran. Akan tetapi  demikian $\angle AOC$  dan $\angle BOD$ bernilai $180^o$ dan keduanya merupakan sudut pusat. $\angle AOC$ merupakan sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\angle ABC$  dan $\angle ADC$ sementara $\angle BOD$ merupakan sudut pusat sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\angle BAD$ dan $\angle BCD$. Dengan demikian kita peroleh

$\displaystyle \angle ABC=\angle ADC=\frac{1}{2}\times \angle AOC=\frac{1}{2}\times 180^o=90^o$

 

$\displaystyle \angle BAD=\angle BCD=\frac{1}{2} \times \angle BOD=\frac{1}{2}\times 180^o=90^o$

Maka kita mendapatkan fakta bahwa tali busur pada sudut yang saling berhadapan berada pada posisi saling tegak lurus satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu AB sejajar dengan CD dan AD sejajar dengan BC. Menariknya, ABCD membentuk persegi panjang. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Segiempat tali busur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan berbentuk persegi panjang.

 

C. Segiempat tali busur yang diagonalnya saling berpotongan tegak lurus di titik pusat lingkaran

        Lalu pertannyaan selanjutnya adalah bagaimana bentuk segiempat tali busur apabila diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. Untuk menjawab hal ini, perhatikan gambar berikut: 

tali busur persegi

Kalian bisa amati, bahwa bidang ABCD membentuk bidang persegi. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa 

segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang berpotongan tegak lurus di titik pusatnya membentuk bidang persegi. 

 ==== Selamat Belajar ====

\