Segi empat tali busur

        Kharakteristik Segiempat Tali Busur

        Segi empat tali busur merupakan segiempat yang titik sudutnya terletak pada lingkaran. Keempat ruas garis yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut merupakan tali busur pada lingkaran tersebut. Pada gambar di bawah ini, nampak bahwa garis $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD}$  dan $\overline{AD}$ merupakan tali busur yang terhubung sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah segi empat ABCD dimana setiap sudutnya terletak pada lingkaran.

segiempat tali busur

Nah, pada pembahasan kali ini, kita akan diajak untuk memahami kharakteristik dari segiempat tali busur beserta beberapa teorema yang mengikutinya.

A. Sifat-sifat tali busur

Misalkan kita membuat 4 garis yang melalui titik pusat dan menuju ke masing-masing sudut pada segiempat ABCD seperti pada gambar berikut.

hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada segiempat tali busur

Perhatikan bahwa $\mathrm{\angle }DAB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }DOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{DB}$. Dengan demikian berdasarkan  hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama didapat:

$\mathrm{\angle }DAB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC)$ ..... persamaan 1

Tetapi kita juga melihat bahwa $\mathrm{\angle }DCB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }DOB$ merupakan sudut pusat yang menghadap busur $\stackrel{⌢}{DB}$ pada arah yang berlawanan. Sehingga kita dapatkan juga

$\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB)$ ..... persamaan 2

Tetapi kita tahu juga bahwa $\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB={360}^o$ membentuk satu putaran penuh sehingga

$\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB={360}^o$ ..... persamaan 3

Maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 kita dapatkan

$\mathrm{\angle }DAB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC)$

$\underset{―}{\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB})$ + 

$\mathrm{\angle }DAB+\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB)=\frac{1}{2}\times {360}^o={180}^o$

 Hal sama bisa kalian periksa untuk $\mathrm{\angle }ABC$ dan $\mathrm{\angle }ADC$. Jika keduanya dijumlahkan maka akan didapat

$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ADC={180}^o$

Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa

jumlah dari dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah ${180}^o$

 B. Segiempat talibusur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran

Hal yang menarik akan kita amati pada segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran seperti gambar berikut ini:

tali busur persegi panjang

$\overline{AC}$  dan  $\overline{BD}$  masing-masing merupakan diameter lingkaran. Akan tetapi  demikian $\mathrm{\angle }AOC$  dan $\mathrm{\angle }BOD$ bernilai ${180}^o$ dan keduanya merupakan sudut pusat. $\mathrm{\angle }AOC$ merupakan sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\mathrm{\angle }ABC$  dan $\mathrm{\angle }ADC$ sementara $\mathrm{\angle }BOD$ merupakan sudut pusat sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\mathrm{\angle }BAD$ dan $\mathrm{\angle }BCD$. Dengan demikian kita peroleh

${\displaystyle \mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOC=\frac{1}{2}\times {180}^o={90}^o}$

 

${\displaystyle \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BCD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOD=\frac{1}{2}\times {180}^o={90}^o}$

Maka kita mendapatkan fakta bahwa tali busur pada sudut yang saling berhadapan berada pada posisi saling tegak lurus satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu AB sejajar dengan CD dan AD sejajar dengan BC. Menariknya, ABCD membentuk persegi panjang. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Segiempat tali busur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan berbentuk persegi panjang.

 

C. Segiempat tali busur yang diagonalnya saling berpotongan tegak lurus di titik pusat lingkaran

        Lalu pertannyaan selanjutnya adalah bagaimana bentuk segiempat tali busur apabila diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. Untuk menjawab hal ini, perhatikan gambar berikut: 

tali busur persegi

Kalian bisa amati, bahwa bidang ABCD membentuk bidang persegi. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa 

segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang berpotongan tegak lurus di titik pusatnya membentuk bidang persegi. 

 ==== Selamat Belajar ====

\