Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat

Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pada bagian ini, kita akan mendalami lebih lanjut mengenai bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam menyelesaikan persoalan sehari-hari. Pembahasan pokok dari tulisan ini berkaitan dengan laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat dan contoh persoalan yang berkaitan dengan perihal tersebut. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat pembahasan berikut ini


A. Menghitung Perubahan Rata-Rata dan Perubahan Sesaat

Misalkan kita memiliki fungsi y = f (x) yang bergantung pada nilai x seperti gambar 1. Jika x berubah dari x = c   menjadi x = c + h  maka perubahan x dan perubahan nilai fungsinya adalah  

$\Delta x = (c+h) - c=h$

$\Delta y = f(c+h)- f(c)$

 

Perhatikan gambar berikut

gambar 1

Dengan demikian kita akan mendapatkan hasil bagi selisih keduanya menjadi

$\displaystyle \frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Persamaan di atas seringkali dikenal dengan laju perubahan rata-rata pada fungsi $f(x)$ terhadap x sepanjang interval [c, c+h].

Lalu apa yang terjadi terhadap laju perubahan rata-rata jika perubahan interval x menjadi semakin kecil mendekati nol, yakni dimana $\Delta x = h \rightarrow 0$. Pendekatan nilai limit terhadap laju perubahan rata-rata ini sering disebut dengan laju perubahan sesaat ketika x = c atau bisa juga disebut dengan kemiringan garis singgung terhadap kurva $y=f(x)$ di titik $(c,f(c))$. Oleh karena itu kita mendapatkan rumus laju perubahan sesaat ketika $\Delta x=h \rightarrow 0$ di titik x = c adalah

laju perubahan sesaat $\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta x}{\Delta y}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

 

B. Beberapa Contoh Persoalan yang Berkaitan dengan Perubahan Sesaat.

Contoh 1

Sebuah kota dijangkiti epidemi flu. Petugas menaksir bahwa setelah t hari setelah dimulainya epidemi flu, jumlah orang yang terkena penyakit flu ditaksir sebagai sebuah fungsi:

$p(t) = 120 t^2 - 2t^3$        $0\leq t\leq 40$

Berapakah laju menularnya penyakit tersebut pada saat

      a. $t = 10$                    b. $t = 20$                         c. $t = 40$

Jawab :

Misalkan laju perubahan didefinisikan sebagai $p'(t)$, maka

     $\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-p(t)}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t+h)^2-2(t+h)^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t^2+2th+h^2-2(t^3+3th^2+3t^2h+h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (240th+120h^2-6th^2-6t^2h-2h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$   $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 240t+120h-6th-6t^2-2h^2 $

      $\Leftrightarrow$   $=240t+120.0-6t.0-6.t^2-2.0^2=240t-6t^2 $

Dengan demikian kita dapatkan

     a. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p'(10)=240.10-6.10^2 =2400-600=1800 $ orang

     b. Laju perubahan sesaat ketika t = 20 adalah 
  
         $p'(10)=240.20-6.20^2 =4800-2400=2400 $ orang


     c. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p'(10)=240.40-6.40^2 =9600-9600=0 $ orang



Contoh 2

Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah T dengan fungsi sebagai berikut

$T=0,1(400-40t+t^2)$         $0 \leq t \leq 12$

     a. Tentukan laju perubahan rata-rata dari T terhadap t antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi$

     b. Tentukan Laju perubahan sesaat T pada saat t pada jam 5 pagi.

Jawab

a. Laju perubahan rata-rata antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi adalah

          $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{T(6)-T(5)}{6-1}$

            $\Leftrightarrow$   $ =(0,1(400-40.6+6^2))-(0,1(400-40.5+5^2))=0,1(400-240+36)-(400-200+25)$

           $\Leftrightarrow$   $ =(0,1(-40+11)=-2,9$


b. Misalkan laju perubahan sesaat adalah $T'$, maka


          $\displaystyle T'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {T(t+h)-T(t)}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40(t+h)+(t+h)^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2 \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40t-40h+t^2+2th+h^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2) \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {-40h+2th+h^2 }{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} -40+2t+h=-40+2t+0=-40+2t$

    Dengan demikian pada saat $t=5$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $T'(5)=-40+2.5=10$



Contoh 3

Suatu perusahaan mulai beroperasi pada tahun 2016. Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut selama t tahun adalah p juta rupiah. dengan 

$p(t)=50.000+18.000 t +600t^2$

Tentukan prakiraan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tahun 2023?

Jawab

Misalkan laju perubahan sesaat adalah $p'$, maka


          $\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-T(t)}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000(t+h)+600 (t+h)^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2 \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000t+18.000.h+600t^2+1.200th+600h^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2) \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {18.000h+1.200th+600h^2 }{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 18.000+1.200t+600h=18.000+1.200t+0=18.000+1.200t$

    Dengan demikian pada saat $t=2023-2016=7$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $p'(7)=18.000+1.200\times 7=18.000+8.400=26.400$

=============== 000 ================

Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1

Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
   apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
   
   Jawab
   
   Pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi  ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya
              
                  $\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$
   
   Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
   
                 $\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.
   
   Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka  $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$
   
   Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$
   
   
   
2. Apakah yang dimaksud dengan
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$
   
   Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?
   
   Jawab
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$  sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar grafik berikut ini!
   
   
   
   
   Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
   
             a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
             d. $f(3)$
   
             e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$
   
   
   Jawab
   
             a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$
   
             d. $f(3)=2$
   
              e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$  tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq  \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
         Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
   
                    d. $f(2)$
   
                    e. $f(-2)$
   
   
   Jawab
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$  dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$
   
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$
   
                    d. $f(2)=1$
   
                    e. $f(-2)=3$
   
   
   
5. Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f  berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!
   
                       $f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$ 
   
   
   Jawab
   
   
   
   
   
   Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$  maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$
   
   
   
6. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari
   
   

          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$

   
          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$
   
          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$
   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$
   
   Jawab
   
          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$
   
   

   

   
   
   
   

          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$
   
   

   

   
   
   
   

          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$
   
   

   
   
   
   

   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$
   
   

   

   
   
   
7. Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$
   
   Jawab
   Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$  ada   jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$
    
             $k =8-10 =-2$
   
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$             

    
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$
   
              $\Leftrightarrow$    2k = -4       $\Leftrightarrow$     $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$
   
   
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam   tentukan 

   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$   dan    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$
dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!





jawab

$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$   dan    $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$

Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.


9. Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah 
   
   

   $\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

   
   Dimana $m_o $  adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$
   
   jawab
   
   ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$
   
   Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga.
   
   
   
10.   Jelaskan apakah 
    
             a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?
    
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?
    
    Jawab.
    
    a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan  $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi.  Sementara ketika $x = 1$  nilai $2x - 1$ sama dengan 1
    
    
    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. 
    
    

======= 000 =======

Teorema Limit

Teorema Limit Fungsi Aljabar

Didalam pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan limit fungsi dengan menggunakan beberapa metode, yakni metode subtitusi, metode pemfaktoran, metode perkalian sekawan dan metode D'Hospital. Metode terakhir akan kita bahas lebih lanjut ketika kalian sudah mempelajari mengenai turunan dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mengenal beberapa teorema yang berkaitan dengan limit dan bagaimana contoh penyelesaian soalnya. Berikut beberapa teorema yang terdapat pada limit fungsi.

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k = k$
   dimana k adalah suatu konstanta.
   
   contoh:
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 $
   
   Jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 = 10$
   
                 
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}x = c$
    
   Contoh 
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x $
   
   jawab 
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x = \lim_{x\rightarrow 9}9 = 9 $
   
   
   
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k f(x) = k \lim_{x \rightarrow c}f(x)$
   
   dimana k adalah suatu konstanta
   
   Contoh
   
                   Tenukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-5x+1) $
   
   jawab
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-x+1) = 4 . \lim_{x \rightarrow 2}(x^2-x+1)=4.\lim_{x \rightarrow 2}(2^2-2+1)=4 . 3= 12$
   
   
   
4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) + \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   Contoh
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
   Jawab
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
                           $\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 1}  \frac{x^2-1}{x-1} +   \lim_{x \rightarrow 1}  \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1}$
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x-1)(x+2)}{(x-1)(2x - 1)} $
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  x+1 +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x+2)}{(2x - 1)}= \lim_{x \rightarrow 1}  1+1 + \lim_{x \rightarrow 1}\frac {(1+2)}{(2.1 - 1)}$
   
                           $\displaystyle = 2 + \frac {3}{1}=5$
   
     
5. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) \times \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   contoh
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x+2)}{(x-2)}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x -1)}{(2x-1)(x-2)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} (x+2)\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x -1)}{(2x-1)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} 2+2\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(2 -1)}{(2.2-1)}\right)= 4 \times \frac {1}{3}=\frac {4}{3}$
   
   
   
6. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac {(f(x)} {g(x)} =\frac{ \lim_{x \rightarrow c}f(x)} { \lim_{x \rightarrow c} g(x)}$   asalkan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) \neq 0$
   
   Contoh
   
                  Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)} $
   
   jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)}=\frac {\lim_{ x\rightarrow 2}x^3-2x+1} {\lim_{x\rightarrow 2}3x+5)}=\displaystyle \frac{lim_{x \rightarrow 2} (2^3-2,2+1)}{\lim_{x\rightarrow 2} ( 3.2+5)}=\frac {3}{11}$
   
   
   
7. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left ( f(x) \right )^n=\left (\lim_{x \rightarrow c}f(x) \right )^n$  untuk n adalah bilangan asli
   
   contoh
   
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2$ 
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2 =  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2=  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {(x-1)(x+1)}{x+1} \right )^2$
   
                         $\displaystyle =\left (\lim_{x \rightarrow -1} (x+1)\right )^2=\left (\lim_{x \rightarrow -1} (-1+1)\right )^2=0$
   
   
   
8. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sqrt [n]{ f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow c}f(x) }$  untuk n adalah bilangan asli
   
   Contoh
   
                   Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}$
   
   jawab
   
                    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2.4^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}27}=3$
   
                          
   

Catatan penting:

Pada kenyataannya kita akan sering menjumpai bentuk $\displaystyle \frac {\lim_{x \rightarrow c}f(x)}{\lim_{x \rightarrow c}g(x)}=\frac {0}{0}$, Oleh karena itu kita tidak dapat menggunakan teorema 6 dalam menghitung nilai limit. Bentuk seperti ini lebih dikenal dengan bentuk tak tentu. Jika kalian mendapati persoalan seperti itu, maka langkah yang tepat adalah dengan mengubahnya kedalam bentuk rasional lalu kemudian menyederhanakan fungsinya sebagaimana yang telah dijelaskan pada tautan sebelumnya. Setelah itu, dilanjutkan dengan menghitung nilai limitnya.

=====000=====

3 Cara menentukan nilai limit fungsi

Cara Menentukan Limit Fungsi

Pada pertemuan sebelumnya, kalian sudah mengetahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} =4$ melalui pendekatan intuitif, yakni dengan menggunakan daftar tabel dan grafik fungsinya. Meskipun metode seperti ini dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya, namun upaya menentukan nilai tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama. Pertanyaan selanjutnya adalah, adakah teknik khusus dalam menentukan nilai limit fungsi tanpa harus menggunakan daftar tabel beserta grafiknya? Jawaban atas pertanyaan tersebut tentu ada. Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari materi tentang bagaimana menentukan nilai limit fungsinya. Beberapa metode tersebut diantaranya adalah metode subtitusi, pemfaktoran dan perkalian sekawan.

A. Metode Subtitusi 

Ketika kalian berhadapan dengan limit fungsi, langkah pertama yang wajib kalian  usahakan adalah mensubtitusikan nilai $x=c$ untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$. Jika hasil yang didapat nilainya ada (misalnya $f(c)=L$)  dan bukan berbentuk $\displaystyle f(c)=\frac {0}{0}$, 

Contoh 1 

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4}{x-2}$

Jawab

jika kita subtitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan

                  $\displaystyle f(3) =\frac {3^2-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$

 

          Dengan demikian

                            $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 5$

Lalu bagaimana jika $f(c) =\frac {0}{0}$. Tentu saja metode subtitusi tidak dapat digunakan karena kita melakukan pendekatan terhadap nilai $f(x)$ ketika x mendekati c. Kita akan menggunakan metode lainnya dalam menentukan nilai limit $f(x)$. Namun sebelum melangkah lebih jauh, ada hal penting yang perlu kalian perhatikan yakni, di dalam beberapa kasus kita bisa menduga ada faktor dari $f(x)$ yang menyebabkan ketika $x=c$, maka  nilai $\displaystyle f(c) =\frac{0}{0}$. Dugaan sementara tentu saja faktor tersebut adalah $(x-c)$.

Pada kasus $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$ misalnya,  kita dapat menduga bahwa ketika $x=2$, maka faktor yang menyebabkan nilai $\displaystyle f(2) =\frac {0}{0}$ adalah $(x-2)$. Jika memang demikian, maka kita akan mengeliminasi faktor $(x-2)$ ini sehingga menghasilkan fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ seolah-olah menjadi bentuk fungsi yang lebih sederhana. Beberapa diantaranya adalah metode pemfaktoran dan perkalian sekawan. 

B. Metode Pemfaktoran

Kita kembali ke contoh menentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$. Perhatikan bahwa fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ dapat kita ubah menjadi:

                   $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$

    $\Leftrightarrow$           $\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Pada bagian pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir terdapat faktor $(x-2)$ yang menyebabkan ketika $x=2$ nilai $\displaystyle f(2)=\frac {0}{0}$. Karena itu, kita akan menyederhanakan fungsi $f(x)$ tersebut menjadi

Dengan demikian kita bisa menentukan nilai limit $f(x)$ yakni dengan cara mensubtitusikan nilai $x =2$ kedalam persamaan terakhir:

                            $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=x+2=2+2=4$

Harap diingat, bentuk penyederhanaan tersebut diperbolehkan karena kita tidak mencari nilai $f(x)$ di $x=2$ melainkan kisaran nilai $f(x)$ ketika x mendekati 2.

Contoh 2   

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$

Jawab : 

Kita akan cek terlebih dahulu nilai $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$  untuk    $x = 3$, yakni:

               $\displaystyle f(3)=\frac{3^2-5.3+6}{2.3^2-5.3-3}=\frac{9-15+6}{18-15-3}=\frac{0}{0}$

 

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni pemfaktoran.

        $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-3)}$

                       $\Leftrightarrow$                    $\displaystyle =\frac{x-2}{2x+1}=\frac{3-2}{2.3+1}=\frac{1}{7}$

 C. Perkalian Sekawan

Metode ini acap kali ampuh untuk digunakan pada soal-soal dimana fungsinya berbentuk akar. Salah satu ciri khas dari metode ini adalah mengalikan soalnya dengan kawannya  tanpa mengubah bentuk soal tersebut. Asumsi dasarnya adalah bahwa 1 bisa diubah kedalam berbagai macam bentuk pecahan seperti misalnya :

                     $\displaystyle 1 = \frac{3}{3}=\frac {a+b}{a+b}=\frac {\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt a -\sqrt b}{\sqrt a -\sqrt b}=...$ dst

Beberapa contoh kawan dari suatu fungsi adalah sebagai berikut:

• $p(x) = a + b$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {a - b}{a-b}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a - b}$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {\sqrt{a + b}}{\sqrt{a-b}}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a + b}-\sqrt{a-b}$  maka kawanya adalah   $\displaystyle  \frac {\sqrt {a +b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt {a-b}}$
  

Contoh 3

Tentukan nilai dari     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}$

jawab

Ketika nilai $x = 3$ kita subtitusikan ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan:

          $\displaystyle  f(3)= \frac {3-\sqrt{18-3^2}}{3-3}=\frac {3-\sqrt 9}{0} =\frac {0}{0}$

karena itu kita tidak dapat menggunakan metode subtitusi. Akan kita coba dengan menggunakan metode perkalian sekawan, yakni:

          $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}=\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-\sqrt {18-x^2}}{x-3}\times \frac {3+\sqrt {18x^2}}{3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {9-(18-x^2)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x^2-9}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {(x-3)(x+3)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x+3}{ 3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {3+3}{ 3+\sqrt {18-3^2}}=\frac{6}{3+\sqrt 9}=\frac {6}{6}=1$

Dengan demikian kita sudah diperkenalkan 3 macam teknik dasar dalam menentukan nilai dari limit fungsi. Sebenarnya masih ada 1 teknik lagi yang juga cukup ampuh yakni D'hospital. Namun teknik ini memerlukan pemahaman lebih lanjut yakni turunan yang nanti juga akan kalian pelajari setelah kalian menguasai materi limit fungsi. Pada kesempatan kali ini saya hanya akan menunjukan sedikit teorema D'Hospital yang berhubungan dengan  limit fungsi: 


Teorema D'Hospital :

Jika untuk $x=c$ nilai fungsi $ \displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} =\frac {0}{0}$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow c}\frac {f '(x)}{g ' (x)}$

dimana $f'(x)$ dan $g'(x)$  masing-masing merupakan turunan dari fungsi $f(x)$ dan $g(x)$

======= 0000 ========

Pengantar Limit Fungsi

Pengertian Intuitif Limit Fungsi

Pada bagian sebelumnya kalian sudah mempelajari tentang fungsi. Sebuah fungsi biasanya dinotasikan dengan simbol $f(x)$ dimana mempunyai variabel peubah yakni x. Jika variabel x tersebut digantikan nilainya dengan sebuah bilangan, maka fungsi akan menghasilkan nilai tertentu, Misalnya jika kita memiliki sebuah fungsi $f(x)= 2x^2+3$, maka jika $x=5$ kita dapatkan nilai $f(x)=2.5^2+3=2.25+3=53$.

Nah pada kesempatan ini kita akan mempelajari lebih lanjut materi tentang fungsi. Lebih tepatnya materi tentang limit fungsi. Materi ini berkaitan dengan batas nilai fungsi ketika x mendekati nilai tertentu. Ada kalanya sebuah fungsi $f(x)$ tidak terdefinisi pada saat x bernilai tertentu. Tetapi ketika x mendekati nilai tersebut, justru f (x) mendekati suatu nilai.

Sebagai pendahuluan, mari kita perhatikan fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}  {x-2}$. Apakah fungsi tersebut terdefinisi ketika x = 2?  Jika kita amati bersama maka ketika x = 2 nilai fungsi f (x) menjadi

                  $\displaystyle f(2)=\frac {2^2-4}{2-2}=\frac {4-4}{2-2}=\frac{0}{0}$

Hal ini mengindikasikan bahwa ketika nilai x = 2, fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ menjadi tidak valid. Namun menariknya ketika nilai x mendekati 2 (bisa x < 2 atau x > 2 tetapi nilai x sangat dekat dengan 2) maka nilai $f(x)$ mendekati suatu nilai tertentu yakni $f(x)\approx 4$ seperti terlihat pada tabel berikut ini:

Nilai $\displaystyle f(x) =\frac {x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika $x$ mendekati 2 dari kiri dan kanan

Contoh di atas menunjukan ada f (x) memiliki nilai batas yakni 4  ketika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Nilai batas inilah yang disebut dengan limit. Pembahasan, kali ini kita akan mengulas lebih jauh mengenai  nilai batas tersebut. 


A. Pengertian Limit

Secara umum, kita dapat menyatakan limit sebagai sebuah pendekatan nilai dari sebuah fungsi. Pada contoh di atas, kita telah diperlihatkan bagaimana fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika x cukup dekat dengan 2 meskipun $x \neq 2$ dan $f(2)$  tidak ada. Dalam notasi matematika, kita dapat menuliskannya dengan:

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 4$

Di sini kalian perlu ingat bahwa nilai $f(2)\neq \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ sebab nilai $f(2)$ tidak ada. gambar grafik di bawah ini menunjukan bahwa ketika $x = 2$ grafik fungsi $f(x) terputus (berlobang). Berbeda  ketika nilai x mendekati 2 dari kiri, grafik  $f(x)$ tidak terputus, begiti juga ketika x mendekati 2 dari kanan. Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika yakni limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama dengan L, yakni

grafik fungsi  $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 

Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika untuk limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama denga L, yakni

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

Secara intuitif, kita dapat mengatakan bahwa  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=L$ berarti $f(x)$ mendekati nilai L ketika x mendekati c dari kiri dan kanan tetapi $x \neq c$. Pernyataan $x \neq c$ menegaskan bahwa kita tidak akan pernah menganggap $x = c$ ketika berbicara mengenai limit. Karena itu simbol $x \rightarrow c$ lebih tepat untuk menegaskan bahwa nilai x cukup dekat dengan c baik dari kiri maupun kanan. 

Kadangkala seseorang dapat menggunakan simbol $x \rightarrow c^-$ sebagai sarana untuk memahami bahwa nilai x mendekati c dari sisi kiri. Artinya nilai x mendekati c tetapi x < c. Sebaliknya,  $x \rightarrow c^+$ menggambar nilai x mendekati c dari kanan yang berarti x mendekati c tetapi  x > c. Dengan demikian kita bisa mendapatkan gambaran  bahwa jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-}f(x) =L$  dan  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c^+}f(x) = L$     maka    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x) =L$

Agar kalian semakin memahami konsep dasar limit, perhatikan beberapa contoh berikut ini:


Contoh 1. 

Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$  jika ada!

Jawab

Apabila kita mensubtitusikan nilai $x=0$ ke dalam persamaan $f(x)$ maka akan didapatkan

$\displaystyle f(0)=\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}=\frac{2-\sqrt{4}}{0}=\frac{2-2}{0}\frac{0}{0}$

Sehingga jelas untuk $x=0$ fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}$ tidak terdefinisi. Akan tetapi perhatikan tabel dan grafik fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$

dari tabel dan grafik tersebut nampak bahwa 

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=0,25$  dan  $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$

Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$ , maka 

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0,25$

Contoh 2      Tentukan $\displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0}\frac{2}{x}$ .

Jawab

Perhatikan tabel berikut:

Pada tabel nampak bahwa ketika $x \rightarrow 0^-$ maka nilai $f(x) \rightarrow -\infty$. Pada gambar, grafik $f(x)$ nampak bernilai semakin turun menuju nilai negatif yang semakin besar tak berhingga. Sebaliknya ketika $x \rightarrow 0^+$ maka nilai $f(x) \rightarrow +\infty$. Dari gambar grafiknya jelas bahwa nilai $f(x)$ semakin ke atas mengarah ke nilai positif yang semakin besar tak berhingga. Oleh karena

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac {2}{x}\neq \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x}$       maka       $\displaystyle \lim {x \rightarrow 0} \frac {2}{x}$  tidak ada.

Contoh 3

Diberikan fungsi

$\displaystyle fx = \left \{ \begin {matrix} x^2 +5x +10 && x \geq 0 \\ \\ -x^2+2x+10 && x>0  \end {matrix} \right.$. 

Tentukan $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$

Pada tabel dan grafik, nampak bahwa ketika x mendekati 0 dari kiri, nilai $f(x)$ mendekati 10. Demikian juga ketika x mendekati 0 dari kanan. Nilai $f(x)$ mendekati 10. Dengan demikian kita dapat menympulkan karena

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=10$        maka     $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) =10$

 

Contoh 4     Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \left \lfloor x \right \rfloor$ 
 

catatan :

$ \left \lfloor x \right \rfloor$ adalah nilai pembulatan ke bawah sehingga menghasilkan bilangan bulat . contoh

       $ \left \lfloor 3 \right \rfloor=3$                       $ \left \lfloor -2,01 \right \rfloor=-2$

       $ \left \lfloor 3,512 \right \rfloor=3$ 

 Jawab

Perhatikan tabel dan grafik berikut ini!

Pada tabel dan grafik nampak ketika x mendekati 4 dari kiri, nilai $f(x)=3$. Tetapi ketika x mendekati 4 dari kanan, nilai $f(x)=4$. Dengan demikian 

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}f(x) \neq \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^+}f(x)$      sehingga      $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}f(x)$  tidak ada. 

 

Contoh soal Hots tentang Persamaan garis singgung persekutuan lingkaran

1. Lingkaran I dan lingkaran II masing-masing titik pusatnya terletak di titik O dan titik P. Kedua lingkaran tersebut berada dalam kedudukan terpisah satu dengan yang lainnya.  Garis k dan garis l adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. Garis k menyinggung lingkaran I di titik A dan menyinggung lingkaran II di titik B. Garis l menyinggung lingkaran I di titik D dan menyinggung lingkaran II di titik C. Selain itu garis m dan garis n adalah garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut. Garis m memotong garis k dan garis l masing-masing di titik V dan di titik W. Garis n memotong garis k dan l di titik X dan di titik Y.
   
   Tunjukan bahwa AB = CD = VW = XY
   
   
   

   
   
   
   
   jawab:         
   
   perhatikan gambar berikut ini:|
   
   
   
   
   Jika kita membuat perpanjangan garis k dan garis l sedemikian sehingga berpotongan pada titik H, maka akan kita dapatkan
                                                         AB = AH - BH
                                                         CD = DH - CH
   
   Tetapi berdasarkan sifat garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran didapat
                                                         AH = DH
                                                         BH = CH
   Akibatnya
                                                      AB = AH - BH
                                                      AB = DH - CH = CD ..... persamaan 1
   
   Kemudian, misalkan titik Q, R, S, dan T masing-masing merupakan titik singgung garis persekutuan dalam lingkaran dan U adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam tersebut seperti pada gambar berikut ini:
   
   
   

   
   

   
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = CY + YD
                QY = YS +  QS
   
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                CY  = YS
                YD = QY
   
   Oleh karena itu 
                 CD = CY + YD = YS + QY = YS + (YS + SQ) = 2 YS + QS ...... persamaan 2
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AX + XB
                 XS = XQ + QS
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 XS = XB
                 AX = XQ
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AX + XB = XQ + XS = XQ + (XQ + QS) = 2 XQ + QS ,,,,,,,, persamaan 3
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh
               AB = CD
   2 YS + QS = 2 XQ + QS
          YS      =        XQ   ........ persamaan 4
   
   dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 4 
   
                       AB = CD = YD + CY = QY + YS = YQ + XQ = XY
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = XY.
   
   Sekarang, dengan analogi yang sama kita juga dapat menunjukan bahwa AB = CD = VW, yakni 
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = WD + CW
                RW = WT +  TR
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                WD  = WT
                RW  = CW
   
   Oleh karena itu 
                 CD = WD + CW = WT + RW = WT + (WT + TR) = 2 WT + TR ...... persamaan 5
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AV + VB
                 VT = VR + TR
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 VT = AV
                 VB = VR
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AV + VB = VT + VR = (VR +TR)+ VR = 2 VR + TR ,,,,,,,, persamaan 6
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 5 dan persamaan 6 diperoleh
               AB = CD
   2 VR + TR = 2 WT + TR
          VR      =        WT   ........ persamaan 7
   
   dari persamaan 1, persamaan 5 dan persamaan 7 
   
                       AB = CD = WD + CY = WT + RW = VR + RW = VW
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = VW
   
   Karena AB = CD = XY dan AB = CD = VW maka berlaku AB = CD = VW = XY
   

==== Good Luck ====

Teorema Steiner pada Garis singgung lingkaran

Teorema Steiner

Pada pembahasan kali lalu, kita telah mempelajari teorema Pitot mengenai hubungan lingkaran dengan bidang segi empat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung lingkaran tersebut. Pada kali ini kita akan membahas mengenai teorema lain yang berkaitan dengan hubungan tersebut, yakni teorema Steiner. Perbedaan antara teorema Steiner dengan teorema Pitot terletak pada kedudukan lingkaran tersebut terhadap bidang segiempatnya. Pada teorema Pitot, lingkaran berada di dalam bidang segiempat. Sebaliknya pada teorema Steiner, lingkaran berada di luar bidang segiempat tersebut. 

• Teorema 1

Jika terdapat segiempat ABCD dimana setiap sisinya merupakan garis yang bersinggungan dengan sebuah lingkaran di luar segiempat tersebut maka berlaku rumus AB - CD = AD - BC 

 

Bukti:

Kasus 1

Misalkan titik P, Q, R, dan S masing-masing adalah titik singgung garis AB, AD, BC dan DC pada lingkaran. Maka pada gambar nampak bahwa

AB = AP - BP

AD = AQ - DQ 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - AD = (AP-BP) - (AQ - DQ) ....... persamaan 1

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BR 

DS = DQ

CR = CS

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 1 diperoleh

                                                     AB - AD = (AP - BP) - (AQ - DQ)

                                                     AB - AD = (AQ - BR) - (AQ - DS)

                                                     AB - AD =       DS       -       BR

                                                     AB - AD = (DC + CS) - (BC + CR)

                                                     AB - AD = (DC + CS) - (BC + CS)

                                                     AB - AD =        DC      -        BC 

                                           AB - DC =        AD      -        BC 

 

Dengan demikian terbukti 

Kasus 2

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung garis AB, AD, CD dan CB seperti gambar berikut:

Pada gambar nampak bahwa :

AB = AP - BP

AD = AQ - DQ 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - AD = (AP-BP) - (AQ - DQ) ....... persamaan 2

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BS 

DR = DQ

CR = CS

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 2 diperoleh

                                                  AB - AD = (AP - BP) - (AQ - DQ)

                                                  AB - AD = (AQ - BS) - (AQ - DR)

                                                  AB - AD =       DR      -       BS

                                                  AB - AD = (CD - CR) - (BC - CS)

                                                  AB - AD = (CD - CS) - (BC - CS)

                                                  AB - AD =       CD      -       BC 

                                                  AB - CD =       AD      -       BC

Dengan demikian terbukti

• Teorema 2

Jika titik A, B, C, D dan E masing-masing merupakan itik potong 4 garis singgung lingkaran di luar lingkaran tersebut seperti nampak pada gambar di bawah ini, maka AB - CD= BC - AD

 

Bukti

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung garis AB, AD, CD dan CB seperti gambar berikut:

Pada gambar nampak bahwa :

AB = BP - AP

CD = DR - CR 

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan maka kita dapatkan

AB - CD = (BP - AP) - (DR - CR) ....... persamaan 3

Akan tetapi dari sifat dua buah garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran, nampak bahwa 

AP = AQ

BP = BS 

DR = DQ

CS = CR

SE = EQ

Dengan mensubtitusikan keempat persamaan terakhir ke dalam persamaan 2 diperoleh

                                                  AB - CD = (BP - AP) - (DR - CR)

                                                  AB - CD = (BS - AQ) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = ((BC - CS) - (AD - DQ)) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = (BC - CS - AD + DQ) - (DQ - CS)

                                                  AB - CD = BC - AD 

==== Selamat Belajar ====

Teorema Pitot pada garis singgung lingkaran

Teorema Pitot pada Garis Singgung Lingkaran

Pada pembahasan sebelumnya, kalian terlah mempelajari kharakteristik dari garis singgung lingkaran beserta beberapa teorema yang mengikutinya. Pada pembahasan kali ini, kita juga akan diperkenalkan dengan beberapa teorema lain yang berhubungan dengan garis singgung pada lingkaran. Salah satu teorema yang cukup terkenal adalah teorema Pitot, Dalam ulasannya Pitot mengaitkan hubungan diantara panjang ruas segiempat yang setiap garis pada sisi segiempat bersinggungan dengan lingkaran yang terdapat di dalam segiempat tersebut. 

A. Segitiga Sama Kaki dan Garis Singgung Lingkaran

Jika $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga di dalam lingkaran dan garis m adalah garis singgung lingkaran di titik A, maka $\bigtriangleup ABC$ merupakan segitiga sama kaki jika garis m sejajar dengan garis BC.

hubungan garis singgung lingkaran dan
segitiga sama kaki di dalam lingkaran

 B. Teorema Pitot

• Teorema 2

Jika setiap sisi segitiga ABC menyinggung lingkaran yang berada di dalam segitiga tersebut dan titik P adalah titik singgung pada sisi AC, maka berlaku rumus AC + PB = BC + AP

Bukti:

Misalkan titik Q dan R masing-masing merupakan titik singgung sisi AC dan BC pada lingkaran seperti pada gambar berikut:

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

QC = RC

AQ = AP

PB = BR

Jika ketiga persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh 

AQ + QC + BP = BR + RC + AP

AC + PB = BC + AP 

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

 

• Teotema 2

Jika segiempat ABCD merupakan segi empat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung sebuah lingkaran (lingkaran berada di dalam segi empat), maka berlaku rumus AB +CD = AD +BC

Pada kasus 1

Misalkan titik P, Q, R dan S masing-masing merupakan titik singgung sisi AD, CD, BC dan AB seperti pada gambar berikut: 

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

AS = AP

SB = BR

CQ = RC

QD = PD

Jika keempat persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh 

AS + SB + CQ + QD = AP + PD + BR +RC

AB + CD = AD + BC 

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

Pada kasus 2 

Maka berdasarkan sifat dua garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh:

AS = AP

SB = BQ

RD =PD 

Jika ketiga persamaan terakhir dijumlahkan maka persamaan tersebut dijumlahkan maka diperoleh:

AS + SB + PD = AP + BQ + RD ...... persamaan (*)

Akan tetapi kita tahu  bahwa

CQ = RC  

BQ = BC + CQ

RD = RC + CD

Dengan mensubtitusikan tiga persamaan terakhir ke dalam  persamaan (*) , diperoleh :

AS + SB + RD = AP + BQ + PD

AB + RC + CD = AP + BC + CQ + PD

AB + CQ + CD = AD + BC + CQ

AB + CD = AD + BC

Dengan demikian terbukti teorema tersebut

==== Selamat Belajar ====