Teorema Limit

Teorema Limit Fungsi Aljabar

Didalam pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan limit fungsi dengan menggunakan beberapa metode, yakni metode subtitusi, metode pemfaktoran, metode perkalian sekawan dan metode D'Hospital. Metode terakhir akan kita bahas lebih lanjut ketika kalian sudah mempelajari mengenai turunan dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mengenal beberapa teorema yang berkaitan dengan limit dan bagaimana contoh penyelesaian soalnya. Berikut beberapa teorema yang terdapat pada limit fungsi.

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k = k$
   dimana k adalah suatu konstanta.
   
   contoh:
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 $
   
   Jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 = 10$
   
                 
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}x = c$
    
   Contoh 
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x $
   
   jawab 
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x = \lim_{x\rightarrow 9}9 = 9 $
   
   
   
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k f(x) = k \lim_{x \rightarrow c}f(x)$
   
   dimana k adalah suatu konstanta
   
   Contoh
   
                   Tenukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-5x+1) $
   
   jawab
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-x+1) = 4 . \lim_{x \rightarrow 2}(x^2-x+1)=4.\lim_{x \rightarrow 2}(2^2-2+1)=4 . 3= 12$
   
   
   
4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) + \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   Contoh
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
   Jawab
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
                           $\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 1}  \frac{x^2-1}{x-1} +   \lim_{x \rightarrow 1}  \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1}$
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x-1)(x+2)}{(x-1)(2x - 1)} $
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  x+1 +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x+2)}{(2x - 1)}= \lim_{x \rightarrow 1}  1+1 + \lim_{x \rightarrow 1}\frac {(1+2)}{(2.1 - 1)}$
   
                           $\displaystyle = 2 + \frac {3}{1}=5$
   
     
5. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) \times \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   contoh
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x+2)}{(x-2)}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x -1)}{(2x-1)(x-2)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} (x+2)\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x -1)}{(2x-1)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} 2+2\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(2 -1)}{(2.2-1)}\right)= 4 \times \frac {1}{3}=\frac {4}{3}$
   
   
   
6. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac {(f(x)} {g(x)} =\frac{ \lim_{x \rightarrow c}f(x)} { \lim_{x \rightarrow c} g(x)}$   asalkan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) \neq 0$
   
   Contoh
   
                  Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)} $
   
   jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)}=\frac {\lim_{ x\rightarrow 2}x^3-2x+1} {\lim_{x\rightarrow 2}3x+5)}=\displaystyle \frac{lim_{x \rightarrow 2} (2^3-2,2+1)}{\lim_{x\rightarrow 2} ( 3.2+5)}=\frac {3}{11}$
   
   
   
7. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left ( f(x) \right )^n=\left (\lim_{x \rightarrow c}f(x) \right )^n$  untuk n adalah bilangan asli
   
   contoh
   
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2$ 
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2 =  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2=  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {(x-1)(x+1)}{x+1} \right )^2$
   
                         $\displaystyle =\left (\lim_{x \rightarrow -1} (x+1)\right )^2=\left (\lim_{x \rightarrow -1} (-1+1)\right )^2=0$
   
   
   
8. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sqrt [n]{ f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow c}f(x) }$  untuk n adalah bilangan asli
   
   Contoh
   
                   Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}$
   
   jawab
   
                    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2.4^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}27}=3$
   
                          
   

Catatan penting:

Pada kenyataannya kita akan sering menjumpai bentuk $\displaystyle \frac {\lim_{x \rightarrow c}f(x)}{\lim_{x \rightarrow c}g(x)}=\frac {0}{0}$, Oleh karena itu kita tidak dapat menggunakan teorema 6 dalam menghitung nilai limit. Bentuk seperti ini lebih dikenal dengan bentuk tak tentu. Jika kalian mendapati persoalan seperti itu, maka langkah yang tepat adalah dengan mengubahnya kedalam bentuk rasional lalu kemudian menyederhanakan fungsinya sebagaimana yang telah dijelaskan pada tautan sebelumnya. Setelah itu, dilanjutkan dengan menghitung nilai limitnya.

=====000=====