Pembahasan Soal Bangun ruang

 Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

1. Banyaknya titik sudut pada prisma segitiga adalah ....
             a.   6 buah                     
             b. 10 buah
             c.   8 buah
             d. 12 buah
   
   Jawab:
   
   Perhatikan gambar di bawah ini :
   
   
   
   
   Dengan demikian nampak bahwa jumlah sudut prisma segitiga adalah 6 buah.
   
   
2. Banyaknya rusuk alas pada limas segi empat adalah ....
             a. 3 buah
             b. 7 buah
             c. 4 buah
             d. 8 buah
   
   
3. Perhatikan gambar prisma segi lima beraturan berikut ini.
   
   
   
   
   
   Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
             a. rusuk-rusuk tegaknya adalah KP, LQ, MR, NS, dan OT
             b. bidang KLMNO kongruen dengan bidang PQRST
             c. bidang KMRP dan KNSP merupakan bidang diagonal
             d. diagonal bidang alasnya ada 4 buah
   
   Jawab :
   Jawaban yang salah adalah (d) sebab jumlah diagonal alasnya adalah 5  buah. yakni: OL, OM, KM, KN, dan LN.
   
   
   
   
   
    
4. Gambar di bawah ini merupakan jaring - jaring ....
   
   
   
   
             a. limas segi lima beraturan
             b. limas segi enam beraturan
             c. prisma segi lima beraturan
             d. prisma segi enam beraturan
   
   Jawab
   Jika melihat segilima sebagai alasnya dan kelima segitiga sebagai sisi tegaknya, maka bangun ruang yang terbentuk adalah limas segilima beraturan.
   
   
   
   
   
   
   
5. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, volume prisma adalah ....
              a.   90 cm${}^3$
              b. 250 cm${}^3$
              c. 200 cm${}^3$
              d. 300 cm${}^3$ 
   
   Jawab
   
   jika melihat ukuran panjang sisi segitiga alasnya, maka segitiga tersebut memenuhi syarat phytagoras dengan kedua sisi siku-sikunya memiliki panjang 3 cm dan 4 cm. Dengan demikian volume prisma segitiga adalah
   
   

   Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = ${\displaystyle (\frac{1}{2}\times 3\times 4)\times 15=90}$ cm${}^3$ 
   
   
6. Diketahui luas permukaan prisma tegak segi empat beraturan 864 cm${}^2$ dan tinggi prisma 6 cm. Panjang sisi alas prisma adalah ....
              a. 8 cm
              b. 12 cm
              c. 10 cm
              d. 14 cm
   
   Jawab
                Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = ${\displaystyle s\times s\times 12}$
   
                 $\iff$    ${\displaystyle s^2=\frac{864}{6}=144}$
   
                 $\iff$    ${\displaystyle s=\sqrt{144}=12}$ cm
   
   
   
7. Diketahui suatu limas dengan alas berbentuk persegi. Luas alas limas 144 cm2 dan tinggi limas 8 cm. Luas permukaan limas adalah ....
               a. 204 cm${}^2$
               b. 484 cm${}^2$ 
               c. 384 cm${}^2$ 
               d. 1.152 cm${}^2$
   
   jawab
   
   
   
   
   
   Sisi alas limas  = $\sqrt{(}$luas alas) $=\sqrt{144}=12$ cm
   
   tinggi sisi tegak limas = $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm
   
   Dengan demikian luas permukaan limas tersebut =
   
   Luas limas segiempat beraturan = 4 $\times$ luas segitiga + luas alas
   
                                                       = ${\displaystyle 4\times \frac{1}{2}\times 12\times 10}$ + 144
   
                                                       =              240           + 144 
   
                                                       = 384 cm${}^2$
          
8. Diketahui volume suatu prisma 450 cm${}^3$. Alas prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 5 cm, 13 cm, dan 12 cm. Tinggi prisma adalah ....
               a. 12 cm
               b. 14 cm
               c. 13 cm
               d. 15 cm
   
   Jawab
   Karena sisi terpanjang segitiga berukuran 13 cm maka sisi tegaknya berukuran 5 cm dan 12 cm
   
   Volume Prisma  = luas alas $\times$ tinggi prisma
            450           ${\displaystyle \frac{1}{2}\times 5\times 12\times }$ tinggi prisma
   
            450           $=30\times$ tinggi prisma
   
   $\iff$   tinggi prisma ${\displaystyle =\frac{450}{30}=15}$ cm
    
9. Jika suatu limas luas alasnya 240 cm${}^2$ dan tinggi 30 cm maka volume limas adalah ....
               a. 2.400 cm${}^3$
               b. 4840 cm${}^3$ 
               c. 4.400 cm${}^3$ 
               d. 7.200 cm${}^3$ 
   
   Jawab
   
   Volume limas $={\displaystyle \frac{1}{3}\times }$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
   Volume limas $={\displaystyle \frac{1}{3}\times 240\times 30=2400}$ cm${}^3$ 
   
   
   
10. Suatu limas memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran 25 cm dan 15 cm. Jika tinggi limas 7 cm, volume limas adalah ....
                a. 262,5 cm${}^3$ 
                b. 870 cm${}^3$ 
                c. 484 cm${}^3$ 
                d. 875 cm${}^3$
    
    Jawab
    
    Volume limas $={\displaystyle \frac{1}{3}\times }$ luas alas $\times$ tinggi limas
    
    Volume limas $={\displaystyle \frac{1}{3}\times 25\times 15\times 7=875}$ cm${}^3$
    
     
    
11. Diketahui prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan AB = 15 dm, BC = 12 dm, dan AC = 9 dm.
    
    

    

    
    Jika tinggi prisma itu 2 dm, volumenya adalah ....
                a. 108 liter
                b. 540 liter
                c. 216 liter
                d. 1.080 liter 
    
    Jawab
    alas prisma berbentuk segitiga siku-siku karena memenuhi syarat phytagoras. Dengan demikian sisi yang saling tegak lurus adalah yang berukuran 9 cm dan 12 cm.
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume limas ${\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times 12\times 2=108}$ dm${}^3=108$ liter
    
    
    
12. Pada prisma tegak segi empat ABCD.EFGH, sisi alas ABCD berupa trapesium sama kaki dengan AB//CD, AB = 10 cm, CD = 4 cm, dan AD = 5 cm. Jika luas semua sisi tegaknya 216 cm${}^2$ maka volume prisma itu adalah ....
                a. 252 cm${}^3$
                b. 560 cm${}^3$
                c. 320 cm${}^3$
                d. 600 cm${}^3$
    
    Jawab
    
    

    
    
    Pada gambar nampak bidang ADHE sebangun dengan bidang BCGF. Dengan demikian
    Luas selimut = 2 $\times$ luas ADHE + luas CDHG + luas ABFE
           216         $=2\times 5\times$ tinggi prisma + $4\times$ tinggi prisma + $10\times$ tinggi prisma
           216         $=(10+4+10)\times$ tinggi prisma    
           216         $=24\times$ tinggi prisma 
    
    Tinggi prisma ${\displaystyle =\frac{216}{24}=9}$ cm
    
    Sekarang perhatikan $△BCE$ pada trapesium ABCD seperti gambar berikut
    
    
    

    
    
    Dengan demikian tinggi trapesium dapat kita cari dengan menggunakan phytagoras yakni
    
    $BE=\sqrt{B{C}^2-E{C}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume prisma ${\displaystyle =(\frac{DC+AB}{2}\times BE)\times 9}$ 
    
    Volume prisma ${\displaystyle =(\frac{10+4}{2}\times 4)\times 9=252}$ cm${}^3$ 
      
    
    
13. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD, dengan AB = 8 cm dan luas bidang TAB = 24 cm${}^2$. Volume limas itu adalah ...
                 a. 94,3 cm${}^3$
                 b. 95,4 cm${}^3$
                 c. 94,5 cm${}^3$
                 d. 96 cm${}^3$ 
    
    Jawab
    Perhatikan $△TAB$ bangun ruang TABCD berikut ini
    
    
    
    
    
    Luas $△TAB{\displaystyle =\frac{1}{2}\times AB\times tingg{i}_{△TAB}}$
    
          24       ${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 8\times tingg{i}_{△TAB}}$
    
          24       ${\displaystyle =4\times tingg{i}_{△TAB}}$
    
    
    Tinggi${}_{△TAB}{\displaystyle =\frac{24}{4}=6}$ cm
    
    
    Sekarang perhatikan $△TEO$ pada bangun ruang TABCD seperti gambar berikut
    
    
    
    
    Karena EO ${\displaystyle =\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4}$ cm dan TE = 6 cm, maka dengan menggunakan phytagoras diperoleh :
     
                Tinggi limas $=\sqrt{T{E}^2-E{O}^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
    
    Dengan demikian kita dapat mencari volume limas, yakni :
    
               Volume limas ${\displaystyle =\frac{1}{3}\times }$ luas alas $\times$ tinggi prisma
    
               Volume limas ${\displaystyle =\frac{1}{3}\times 8\times 8\times 2\sqrt{5}=\frac{128}{3}\sqrt{5}\approx 95,40}$ cm${}^3$
    
    
    
14. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat, dengan salah satu panjang diagonalnya adalah 10 cm dan panjang semua sisi tegaknya adalah 12 cm. Jika volume prisma itu 600 cm3, luas sisi prisma itu adalah ....
                  a. $64+5\sqrt{2}$  cm${}^2$ 
                  b. $72+15\sqrt{2}$  cm${}^2$ 
                  c. $96+32\sqrt{2}$  cm${}^2$ 
                  d. $100+240\sqrt{2}$  cm${}^2$
    
    Jawab
    
    
    
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
             600          = luas alas $times12$
    
    Luas alas ${\displaystyle =\frac{600}{12}=50}$ cm${}^2$
    
    
    
    
    
    Panjang diagonal alas yang lain ${\displaystyle =\frac{2\times Luas}{diagonal}=\frac{2\times 50}{10}=10}$ cm
    
    Panjang sisi belah ketupat $=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
    
    
    
    
    
    luas permukaan $=2\times$ luas alas $+4\times$ luas persegi panjang
    
    luas permukaan $=2\times 50+4\times 5\sqrt{2}\times 12=100+240\sqrt{2}$ 
    
    
    
15. Sebuah prisma tegak segitiga luas bidang alasnya 24 cm${}^2$ dan luas bidang sisi-sisinya adalah 150 cm${}^2$, 120 cm${}^2$, dan 90 cm${}^2$. Volume prisma itu adalah ....
                  a. 90 cm${}^3$
                  b. 220 cm${}^3$ 
                  c. 120 cm${}^3$ 
                  d. 360 cm${}^3$
    
    Jawab
    
    panjang sisi segitiga alasnya masing-masing adalah 6 cm, 8 cm , dan 10 cm
    (anda dipersilahkan untukk membuktikannya ya ...)
    
    
    Dengan demikian tinggi prisma bisa dicari melalui salah satu sisinya. Ambil bidang yang memiliki sisi terpanjang dari segitiga alasnya dan memiliki daerah yang paling luas. Maka lebar bidang tersebut adalah 10 dan luasnya = 150 cm${}^2$. Maka tinggi prisma yakni
    
    Tinggi prisma ${\displaystyle =\frac{luas}{l}=\frac{150}{10}=15}$ cm
    
    maka Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma $=24\times 15=360$ cm${}^3$
      

B. Jawablah pertanyaan berikut ini!

1. Gambarlah prisma segi enam beraturan ABCDEF.GHIJKL. Tentukan
                a. rusuk-rusuk tegaknya;
                b. semua diagonal bidang alas;
                c. semua diagonal ruangnya. 
   
   jawab
   
   
   
   
         a. Rusuk tegak : AG, BH, CI, DJ, EK, dan FL
         b. Diagonal bidang alas = AD, AE, AC, BE, BD, BF, CF, CE, dan DF
   
   

   

   diagonal alas

   
   
   
          c. Diagonal ruang
   
   

   

   diagonal ruang

   
   
   
   
2. Limas segi empat beraturan mempunyai luas alas 256 cm${}^2$. Jika tinggi limas 6 cm, tentukan luas permukaan limas tersebut.
   
   Jawab
   
   
   
   
   
          Sisi persegi alas $=\sqrt{256}=16$ cm
          Tinggi segitiga TAB $=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm
   
   Jadi Luas limas ${\displaystyle =4\times TAB+ABCD=4\times \frac{1}{2}\times 16\times 10+256=320+256=576}$ cm${}^2$
     
3. Diketahui alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 8 cm dan 6 cm. Jika tinggi prisma 18 cm, tentukan luas permukaan prisma.
   
   Jawab
   
   Luas $△ABC=\frac{1}{2}\times 8\times 6=24$ cm${}^2$
   
   
   
   
   
   Maka luas permukaan prisma tersebut 
   
   Luas $=2\times$ luas  $△ABC$ + Luas ACFD + Luas BCFE + Luas ABED  
   
   Luas $=2\times 24+6\times 18+8\times 18+10\times 18=48+108+144+180=480$ cm${}^2$  
   
   
4. Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 40 m dan lebar 15 m. Kedalaman air pada ujung yang paling dangkal 1,3 m dan ujung yang paling dalam 2,7 m. Berapa liter volume air dalam kolam renang tersebut?
   
   Jawab
   
   

   

   
   
   Volume Kolam seluruhnya  = luas trapesium $\times$ tinggi prisma
   
                                                ${\displaystyle =\frac{2,7+1,3}{2}\times 40\times 15=1200}$ m${}^3=1.200.000$ liter  
   
   
5. Suatu limas segi lima beraturan T.ABCDE tampak seperti gambar di bawah ini.
   
   
   
   
   
   Panjang AB = 16 cm, OA = 10 cm, dan tinggi limas 20 cm. Hitunglah
           a. luas alas limas;
           b. volume limas.
   
   jawab:
   
   
   
   
   
   Tinggi $△OAB=\sqrt{{10}^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
   
   a. luas alas limas $=5\times \frac{1}{2}\times 16\times 6=240$ cm${}^2$
   
   b. Volume limas ${\displaystyle =\frac{1}{3}\times }$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
                              ${\displaystyle =\frac{1}{3}\times 240\times 20=1600}$ cm${}^3$