Pengantar Limit Fungsi

Pengertian Intuitif Limit Fungsi

Pada bagian sebelumnya kalian sudah mempelajari tentang fungsi. Sebuah fungsi biasanya dinotasikan dengan simbol $f(x)$ dimana mempunyai variabel peubah yakni x. Jika variabel x tersebut digantikan nilainya dengan sebuah bilangan, maka fungsi akan menghasilkan nilai tertentu, Misalnya jika kita memiliki sebuah fungsi $f(x)= 2x^2+3$, maka jika $x=5$ kita dapatkan nilai $f(x)=2.5^2+3=2.25+3=53$.

Nah pada kesempatan ini kita akan mempelajari lebih lanjut materi tentang fungsi. Lebih tepatnya materi tentang limit fungsi. Materi ini berkaitan dengan batas nilai fungsi ketika x mendekati nilai tertentu. Ada kalanya sebuah fungsi $f(x)$ tidak terdefinisi pada saat x bernilai tertentu. Tetapi ketika x mendekati nilai tersebut, justru f (x) mendekati suatu nilai.

Sebagai pendahuluan, mari kita perhatikan fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}  {x-2}$. Apakah fungsi tersebut terdefinisi ketika x = 2?  Jika kita amati bersama maka ketika x = 2 nilai fungsi f (x) menjadi

                  $\displaystyle f(2)=\frac {2^2-4}{2-2}=\frac {4-4}{2-2}=\frac{0}{0}$

Hal ini mengindikasikan bahwa ketika nilai x = 2, fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ menjadi tidak valid. Namun menariknya ketika nilai x mendekati 2 (bisa x < 2 atau x > 2 tetapi nilai x sangat dekat dengan 2) maka nilai $f(x)$ mendekati suatu nilai tertentu yakni $f(x)\approx 4$ seperti terlihat pada tabel berikut ini:

Nilai $\displaystyle f(x) =\frac {x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika $x$ mendekati 2 dari kiri dan kanan

Contoh di atas menunjukan ada f (x) memiliki nilai batas yakni 4  ketika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Nilai batas inilah yang disebut dengan limit. Pembahasan, kali ini kita akan mengulas lebih jauh mengenai  nilai batas tersebut. 


A. Pengertian Limit

Secara umum, kita dapat menyatakan limit sebagai sebuah pendekatan nilai dari sebuah fungsi. Pada contoh di atas, kita telah diperlihatkan bagaimana fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika x cukup dekat dengan 2 meskipun $x \neq 2$ dan $f(2)$  tidak ada. Dalam notasi matematika, kita dapat menuliskannya dengan:

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 4$

Di sini kalian perlu ingat bahwa nilai $f(2)\neq \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ sebab nilai $f(2)$ tidak ada. gambar grafik di bawah ini menunjukan bahwa ketika $x = 2$ grafik fungsi $f(x) terputus (berlobang). Berbeda  ketika nilai x mendekati 2 dari kiri, grafik  $f(x)$ tidak terputus, begiti juga ketika x mendekati 2 dari kanan. Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika yakni limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama dengan L, yakni

grafik fungsi  $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 

Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika untuk limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama denga L, yakni

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

Secara intuitif, kita dapat mengatakan bahwa  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=L$ berarti $f(x)$ mendekati nilai L ketika x mendekati c dari kiri dan kanan tetapi $x \neq c$. Pernyataan $x \neq c$ menegaskan bahwa kita tidak akan pernah menganggap $x = c$ ketika berbicara mengenai limit. Karena itu simbol $x \rightarrow c$ lebih tepat untuk menegaskan bahwa nilai x cukup dekat dengan c baik dari kiri maupun kanan. 

Kadangkala seseorang dapat menggunakan simbol $x \rightarrow c^-$ sebagai sarana untuk memahami bahwa nilai x mendekati c dari sisi kiri. Artinya nilai x mendekati c tetapi x < c. Sebaliknya,  $x \rightarrow c^+$ menggambar nilai x mendekati c dari kanan yang berarti x mendekati c tetapi  x > c. Dengan demikian kita bisa mendapatkan gambaran  bahwa jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-}f(x) =L$  dan  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c^+}f(x) = L$     maka    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x) =L$

Agar kalian semakin memahami konsep dasar limit, perhatikan beberapa contoh berikut ini:


Contoh 1. 

Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$  jika ada!

Jawab

Apabila kita mensubtitusikan nilai $x=0$ ke dalam persamaan $f(x)$ maka akan didapatkan

$\displaystyle f(0)=\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}=\frac{2-\sqrt{4}}{0}=\frac{2-2}{0}\frac{0}{0}$

Sehingga jelas untuk $x=0$ fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}$ tidak terdefinisi. Akan tetapi perhatikan tabel dan grafik fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$

dari tabel dan grafik tersebut nampak bahwa 

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=0,25$  dan  $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$

Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$ , maka 

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0,25$

Contoh 2      Tentukan $\displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0}\frac{2}{x}$ .

Jawab

Perhatikan tabel berikut:

Pada tabel nampak bahwa ketika $x \rightarrow 0^-$ maka nilai $f(x) \rightarrow -\infty$. Pada gambar, grafik $f(x)$ nampak bernilai semakin turun menuju nilai negatif yang semakin besar tak berhingga. Sebaliknya ketika $x \rightarrow 0^+$ maka nilai $f(x) \rightarrow +\infty$. Dari gambar grafiknya jelas bahwa nilai $f(x)$ semakin ke atas mengarah ke nilai positif yang semakin besar tak berhingga. Oleh karena

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac {2}{x}\neq \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x}$       maka       $\displaystyle \lim {x \rightarrow 0} \frac {2}{x}$  tidak ada.

Contoh 3

Diberikan fungsi

$\displaystyle fx = \left \{ \begin {matrix} x^2 +5x +10 && x \geq 0 \\ \\ -x^2+2x+10 && x>0  \end {matrix} \right.$. 

Tentukan $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$

Pada tabel dan grafik, nampak bahwa ketika x mendekati 0 dari kiri, nilai $f(x)$ mendekati 10. Demikian juga ketika x mendekati 0 dari kanan. Nilai $f(x)$ mendekati 10. Dengan demikian kita dapat menympulkan karena

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=10$        maka     $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) =10$

 

Contoh 4     Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \left \lfloor x \right \rfloor$ 
 

catatan :

$ \left \lfloor x \right \rfloor$ adalah nilai pembulatan ke bawah sehingga menghasilkan bilangan bulat . contoh

       $ \left \lfloor 3 \right \rfloor=3$                       $ \left \lfloor -2,01 \right \rfloor=-2$

       $ \left \lfloor 3,512 \right \rfloor=3$ 

 Jawab

Perhatikan tabel dan grafik berikut ini!

Pada tabel dan grafik nampak ketika x mendekati 4 dari kiri, nilai $f(x)=3$. Tetapi ketika x mendekati 4 dari kanan, nilai $f(x)=4$. Dengan demikian 

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}f(x) \neq \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^+}f(x)$      sehingga      $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}f(x)$  tidak ada.