3 Cara menentukan nilai limit fungsi

Cara Menentukan Limit Fungsi

Pada pertemuan sebelumnya, kalian sudah mengetahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} =4$ melalui pendekatan intuitif, yakni dengan menggunakan daftar tabel dan grafik fungsinya. Meskipun metode seperti ini dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya, namun upaya menentukan nilai tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama. Pertanyaan selanjutnya adalah, adakah teknik khusus dalam menentukan nilai limit fungsi tanpa harus menggunakan daftar tabel beserta grafiknya? Jawaban atas pertanyaan tersebut tentu ada. Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari materi tentang bagaimana menentukan nilai limit fungsinya. Beberapa metode tersebut diantaranya adalah metode subtitusi, pemfaktoran dan perkalian sekawan.

A. Metode Subtitusi 

Ketika kalian berhadapan dengan limit fungsi, langkah pertama yang wajib kalian  usahakan adalah mensubtitusikan nilai $x=c$ untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$. Jika hasil yang didapat nilainya ada (misalnya $f(c)=L$)  dan bukan berbentuk $\displaystyle f(c)=\frac {0}{0}$, 

Contoh 1 

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4}{x-2}$

Jawab

jika kita subtitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan

                  $\displaystyle f(3) =\frac {3^2-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$

 

          Dengan demikian

                            $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 5$

Lalu bagaimana jika $f(c) =\frac {0}{0}$. Tentu saja metode subtitusi tidak dapat digunakan karena kita melakukan pendekatan terhadap nilai $f(x)$ ketika x mendekati c. Kita akan menggunakan metode lainnya dalam menentukan nilai limit $f(x)$. Namun sebelum melangkah lebih jauh, ada hal penting yang perlu kalian perhatikan yakni, di dalam beberapa kasus kita bisa menduga ada faktor dari $f(x)$ yang menyebabkan ketika $x=c$, maka  nilai $\displaystyle f(c) =\frac{0}{0}$. Dugaan sementara tentu saja faktor tersebut adalah $(x-c)$.

Pada kasus $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$ misalnya,  kita dapat menduga bahwa ketika $x=2$, maka faktor yang menyebabkan nilai $\displaystyle f(2) =\frac {0}{0}$ adalah $(x-2)$. Jika memang demikian, maka kita akan mengeliminasi faktor $(x-2)$ ini sehingga menghasilkan fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ seolah-olah menjadi bentuk fungsi yang lebih sederhana. Beberapa diantaranya adalah metode pemfaktoran dan perkalian sekawan. 

B. Metode Pemfaktoran

Kita kembali ke contoh menentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$. Perhatikan bahwa fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ dapat kita ubah menjadi:

                   $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$

    $\Leftrightarrow$           $\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Pada bagian pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir terdapat faktor $(x-2)$ yang menyebabkan ketika $x=2$ nilai $\displaystyle f(2)=\frac {0}{0}$. Karena itu, kita akan menyederhanakan fungsi $f(x)$ tersebut menjadi

Dengan demikian kita bisa menentukan nilai limit $f(x)$ yakni dengan cara mensubtitusikan nilai $x =2$ kedalam persamaan terakhir:

                            $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=x+2=2+2=4$

Harap diingat, bentuk penyederhanaan tersebut diperbolehkan karena kita tidak mencari nilai $f(x)$ di $x=2$ melainkan kisaran nilai $f(x)$ ketika x mendekati 2.

Contoh 2   

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$

Jawab : 

Kita akan cek terlebih dahulu nilai $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$  untuk    $x = 3$, yakni:

               $\displaystyle f(3)=\frac{3^2-5.3+6}{2.3^2-5.3-3}=\frac{9-15+6}{18-15-3}=\frac{0}{0}$

 

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni pemfaktoran.

        $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-3)}$

                       $\Leftrightarrow$                    $\displaystyle =\frac{x-2}{2x+1}=\frac{3-2}{2.3+1}=\frac{1}{7}$

 C. Perkalian Sekawan

Metode ini acap kali ampuh untuk digunakan pada soal-soal dimana fungsinya berbentuk akar. Salah satu ciri khas dari metode ini adalah mengalikan soalnya dengan kawannya  tanpa mengubah bentuk soal tersebut. Asumsi dasarnya adalah bahwa 1 bisa diubah kedalam berbagai macam bentuk pecahan seperti misalnya :

                     $\displaystyle 1 = \frac{3}{3}=\frac {a+b}{a+b}=\frac {\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt a -\sqrt b}{\sqrt a -\sqrt b}=...$ dst

Beberapa contoh kawan dari suatu fungsi adalah sebagai berikut:

• $p(x) = a + b$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {a - b}{a-b}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a - b}$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {\sqrt{a + b}}{\sqrt{a-b}}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a + b}-\sqrt{a-b}$  maka kawanya adalah   $\displaystyle  \frac {\sqrt {a +b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt {a-b}}$
  

Contoh 3

Tentukan nilai dari     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}$

jawab

Ketika nilai $x = 3$ kita subtitusikan ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan:

          $\displaystyle  f(3)= \frac {3-\sqrt{18-3^2}}{3-3}=\frac {3-\sqrt 9}{0} =\frac {0}{0}$

karena itu kita tidak dapat menggunakan metode subtitusi. Akan kita coba dengan menggunakan metode perkalian sekawan, yakni:

          $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}=\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-\sqrt {18-x^2}}{x-3}\times \frac {3+\sqrt {18x^2}}{3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {9-(18-x^2)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x^2-9}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {(x-3)(x+3)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x+3}{ 3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {3+3}{ 3+\sqrt {18-3^2}}=\frac{6}{3+\sqrt 9}=\frac {6}{6}=1$

Dengan demikian kita sudah diperkenalkan 3 macam teknik dasar dalam menentukan nilai dari limit fungsi. Sebenarnya masih ada 1 teknik lagi yang juga cukup ampuh yakni D'hospital. Namun teknik ini memerlukan pemahaman lebih lanjut yakni turunan yang nanti juga akan kalian pelajari setelah kalian menguasai materi limit fungsi. Pada kesempatan kali ini saya hanya akan menunjukan sedikit teorema D'Hospital yang berhubungan dengan  limit fungsi: 


Teorema D'Hospital :

Jika untuk $x=c$ nilai fungsi $ \displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} =\frac {0}{0}$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow c}\frac {f '(x)}{g ' (x)}$

dimana $f'(x)$ dan $g'(x)$  masing-masing merupakan turunan dari fungsi $f(x)$ dan $g(x)$

======= 0000 ========