Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1

Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}f(x)=7}$
   apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
   
   Jawab
   
   Pernyataan ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}f(x)=7}$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi  ketika $x=-2$. Sebagai contoh misalnya
              
                  ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2+11x+18}{x+2}}$
   
   Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
   
                 ${\displaystyle f(-2)=\frac{(-2{)}^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac{4-22+18}{0}=\frac{0}{0}}$.
   
   Karena ${\displaystyle f(-2)=\frac{0}{0}}$, maka  $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x=-2$
   
   Sementara ${\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}x+9=-2+9=7}$
   
   
   
2. Apakah yang dimaksud dengan
   
   
   ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=5}$      dan      ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=-4}$
   
   Dalam keaadaan tersebut,apakah ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)}$ ada ?
   
   Jawab
   
   
   ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=5}$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=5}$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)}$  sehingga ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)}$ tidak ada.
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar grafik berikut ini!
   
   
   
   
   Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
   
             a. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)}$
   
             b. ${\displaystyle \underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)}$
   
             c. ${\displaystyle \underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)}$
   
             d. $f(3)$
   
             e. ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$
   
   
   Jawab
   
             a. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=3,2}$
   
             b. ${\displaystyle \underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)=3}$
   
             c. ${\displaystyle \underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)=1}$
   
             d. $f(3)=2$
   
              e. ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$  tidak ada karena ${\displaystyle \underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)}$
   
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
         Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!
   
   
                    a. ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}f(x)}$
   
                    b. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$
   
                    c. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)}$
   
                    d. $f(2)$
   
                    e. $f(-2)$
   
   
   Jawab
   
   
                    a. ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}f(x)}$ tidak ada karena ${\displaystyle \underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)=1}$  dan ${\displaystyle \underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)}$ tidak ada sehingga ${\displaystyle \underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)}$
   
   
                    b. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=1}$
   
                    c. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)=3}$
   
                    d. $f(2)=1$
   
                    e. $f(-2)=3$
   
   
   
5. Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f  berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}$ ada!
   
                       $f(x)=\{\begin{array}{cccc}{x}^2+5& & & x<1\\ \\ 6x& & & x\ge 1\end{array}$ 
   
   
   Jawab
   
   
   
   
   
   Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=6}$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=6}$. Karena ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=6}$  maka ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=6}$
   
   
   
6. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari
   
   

          a. ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}3x+2}$

   
          b. ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2+2x-1}$
   
          c. ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{2}{x+2}}$
   
          d. ${\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2-1}{2x+2}}$
   
   Jawab
   
          a. ${\displaystyle \underset{x\to -2^{-}}{lim}3x+2=-4}$      dan      ${\displaystyle \underset{x\to -2^{+}}{lim}3x+2=-4}$.   Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}3x+2=-4}$
   
   

   

   
   
   
   

          b. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}{x}^2+2x-1=7}$      dan      ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}{x}^2+2x-1=7}$.   Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2+2x-1=7}$
   
   

   

   
   
   
   

          c. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2}{x+2}=0,5}$      dan      ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2}{x+2}=0,5}$.   Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{2}{x+2}=0,5}$
   
   

   
   
   
   

   
          d. ${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{x^2-1}{2x+2}=-1}$      dan      ${\displaystyle \underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{x^2-1}{2x+2}=-1}$.   Dengan demikian ${\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2-1}{2x+2}=-1}$
   
   

   

   
   
   
7. Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
   
          a. ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}f(x)=\{\begin{array}{cccc}3x+2& & & x\le 2\\ \\ 5x+k& & & x>2\end{array}}$
   
          b. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=\{\begin{array}{cccc}kx-3& & & x\le -1\\ \\ x^2+k& & & x>-1\end{array}}$
   
   Jawab
   Karena ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}$  ada   jika ${\displaystyle \underset{x\to c^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to c^{+}}{lim}f(x)}$
   
          a. ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}3x+2=\underset{x\to 2^{+}}{lim}5x+k}$
   
              ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}3.2+2=\underset{x\to 2^{+}}{lim}5,2+k}$
   
              ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}8=\underset{x\to 2^{+}}{lim}10+k}$
    
             $k=8-10=-2$
   
   
          b. ${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}kx-3=\underset{x\to 1+}{lim}{x}^2+k}$             

    
              ${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}k.(-1)-3=\underset{x\to 1+}{lim}(-1{)}^2+k}$
   
              ${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}-k-3=\underset{x\to 1+}{lim}1+k}$
   
              $\iff$    2k = -4       $\iff$     ${\displaystyle k=\frac{-4}{2}=-2}$
   
   
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam   tentukan 

   ${\displaystyle \underset{x\to {12}^{-}}{lim}f(t)}$   dan    ${\displaystyle \underset{x\to {12}^{-}}{lim}f(t)}$
dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!





jawab

$displaystyle\underset{x\to {12}^{-}}{lim}f(t)=150mg$   dan    $displaystyle\underset{x\to {12}^{-}}{lim}f(t)=150mg$

Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.


9. Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah 
   
   

   ${\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$

   
   Dimana $m_o$  adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v\to c^{-}$
   
   jawab
   
   ketika $v\to c^{-}$, maka ${\displaystyle \underset{v\to c^{-}}{lim}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\underset{c\to c^{-}}{lim}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^{-}{)}^2}{c^2}}}=\underset{x\to c^{-}}{lim}\frac{m}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }}$
   
   Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v\to c^{-}$ akan menjadi besar tak berhingga.
   
   
   
10.   Jelaskan apakah 
    
             a. ${\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1}$ ?
    
             b. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}2x-1}$ ? mengapa?
    
    Jawab.
    
    a. Pernyataan ${\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x-1}}$ tidak sama dengan  $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai ${\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\frac{0}{0}}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi.  Sementara ketika $x=1$  nilai $2x-1$ sama dengan 1
    
    
    b. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(2x-1)(x-1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}2x-1=2.1-1=1}$. Meskipun hasilnya sama dengan ${\displaystyle \underset{x\to }{lim}2x-1}$ namun hal itu tidak berarti $\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan  ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}}$ menunjukan ketika $x\to 1$ nilai ${\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x-1}}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. 
    
    

======= 000 =======