Perbandingan dan Skala

Perbandingan Lurus (senilai) dan Berbalik Nilai

        Kalian pasti pernah punya pengalaman ingin membeli barang dan mendapati bahwa ada dua toko menjual barang yang hendak kita beli, Kemudian yang kalian lakukan saat itu adalah mencermati antara barang yang ada di satu toko dengan toko yang lainnya. Dalam hati kalian memilah-milah mana barang yang cocok menurut ukuran kalian lalu memutuskan manakah barang yang akan kalian beli. Terkadang ukuran yang kalian pakai bisa beragam mulai dari harga termurah, kualitas masing-masing barang, relasi dan kepercayaan pada toko, atau yang lainnya. Nah.... tanpa sadar kita sudah mulai melakukan yang namanya kegiatan "membandingkan".             Pada pembelajaran kali ini, kita akan membahas materi tentang perbandingan. Di dalam pembahasan ini, kita akan mempelajari konsep perbandingan, jenis-jenis perbandingan dan skala beserta contoh permasalah yang biasa muncul dalam kehidupan sehari-hari. Link untuk latihan soal ada pada bagian terakhir pembahasan materi ini

A. Konsep dasar

Perbandingan   adalah  bentuk  dari  suatu  pembagian   antara  besaran  sejenis  a  dan  b yang dinyatakan  dalam  bentuk  seperti  berikut.

$\displaystyle a : b =\frac{a}{b}$

Sifat-sifat yang terdapat dalam perbandingan adalah 

       Untuk dua perbandingan senilai, a : b = c : d

1. $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ atau $a\times d = b \times c$
   
   
2. a : b = c : d     $\Leftrightarrow$   ka : kb  = kc : kd
3. (a + b) : (c + d) = a : c = b : d 
4. (a - b) : (c - d)  = a : b = c : d   
5. (a + c) : (b + d)  = a : b = c : d 
6. (a - c) : (b - d)  = a : b = c : d   

B. Dua Macam Perbandingan

Ada dua macam  perbandingan,   yaitu  perbandingan   senilai  dan berbalik  nilai,

1. Perbandingan   senilai  (berbandingan   lurus) Suatu perbandingan dikatakan senilai dapat terjadi jika ketika besaran  pertama  nilainya  semakin besar, maka besaran  kedua  nilainya juga  semakin  besar, atau sebaliknya jika besaran pertama nilainya semakin kecil, maka besaran yang kedua juga nilainya turut semakin kecil. Jika a nilainya  p dan b nilainya  q, maka  berlaku  rumus:
   
                 $\displaystyle \frac {a}{b}=\frac {p}{q}$      atau        a : b = p : q
   
   Contoh
   
   Ibu membeli 8 ekor ayam dengan harga Rp 480.000,00. Jika Ayah hendak membeli lagi 5 ekor ayam, berapakah harga yang harus ayah bayar?
   
   Jawab
   Misalkan   a = jumlah ayam yang dibeli ibu = 8 ekor
                   b = jumlah ayam yang akan dibeli ayah = 5 ekor
   
                   p = harga 8 ekor ayam yang dibeli ibu = Rp. 480.000,00 
                   q = harga 5 ekor ayam yang akan dibeli ayah = ? ekor
   
   maka : $\displaystyle \frac {a}{ b} =\frac{p}{q}$
   
   $\Leftrightarrow$  $\displaystyle \frac {8}{5}= \frac {480.000}{q}$
   
   $\Leftrightarrow$  $\displaystyle q= \frac {5\times 480.000}{8}$
   
   $\Leftrightarrow$  $\displaystyle q= 5\times 60.000=300.000$
    
   jadi uang yang harus dibayarkan ayah untuk 5 ekor ayam adalah Rp. 300.000,00
   
   
   
2. Perbandingan  berbalik nilai, Suatu perbandingan dikatakan berbalik nilai jika besaran  yang pertama menjadi semakin  kecil, maka besaran kedua nilairrya justru  semakin  besar atau sebaliknya jika besarran yang pertama semakin besar maka besaran kedua malah semakin kecil. Di dalam perumusannya  jika a nilainya  p dan b nilainya  q, maka  berlaku  rumus:    $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{q}{p}$ atau a : b $\displaystyle =\frac{1}{p}:\frac{1}{q}$ atau $a\times p = b\times q$ Contoh Ayah hendak pergi ke Bandung dengan mengendarai sepeda motor pada pukul 07.00 dengan kecepatan 60 km/jam. Pada pukul 10.00 ayah sudah tiba di Bandung. Esok harinya, Andi hendak pergi ke Bandung dengan mengendarai mobil. Apabila Andi mengendarai mobil dengan kecepatan 90 km/jam dan berangkat pukul 09.00, pukul berapakah Andi sampai? Jawab Misalkan a = lamanya perjalanan Ayah ke Bandung = 3 jam. b = lamanya perjalanan Andi ke Bandung = ? jam p = kecepatan Ayah mengendarai motor = 60 km/jam q = kecepatan Andi mengendarai motor = 90 km/jamMaka: Maka: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{q}{p}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{3}{b} = \frac{90}{60}$
   
        $\Leftrightarrow$    $\displaystyle b = \frac{3 \times 60}{90}$
   
        $\Leftrightarrow$    $\displaystyle b = \frac{ 6}{3}=2 $ jam
   
   Jadi Andi tiba pukul 09.00 + 2 jam = 11.00.

 
C. Perbandingan Skala

Pada  peta  tertulis  skala  1 :   500.000  yang  berarti  setiap  satu  satuan  panjang  pada  peta tersebut  berbanding  500.000  satuan  panjang jarak yang sesunqquhnya.   Jadi 1   cm pada peta mewakili  jarak  sesungguhnya,   yaitu  500.000  cm = 5 km. Atau  dengan  kata lain, jika kota A dan kota B berjarak  5 km,maka  pada  peta jaraknya  hanya 1   cm.

Skala dirumuskan   sebagai  berikut.

$\displaystyle Skala  = \frac {\begin {matrix} Jarak & pada & peta \end {matrix}} {\begin {matrix}Jarak & sebenarnya \end {matrix}}$

Di dalam penulisannya, biasanya notasinya dinyatakan dengan Skala = jarak pada peta : jarak sebenarnya. Contoh:

1. Rumah Ani  dengan  sekolahnya   memiliki  jarak  400  m. Apabila  jarak  rurnah Ani  dengan, sekolah  digambar   10 cm pada denah.  Maka  berapakah  nilai skala  denahnya?    
   Jawab  : Diketahui  :   Jarak  Sebenarnya   = 400 m = 40.000  cm

   Jarak  pada  Peta = 10 cm Ditanyakan   :    Skala  = ? Skala  = Jarak  Sebenarnya/Jarak    pada  Peta = 40.000/10   = 4000 Jadi skala  pada peta ialah  1  :  4000

2. Kota A dengan  kota B memiliki  jarak  85 km. Apabila  jarak  kota A dengan  kota B digambar dengan  skala  1:1.000.000  pada  peta.  Maka jarak  petanya  adalah  ... cm.

   Jawab   :

   Diketahui  :  Jarak  Sebenarnya   = 85 km = 8.500.000  cm;

   Skala  1.000.000  cm

   Ditanyakan   :   Jarak  pada  Peta = ?

    

   Jarak pada peta = $\displaystyle \frac{\begin {matrix} jarak & sebenarnya \end {matrix}}{skala}=\frac {8.500.000}{1.000.000}= 8,5$ cm

   Jadi jarak  peta antara  kota A dengan  kota B adalah  8,5 cm. NB: Latihan soal bisa kalian kerjakan di tautan berjudul "Soal perbandingan dan skala$

Hubungan Titik dengan Garis dan Bidang

Hubungan Titik dengan Garis dan Bidang

A. Konsep Dasar 

        Dalam kamus besar Bahasa Indonesia, titik dapat didefinisikan sebagai sebuah noktah atau butiran. Namun berberda dengan matematika. Dalam ilmu geometri, istilah titik tidak begitu didefinisikan dengan jelas. Para matematikawan sendiri sepakat bahwa konsep mengenai titik merupakan suatu definisi yang tidak perlu dibuktikan secara absolut. Namun keberadaannya dapat ditentukan dari letaknya terhadap suatu garis atau bidang tertentu dan tidak memiliki ukuran panjang, lebar. berat, dll. Jadi titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran tetapi memiliki kedududukan.  Dalam konsep matematika, titik biasanya dinotasikan dengan menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B dll.

gambar 1. Titik pada bidang datar dan bangun ruang

        Jika kita mempunyai dua buah titik, maka kita dapat menghubungkan secara lurus kedua titik itu sedemikian sehingga membentuk sebuah garis.  Oleh karena itu, garis  juga dapat didefinisikan sebagai  kumpulan titik-titik yang saling terhubung secara lurus satu dengan yang lain. Notasi garis biasanya ditulis dengan menggunakan huruf latin kecil. Biasanya sebuah garis digambarkan dengan menggunakan 2 buah anak panah yang terletak pada kedua ujungnya. Hal itu menunjukan bahwa garis tidak memiliki titik ujung dan pangkal.
        Sebuah segmen garis biasanya dinotasikan dengan 2 huruf kapital dengan diikuti garis pada bagian atasnya. Dua huruf itu menunjuk pada titik yang yang terletak dikedua ujung pangkalnya. Ketika kita menyebut segmen garis $\overline{AB}$, maka titik A dan titik B merupakan titik-titik pada kedua ujung pangkal garis tersebut.  Dengan kata lain, segmen garis $\overline {AB}$ merupakan garis yang dibatasi oleh titik A dan titik B. Panjang segmen garis diukur dari jarak antara titik A ke titik B.
        Sinar garis adalah sebuah garis yang disalah satu titiknya menjadi titik pangkalnya namun tidak memiliki ujung. Definisi sinar garis mau menunjukan arah dari datangnya garis tersebut. Sinar garis $\overline {AB}$ berarti sebuah garis yang memiliki titik pangkal di titik A kemudian melewati titik B. Sementara $\overline {BA}$ adalah sebuah garis yang memiliki titik pangkal B dan melewati titik A. Seringkali penulisan garis panah di atas kedua huruf kapital seperti $\overrightarrow {AB}$ dan $\overrightarrow {BA}$ dapat digunakan untuk memperjelas arah datangnya sinar garis serta membedakannya  dengan istilah segmen garis $\overline {AB}$ atau $\overline {BA}$.
           Dari beberapa definisi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa segmen garis $\overline {AB}$ sama dengan segmen garis $ \overline BA$. Sementara sinar garis $\overline {AB}$ tidak sama dengan sinar garis $\overline {BA}$ karena memiliki arah yang berbeda atau berlawanan. 

gambar 2.
Perbedaan istilah garis, segmen garis dan sinar garis

Himpunan anggota yang memiliki lebih dari dua garis yang memiliki hubungan tertentu antara satu dengan yang lainnya disebut bidang. Secara kasat mata, bidang dapat didefinisikan sebagai suatu permukaan yang rata. Kita sendiri bisa membayangkannya bidang seperti sebuah lembaran kertas atau kaca. Bidang memiliki ukuran panjang dan lebar yang membentuk satuan luas. Notasi bidang biasanya ditandai dengan minimal tiga huruf kapital yang menunjuk pada titik-titik yang yang dilaluinya. Di dalam beberapa buku, notasi bidang menggunakan huruf Yunani seperti $\alpha, \beta, \gamma, \theta$, dll. 

gambar 3 memperlihatkan garis a, garis p
dan garis m terletak pada bidang ABCD

gambar 4 memperlihatkan garis IJ terletak pada
kedua bidang yaitu ABCD dan EFGH

B. Hubungan Titik dengan Garis 

            Hubungan antara titik dan garis dapat terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis. Titik disebut terletak pada garis apabila titik tersebut ada pada garis, atau titik tersebut menjadi bagian dari garis. Sementara titik berada di luar garis apabila titik tersebut tidak menjadi bagian dari garis. Gambar berikut menunjukan hubungan antara titik dengan garis. 

gambar 5 menunjukan bahwa titik A terletak
pada garis dan titik B terletak di luar garis

Beberapa titik dapat memiliki hubungan segaris bila titik-titik yang dimaksud itu tepat berada pada garis tersebut. Dengan kata lain, titik C, D dan E memiliki hubungan segaris pada garis $\overline {AB}$ bila ketiga titik tersebut terletak pada garis $\overline {AB}$. Sementara satu buah titik dapat memiliki hubungan dengan dua buah garis apabila dua buah garis tersebut saling memotong atau bertemu di titik tersebut. Gambar berikut dapat menjelaskan hubungan titik-titik yang segaris dan dua garis yang berpotongan di satu titik.

gambar 6

Pada gambar 6 diperlihatkan bahwa titik F, G, H, memiliki hubungan segaris karena terletak pada garis $\overline {EI}$. Demikian juga  titik C,G,dan D memiliki hubungan segaris karena terletak pada garis $\overline {AB}$. Kedua titik itu berpotongan di satu titik yakni titik G. Dengan demikian titik G memiliki hubungan terletak pada dua garis yaitu garis $\overline {AB}$ dan garis $\overline {EI}$.
 

C. Hubungan titik dengan bidang

     Sebuah titik bisa terletak pada bidang maupun di luar bidang. Jika titik tersebut berada pada bidang, maka titik tersebut dikatakan bagian dari bidang itu sendiri. Sebaliknya jika titik tersebut berada di luar bidang, maka titik tersebut tidak dapat dikatakan sebagai bagian dari suatu bidang. Dua titik atau lebih yang terletak pada bidang yang sama memiliki hubungan titik-titik yang sebidang. Sementara himpunan titik-titik yang terletak pada dua bidang sekaligus yang berbeda akan membentuk sebuah garis potong bidang. gambar berikut dapat menjelaskan beberapa istilah tersebut:

 

gambar 7

Pada gambar 7.a,  titik A, B dan C terletak pada bidang. sementara titik D dan E terletak di luar bidang. Sementara pada gambar 7.b, titik-titik yang memiliki hubungan terletak pada bidng ABCD dan EFGH membentuk sebuah segmen garis potong bidang yakni segmen garis $\overline {IJ}$


Latihan soal : silahkan klik link pada bagian $\Rightarrow$ "latihan: hubungan titik dengan garis dan bidang" $\Leftarrow$
            

 

Join together with Altissima Study Center
By
Subscribe and like this channel,

give positive comment

support our efforts and hard work,

If you want to contact us, please send your email at altissimastudycenter@gmail.com