Latihan soal untuk menghadapi OSN 2022

Pembahasan latihan Soal Matematika
Persiapan Menghadapi OSN 2022

1. Untuk polinom $f(x) = 2ax^3 + 3bx^ 2 + 6cx + d$  (a, b, c, d konstanta real), jika $a < 0$ dan $D = b^2 − 4ac > 0$, maka titik maksimum dari kurva f  tercapai di  $(x_0, y_0)$ dengan $x_0 = ...>$ 
   
   
   Pembahasan: 
   
   
   Karena $f(x)$ tidak memiliki titik ujung dan titik singular, maka titik kritisnya terjadi ketika                   $f'(x) = 6ax^2 + 6bx + 6c = 0$                   
            $ax^2 + bx + c = 0 $   ...........................  persamaan (1)
   
   
   Karena $D = b^2 − 4ac > 0$, maka persamaan (1) memiliki dua solusi riil yang berbeda, yakni                $\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$            $\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$  yang mana merupakan calon dari titik maksimum kurva $f(x)$. Karena $a < 0$, maka nilai maksimumnya terjadi ketika $\displaystyle x_0 = x*=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$ yakni dititik: 
   
   
             $\displaystyle  \left (  {x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}, f \left ( {\frac{-b-\sqrt D}{2a}}\right)} \right )$
   
   
   
   
2.  Diberikan persamaan kuadrat $2012x 2 - 2011x + 2010 = 0$, memiliki akar-kar n dan w. Maka nilai dari $(1 + n + n^2 + n^3+ n^4 + … )(1 + w + w^2 + w^3 + w^4 + …)$ adalah. …
   
   
   jawab :
   
   
   Perhatikan bahwa 
   
   
             $\displaystyle 2012x^2-2011x +2010 = 0  \Leftrightarrow  n+w =-\frac {b}{a}=\frac {2011}{2012}$ dan $\displaystyle n\times w =\frac {c}{a}=\frac {2010}{2012}$
   
   
   $\displaystyle 1+n^2+n^3+n^4+ ... =\frac {1}{1-n}$   dan $\displaystyle 1+w^2+w^3+w^4+ ... =\frac {1}{1-w}$
   
   
   dengan demikian
   
   
      $(1 + n + n^2 + n^3+ n^4 + … )(1 + w + w^2 + w^3 + w^4 + …) = \displaystyle \left ( \frac {1}{1-n} \right )  \left ( \frac {1}{1-w} \right )=\frac{1}{1-nw+n+w}$
   
   
                                                                                                           $\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{2011}{2012}+\frac{2010}{2012}}=\frac{2012}{2011}$ 
   
   
3. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 × 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan N adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:
            • untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
            • untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap
   Nilai N adalah ...
   
   
   Pembahasan 
   
   Perhatikan bahwa dua bilangan memiliki jumlahan genap jika dan hanya jika keduanya memiliki paritas

   sama. Akibatnya, keempat bilangan yang diisikan pada tabel 2 × 2 tersebut harus genap semua atau harus ganjil semua.

          (i) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 1 atau 3 maka banyaknya cara adalah 24 = 16.

            (ii) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 2 maka banyaknya cara adalah 1.
   
   Jadi, diperoleh nilai N = 16 + 1 = 17.

4. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ..
   
   
   Pembahasan
   Misalkan segitiga tersebut adalah segitiga ABC dimana garis bagi BE tegak lurus dengan garis berat CD, seperti tampak pada gambar di bawah ini
   
   

   

   gambar 1 

   
   

   Karena ∠C BE = ∠DBE dan BE⊥C D, akibatnya C BD adalah segitiga sama kaki dengan BC = BD. Jadi,  AB = 2BC.

   Misalkan pula panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, a + 1 dan a + 2 untuk suatu bilangan asli a.

   Terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu

   • BC = a dan AB = a + 1. Akibatnya a + 1 = 2a ⇒ a = 1. Jadi, diperoleh AB = 2, BC = 1 dan CA = 3. Akan tetapi, segitiga yang demikian tidak ada.

   • BC = a dan AB = a + 2. Akibatnya a + 2 = 2a ⇒ a = 2. Jadi, diperoleh AB = 4, BC = 2 dan CA = 3. 

   • (iii) BC = a + 1 dan AB = a + 2. Akibatnya $a + 2 = 2(a + 1) \Rightarrow a = 0$ Jelas ini tidak mungkin.

   maka keliling segitiga yang memenuhi syarat adalah 2 + 3 + 4 = 9 

5. Buktikan bahwa untuk $n \epsilon \mathbb{N}$ bentuk $5^n - 4n - 1 $ akan habis dibagi 16.
   
   Pembahasan
   untuk $n=1$ jelas $5^n - 4n - 1 = 0$ adalah benar karena 0 habis dibagi dengan 16. Dengan demikian $P(1) $ benar
   
   Andaikan asumsi tersebut benar untuk $P(n)$ benar yaitu $5^n - 4n - 1 = 16 m $ untuk $ m \epsilon \mathbb{Z}$. Akan ditunjukan bahwa pernyataan tersebut benar untuk $P(n+1)$
   
   $ P(n+1)=5^{n+1} - 4(n+1)-1= 5. 5^n-4n-5=5(5^n-4n-1)-4n-5+(20n+5)=5.16m+16=16(5m+n)$
   
   bentuk terakhir  merupakan kelipatan 16 sehingga $ 5^n-4n-1= 16m, \epsilon mathbb{Z}$ benar untuk semua $n \epsilon mathbb{N}$