Pembahasan Soal Matematika Kelas 7 SMP materi Kubus dan Balok

Tugas Harian
Kubus dan Balok

==============000==============

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Perhatikan gambar berikut!
   
   

   

   
   
   Manakah pernyataan-pernyataan berikut yang benar?
            a. Rusuk IJ // LK // MN // PO .
            b. Rusuk JN // KO // IM // LP .
            c. Rusuk MN tidak sejajar dengan LP .
            d. Rusuk IL // JK // NO // MP
   
   Jawab:
   Semua pernyataan tersebut benar
   
   
2. Lukislah sebuah kubus KLMN.OPQR pada kertas berpetak dengan panjang rusuk 5 satuan.
       a. Sebutkan pasangan ruas garis yang sejajar.
       b. Sebutkan pula tiga pasang ruas garis yang bersilangan.
   
   jawab
   
   

   

   
   a. Pasangan garis yang sejajar
          a.1 garis KL // MN // QR //OP
          a.2 garis KO // LP // MQ //NR
          a.3 garis KN // LM // PQ //OR
   
   b, Pasangan garis yang bersilangan
         b.1 KO dengan MN dan QR
         b.2 KL dengan MQ dan NR
         b.3 KN dengan LM dan MQ
   
   
   
3. Lukislah sebuah balok ABCD.EFGH pada kertas berpetak dengan ukuran panjang 5 satuan, lebar 3 satuan, dan tinggi 3 satuan.
           a. Lukislah semua diagonal bidangnya.
           b. Berapa banyak diagonal bidang yang dapat dilukis?
   
   Jawab
           a
   
   

   

   
   
             b. Ada 12 diagonal sisi
   
   
   
4. Pada bangun balok yang telah kalian lukis (soal nomor 3), lukis diagonal ruangnya. Ada berapa banyak diagonal ruang yang dapat dilukis?
   
   

   

   
   
   
5. a. Lukislah sebuah kubus EFGH.IJKL pada kertas berpetak dengan panjang rusuk 6 satuan dan
       EFGH sebagai bidang alasnya.
   b. Hitunglah jumlah panjang diagonal bidang pada kubus tersebut.
   c. Hitung pula jumlah panjang diagonal ruang pada kubus tersebut.
   
   Jawab
   a. 

   

   
   b. 

   
   
   

        Ada 12 diagonal bidang pada kubus
   c. 

   

   
       Ada 4 diagonal ruang pada kubus
   
   
6. Lukislah sebuah kubus dan sebuah balok. Dapatkah kalian menentukan sifat-sifat kubus dan balok tersebut dipandang dari sisi, rusuk, dan titik sudutnya?
   
   Jawab
   

   

   
   Ciri-ciri Kubus
           a. Memiliki 12 rusuk sama panjang
           b. memiliki 6 sisi berbentuk persegi dan seluruh sudutnya membentuk 90$^o$
           c. Memiliki 12 diagonal sisi, 6 bidang diagonal, 4 diagonal ruang. 
           d. Memiliki 8 titik sudut
           e. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang
           f. Setiap sisi yang berhimpitan saling tegak lurus satu dengan yang lainnya.
   
   Ciri-ciri balok
            a. Memiliki 12 rusuk, 4 rusuk yang saling sejajar berukuran sama panjang
            b. Memiliki 8 titik sudut
            c. Memiliki 6 sisi yang saling tegak lurus  satu dengan sisi yang berhimpitan
            d. Memiliki 12 diagonal sisi, 6 diagonal bidang dan 4 diagonal ruang.
            e. Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya
                kongruen
            f. Setiap sisi yang berhimpitan saling tegak lurus terhadap yang lainnya
   
   
7. Lukislah kubus KLMN.OPQR.
      a. Berbentuk apakah bangun KLMN? Berapakah luasnya?
      b. Berbentuk apakah bangun LMQP? Berapakah luasnya?
      c. Menurutmu, bagaimana luas setiap sisi pada suatu kubus?
   
   Jawab
   

   

   
       a. Bangun KLMN berbentuk persegi
       b. Bangun LMQP berbentuk persegi
       c, Luas setiap sisi pada kubus adalah luas persegi yakni $sisi \times sisi$
   
   
   
8. Lukislah balok ABCD.EFGH.
      a. Berbentuk apakah bangun ABCD, BCGF, dan ABFE? Tentukan luasnya.
      b. Tentukan pula luas sisi-sisi balok yang lain.
      c. Apa yang dapat kalian simpulkan dari jawaban a dan b?
   
   Jawab
   

   

   
        a. Bangun ABCD berbentuk persegi panjang dengan luas $=AB \times BC$
            Bangun BCGF berbentuk persegi panjang dengan luas $=CG \times BC$
            Bangun ABFE berbentuk persegi panjang dengan luas $=AB \times BF$
   
        b. Bangun EFGH berbentuk persegi panjang dengan luas $=EF \times FG$
            Bangun CDHG berbentuk persegi panjang dengan luas $=CD \times DH$
            Bangun ADHE berbentuk persegi panjang dengan luas $=AD \times DH$
   
         c. Jika $AB = p, BC = l$ dan $AE = t$, maka luas permukaan balok dapat dicari yakni 
             Luas permukaan balok $ = 2 \times \left ( p\times l + p \times t + l \times t \right )$
    
9. Lukislah sebuah kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Berapakah jumlah panjang rusuk kubus tersebut?
   
   

   

   
   Jumlah semua rusuk kubus adalah 12 buah. Karena masing-masing rusuk panjangnya 4 cm, maka total jumlah panjang seluruh rusuk $= 12 \times 4 = 48 $ cm 
   
   
10. Sediakan sebuah kaleng bekas roti atau susu. Amatilah kaleng tersebut. Bagaimana sisi kaleng tersebut? Berapakah banyaknya rusuk kaleng tersebut?
    
    Jawab
    Sisi kaleng berbentuk persegi panjang. Banyaknya rusuk pada kaleng yang berbentuk balok/kubus adalah 12 buah.
    
    
    
11. Sukma memiliki kawat sepanjang 156 cm. Ia ingin menggunakan kawat tersebut untuk membuat kerangka kubus. Berapa panjang rusuk kubus agar kawat tidak bersisa?
    
    Jawab
    Banyaknya rusuk yang dibutuhkan adalah 12 buah. Dengan demikian panjang setiap rusuk dapat dihitung yakni
    
             $\displaystyle r =\frac{156}{12}=13$ cm
    
    
    
12. Diketahui sebatang kawat mempunyai panjang 236 cm. Kawat itu akan dibuat model kerangka berbentuk kubus dan balok. Jika ukuran balok tersebut $(12 \times 8 \times 5)$ cm, tentukan panjang rusuk kubus.
    
    Jawab
    
    Panjang total kawat untuk balok $ = 4 \times ( p + l + t) =4 \times (12 + 8 + 5)=4 \times 25=100$ cm
    
    Sisa kawat yang akan digunakan = 236 - panjang total kawat balok = 256 - 100 = 156 cm
    
    Panjang setiap rusuk kubus yang akan dibuat $\displaystyle =\frac {156}{12}=13$ cm
    
    
    
13. Perhatikan gambar di bawah.
    
    

    

    
    Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka seperti gambar di atas?
    
    Jawab
    
    Jumlah kawat yang dibutuhkan :
       
             Balok besar $=4 \times (18+5+6) =4\times 29 =  116$
             Balok kecil $= \underline {4 \times (5+5)+2 \times 12 =40 + 24 =64}$ +
                                                 total = 180
    
    
    
14. Hitunglah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kotak kapur tulis berukuran $(6 \times 4 \times 5)$ cm.
    
    Jawab
    panjang kawat yang diperlukan $=4\times (6+4+5)=4\times 15 =60$ cm
    
    
    
15. Made akan membuat 15 buah kerangka balok yang masing-masing berukuran $30 \times 20 \times 15$ cm. Bahan yang akan digunakan terbuat dari kawat yang harganya Rp1.500/m.
        a. Hitunglah jumlah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat balok tersebut.
        b. Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli bahan/kawat.
    
    Jawab
        a. Jumlah kawat yang diperlukan $= 4\times (30+20+15)=4\times 65=260$ m
        b. Biaya yang diperlukan $= 260 \times 1500 = 390.000$
    
    
    
16. Di antara gambar berikut, manakah yang merupakan jaring-jaring kubus?
    
    
    
    
    
    Jawab
    
    Di antara gambar tersebut, hanya gambar a dan gambar d yang bukan jaring-jaring kubus. Sementara yang lainnya merupakan jaring-jaring kubus.
    
    
17. Di antara gambar berikut, manakah yang merupakan jaring-jaring balok?
    
    
    
    
    
    Jawab
    hanya gambar a yang bukan jaring-jaring balok
    |
    
    
18. Perhatikan jaring-jaring kubus pada gambar di bawah.
    
    
    
    
    
    Jika nomor 3 sebagai alas kubus, nomor berapakah yang menjadi tutup kubus?
    
    Jawab
    Nomor 1
    
    
19. Buatlah model balok dengan panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Carilah kemungkinan-kemungkinan jaring-jaring balok yang berlainan yang dapat dibuat dari balok tersebut. Ada berapakah jaring-jaring balok yang dapat kalian buat?
    
    Jawab
    
    Beberapa contohnya adalah
    
    
    
    
     
    
20. Hitunglah luas permukaan kubus dengan panjang setiap rusuknya sebagai berikut.
         a. 4 cm
         b. 10 cm
         c. 7 cm
         d. 12 cm
    
    Jawab
    
    a. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 4^2=96$ cm$^2$
    b. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 10^2=600$ cm$^2$
    c. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 7^2=294$ cm$^2$
    d. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 12^2=864$ cm$^2$
    
    
    
21. Sebuah benda berbentuk kubus luas permukaannya 1.176 cm$^2$ . Berapa panjang rusuk kubus itu?
    
    Jawab
    
    rusuk kubus $\displaystyle =\sqrt {\frac {Luas}{6}}=\sqrt {\frac {1176}{6}}=14$ cm
    
    
22. Dua buah kubus masing-masing panjang rusuknya 6 cm dan 10 cm. Hitunglah perbandingan luas permukaan dua kubus tersebut.
    
    Jawab
    
    Luas kubus 1 : Luas kubus 2 $=6\times s_1^2 : 6\times s_2^2$
    
                                             $=6\times 6^2 : 6\times 10^2$
    
                                             $= 9 : 25$
      
    
    
23. Hitunglah luas permukaan balok dengan ukuran sebagai berikut.
         a. $8 \times 4 \times 2 $ cm
         b. $8 \times 3 \times 4 $ cm
         c. $9 \times 9 \times 6 $ cm
         d. $9 \times 8 \times 4 $ cm
    
    Jawab
         a. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                        $=2 \times (8 \times 4+8\times 2 + 4\times 2)$
                                        $=2\times (32 +16+8)=2\times 56=112 $ cm$^2$
    
         b. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                        $=2 \times (8 \times 3+8\times 4 + 3\times 4)$
                                        $=2\times (24 +32+12)=2\times 68=136 $ cm$^2$
    
         c. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                        $=2 \times (9 \times 9+9\times 6 + 9\times 6)$
                                        $=2\times (81 +54+54)=2\times 189=378 $ cm$^2$
    
         d. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                        $=2 \times (9 \times 8+9\times 4 + 8\times 4)$
                                        $=2\times (72 +36+32)=2\times 140=280 $ cm$^2$
    
    
    
24. Suatu balok memiliki luas permukaan 198 cm$^2$ . Jika lebar dan tinggi balok masing-masing 6 cm dan 3 cm, tentukan panjang balok tersebut.
    
    Jawab
    
             Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                      198            $=2 \times (p \times 6+p\times 3 + 6\times 3)$
                      198            $=2\times (6p +3p+18)$
                      198            $= 18p+36$
    
             $\Leftrightarrow$     $\displaystyle p=\frac {198-36}{18}=\frac {162}{18}=9$ cm
    
    
25. Hitunglah perbandingan luas permukaan dua buah balok yang berukuran $(6 \times 5 \times 4)$ cm dan $(8 \times 7 \times 4)$ cm.
    
    Luas balok 1 : Luas balok 2 $=2\times (p_1\times l_1+p_1\times t_1 +l_1 \times t_1) : 2\times (p_2\times l_2+p_2\times t_2 +l_2 \times t_2)$ 
    
    Luas balok 1 : Luas balok 2 $=2\times (6\times 5+6\times 4 +5 \times 4) : 2\times (8\times 7+8\times 4 +7 \times 4)$ 
    
    Luas balok 1 : Luas balok 2 $=(30+24+20) :  (56+32 +28)$ 
    
    Luas balok 1 : Luas balok 2 $=74 :  116$
    
    Luas balok 1 : Luas balok 2 $=37 :  58$ 

Pembahasan Soal Ulangan harian : Balok dan Kubus

Ulangan Harian Matematika

Kelas 8 SMP

Materi : Kubus dan Balok

============ 000 ===========

Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

A. Soal Pilihan Ganda

1. Perhatikan gambar berikut ini
   
   
   
   
   
   Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
        a. AB // DC // EF // HG
        b. AE // BF // CG // DH
        c. AD // EH // BC // FG
        d. AD // BC // BF // CG
   
   jawab:
   
   Jawaban d. karena garis AD tegak lurus dengan garis BF tetapi AD sejajar dengan BC dan bersilangan dengan CG
   
   
   
2. Perhatikan gambar berikut ini:
   
   
   
   
   
   Jika rangkaian persegi panjang di atas dilihat sepanjang garis putus-putus, akan terbentuk bangun ....
        a. kubus
        b. prisma
        c. limas
        d. balok
   
   Jawab 
   
   Gambar tersebut merupakan jaring-jaring balok
   
   
   
3. Sebuah balok mempunyai luas permukaan 376 cm$^2$. Jika panjang balok 10 cm, lebar balok 6 cm, tinggi balok adalah ....
        a. 6 cm
        b. 8 cm
        c. 7 cm
        d. 9 cm
   
   jawab
   
   Luas permukaan balok $=2\times (p\times l+p\times t + l \times t)$
                376                  $= 2\times (10 \times 6 + 10 \times t + 6\times t)$
   
                $\displaystyle \frac {376}{2}$                $=60 +(10+6) \times t$
   
                 188                 = 60 + 16 t
   
   $\Leftrightarrow$     $\displaystyle t=\frac{188-60}{16}=\frac{128}{16}=8$ cm
   
                    
4. Sebuah kubus panjang rusuknya 6 cm. Luas permukaan kubus itu adalah ....
        a. 36 cm$^2$
        b. 432 cm$^2$ 
        c. 216 cm$^2$ 
        d. 1.296 cm$^2$ 
   
   jawab
   
   luas permukaan kubus $=6\times s^2=6\times 6^2=216$ cm$^2$
   
   
   
5. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah ....
        a. Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan jika kedua garis itu tidak berpotongan dan
            terletak pada satu bidang.
        b. Sebuah balok memiliki enam diagonal ruang.
        c. Sebuah balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan
            sepasang-sepasang kongruen.
        d. Diagonal bidang balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling
            berhadapan dalam ruang pada kotak.
   
   jawab
   Pernyataan (a) salah karena dua buah garis yang bersilangan terletak pada bidang yang berbeda
   Pernyataan (b) salah karena balok memiliki 4 diagonal ruang
   Pernyataan  (d) salah karena diagonal bidang merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan pada permukaan bidang datar balok.
   
   
   
6. Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 3 dm. Jika selisih luas sisi kubus itu 234 dm2, selisih volume kedua kubus adalah ....
        a. 358 dm$^3$
        b. 387 dm$^3$ 
        c. 378 dm$^3$ 
        d. 387,5 dm$^3$ 
   
   Misalkan R dan r masing-masing merupakan rusuk kubus 1 dan kubus 2, .maka 
   
               R - r = 3 dm   dan     $6R^2 - 6r^2 =234$ dm$^2$
       
                                                 $\displaystyle R^2 - r^2 =\frac {234}{6}=39$
   
   dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas didapat
   
               $R^2 - r^2 = 39$
               $(R - r)(R + r) = 39$
               $3 (R + r) = 39$
               $\displaystyle R + r =\frac{39}{3} = 13$
   
   Oleh karena itu didapat
   
               $R+r = 13$ 
               $\underline {R-r = 3}$ -
                  $2r = 10$    $\Leftrightarrow$     $\displaystyle r =\frac{10}{2}$
   
               $R+r = 13$
               $\underline {R-r = 3}$ +
               $2R = 16$    $\Leftrightarrow$     $\displaystyle R =\frac{16}{2}$
    
   Dengan demikian selisih Volume dapat dicari yakni
   
   Volume kubus 1 - Volume kubus 2 $\displaystyle = \left ( \frac {16}{2} \right )^3 - \left ( \frac {10}{2} \right )^3 =  \frac{4096-1000}{8}=\frac{3096}{8}=387 $ dm$^3$
   
   
   
7. Rusuk-rusuk balok yang bertemu pada sebuah pojok balok berbanding 4 : 4 : 1. Jika volume balok 432 liter, luas permukaan balok adalah ....
        a. 423 dm$^2$ 
        b. 452 dm$^2$ 
        c. 432 dm$^2$ 
        d. 464 dm$^2$ 
   
   Jawab
   
   misalkan ukuran rusuk adalah p = 4x, l = 4x dan t = x. maka
   
        Volume balok $=p \times l \times t = 4x \times 4x \times x $
   
                432        $=16 \times x^3$
   
                 $\Leftrightarrow$     $\displaystyle x =\sqrt[3] {\frac{432}{16}}=\sqrt[3]{27}=3$
   
   Dengan demikian
          
        Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times 4x + 4x \times x +4x\times x)$
   
        Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times (4x + x + x))$
   
        Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times 6x = 48 x^2=48 \times 3^2 = 432 $ dm$^2$
      
   
   
8. Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah $\displaystyle \frac {1}{2}$ m dan selisih volumenya $\displaystyle \frac{7}{8}$ m$^3$. Jika kubus besar disusun menjadi kubus-kubus kecil yang kongruen dengan panjang rusuk 10 cm, banyaknya kubus-kubus kecil itu adalah ....
        a. 10 buah
        b. 500 buah
        c. 100 buah
        d. 1.000 buah
   
   jawab
   
   Misalkan R = rusuk kubus besar dan r = rusuk kubus kecil
   
   maka    $\displaystyle R - r = \frac {1}{2}$     $\Leftrightarrow$    $\displaystyle r = R - \frac{1}{2}$  
   
                                      $\Leftrightarrow$    $\displaystyle r^3 = \left ( R - \frac{1}{2} \right )^3$ ..... persamaan 1
   
                 $\displaystyle R^3 - r^3 = \frac {7}{8}$     $\Leftrightarrow$    $r^3=R^3 - \frac{7}{8}$   ..... persamaan 2
   
   
   dari persamaan 1 dan 2 diperoleh
   
                $ \left ( R- \frac{1}{2} \right )^3 = R^3 - \frac{7}{8}$
   
                $  R^3 + \frac{3r}{4} -\frac {3R^2}{2}-\frac {1}{8} = R^3 -\frac{7}{8}$
   
                $  \frac{3R}{4} -\frac {3R^2}{2}-\frac {1}{8} + \frac{7}{8}= 0$     
   
                $  \frac{3R}{4} -\frac {3R^2}{2}+\frac {6}{8} = 0$     kalikan 4
   
                $  -6R^2 +3R+ 3 = 0$     $\Leftrightarrow$  $2R^2 - r -1= 0$
   
                                                         $\Leftrightarrow$  $(2R + 1)(R -1)= 0$
   
                                                         $\Leftrightarrow$  $\displaystyle R = -\frac {1}{2}$   atau   $ R = 1$
   
   Karena ukuran jarak bernilai positif, pilih R = 1 m = 100 cm dan $\displaystyle r =R-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ m $\displaystyle =\frac{1}{2}\times 100 =50$ cm . Dengan demikian jumlah kubus kecil berukuran 10 cm yang dapat mengisi kubus dengan R = 100 cm adalah :
   
   Jumlah kubus kecil  $\displaystyle = \frac{100^3}{10^3}=\left ( \frac{100}{10} \right )^3=10^3 = 1000 $ kubus
   
   
   
9. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = (x + 1) cm, BC = x cm, dan AC = (x + 2) cm. Jika tinggi balok 2 cm, volume balok adalah ....
        a. 9 cm$^3$
        b. 42 cm$^3$ 
        c. 24 cm$^3$ 
        d. 48 cm$^3$
   
   Jawab
   
   Dengan menggunakan rumus phytagoras diperoleh
   
   $AB^2 + BC^2 = AC^2$
   
   $ (x+1)^2 + x^2 = (x+2)^2$
   
   $ x^2+2x+1 + x^2 = x^2+4x+4$
   
   $ x^2-2x-3 =0$   $\Leftrightarrow$    $(x-3)(x+1)=0$     $\Leftrightarrow$     $x = 3$ atau $x=-1$
   
   Pilih x = 3, didapat  AB = 4, BC = 3 dan AC = 5. Dengan demikian volume balok adalah
   
   Volume $= AB \times BC \times tinggi = 4 \times 3 \times 2 =24$ cm$^2$
   
   
   
10. Sebuah kubus memiliki rusuk sepanjang 6 cm. Rusuk itu diperpanjang sebesar k kali panjang rusuk semula, sehingga volumenya menjadi 1.728 cm3. Nilai k adalah ....
         a. 2
         b. 6
         c. 4
         d. 8
    
    jawab
    
    karena  R = 6k, maka
    
    Volume $=R^3$   $\Leftrightarrow$    $ 1728 =(6k)^3$
     
                                 $\Leftrightarrow$    $ 1728 =216 k^3$
    
                                 $\Leftrightarrow$    $ \displaystyle k =\sqrt[3]{\frac {1728}{216}}=\sqrt[3]{8}=2 $
      

B. Soal Essay

Jawab pertanyaan ini dengan jelas

1. Pada kertas berpetak, lukislah balok PQRS.TUVW dengan panjang 4 satuan, lebar 2 satuan, dan tinggi 3 satuan.
        a. Lukislah semua diagonal ruangnya.
        b. Ada berapa banyak diagonal bidangnya, sebutkan.
   
   Jawab
   
   a. 
   
   
   
   
   b. karena balok memiliki 6 sisi dan masing-masing sisi memiliki 2 diagonal bidang, maka
       banyaknya diagonal bidang pada balok adalah $2\times 6= 12$ buah.  
   
   
   
2. Hitunglah luas permukaan balok jika diketahui
         a. V = 24 cm3, p = 4 cm, dan l = 3 cm;
         b. V = 315 cm3, p = 9 cm, dan l = 7 cm.
   
   Jawab:
   a. Volume $=p \times l \times t$
            24    $=4 \times 3 \times t$   $Leftrightarrow$     $\displaystyle t=\frac{24}{12}=2$ cm
   
       Luas permukaan $= 2\times (p\times l +p\times t + l\times t)$
                                  $=2\times (4\times 3+4 \times 2 +3\times 2)$
                                  $=2\times(12+8+6)=52$ cm$^2$   
   
   b. Volume $=p \times l \times t$
            315    $=9 \times 7 \times t$   $Leftrightarrow$     $\displaystyle t=\frac{315}{63}=5$ cm
   
       Luas permukaan $= 2\times (p\times l +p\times t + l\times t)$
                                  $=2\times (9\times 7+9 \times 5 +7\times 5)$
                                  $=2\times(63+45+35)=286$ cm$^2$
   
   
   
3. Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 2 m. Kubus tersebut tersusun dari kubus-kubus kecil dengan panjang setiap rusuknya 20 cm.
        a. Tentukan volume kubus besar dan kubus kecil.
        b. Berapa banyak kubus kecil hingga tersusun kubus besar?
   
   jawab
   
   a. Volume kubus besar $=200^3=8.000.000$ cm$^3$
       Volume kubus kecil $=20^3=8.000$ cm$^3$
   
   b. Banyaknya kubus kecil $\displaystyle =\frac{8.000.000}{8.000}=1.000$ buah
   
   
   
4.  Luas permukaan sebuah kubus adalah 294 cm$^2$. Hitunglah
        a. panjang diagonal bidangnya;
        b. panjang diagonal ruangnya;
        c. volume kubus.
   
   Jawab:
           Luas permukaan $ = 6 \times s^2$
                  294              $ = 6 \times s^2$
   
           $\Leftrightarrow$      $\displaystyle s=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7$ cm
   
   a. Panjang diagonal bidang $=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt 2$ cm
   b. Panjang diagonal ruang  $=\sqrt{7^(7\sqrt 2)^2}=7\sqrt 3$ cm
   c. Volume $=s^3=7^3=343$ cm$^3$
   
    
5. Diketahui tempat air berukuran panjang 60 cm, lebar 50 cm, dan tinggi 100 cm berisi air penuh. Air tersebut akan dikurangi dengan cara melubangi tempat tersebut, hingga air yang keluar ditampung dalam tempat lain yang berukuran $(40 \times 30 \times 20)$ cm.
        a. Tentukan volume penampungan air.
        b. Tentukan tinggi permukaan air pada tempat pertama setelah dikurangi.
   
   Jawab
   
   a. Volume penampungan air $=40 \times 30 \times 20 =24000$ cm$^3$
   b. Volume bak air $=60\times 50\times 100=300.000$ cm$^3$
       Selisih volume $=300.000-24.000=276.000$ cm$^3$
       
       tinggi air dalam bak setelah dikurangi $\displaystyle =\frac{276.000}{60\times 50}=\frac{276.000}{3000}= 92$ cm.
   
   
   
   
   

Pembahasan Soal Bangun ruang

 Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

1. Banyaknya titik sudut pada prisma segitiga adalah ....
             a.   6 buah                     
             b. 10 buah
             c.   8 buah
             d. 12 buah
   
   Jawab:
   
   Perhatikan gambar di bawah ini :
   
   
   
   
   Dengan demikian nampak bahwa jumlah sudut prisma segitiga adalah 6 buah.
   
   
2. Banyaknya rusuk alas pada limas segi empat adalah ....
             a. 3 buah
             b. 7 buah
             c. 4 buah
             d. 8 buah
   
   
3. Perhatikan gambar prisma segi lima beraturan berikut ini.
   
   
   
   
   
   Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
             a. rusuk-rusuk tegaknya adalah KP, LQ, MR, NS, dan OT
             b. bidang KLMNO kongruen dengan bidang PQRST
             c. bidang KMRP dan KNSP merupakan bidang diagonal
             d. diagonal bidang alasnya ada 4 buah
   
   Jawab :
   Jawaban yang salah adalah (d) sebab jumlah diagonal alasnya adalah 5  buah. yakni: OL, OM, KM, KN, dan LN.
   
   
   
   
   
    
4. Gambar di bawah ini merupakan jaring - jaring ....
   
   
   
   
             a. limas segi lima beraturan
             b. limas segi enam beraturan
             c. prisma segi lima beraturan
             d. prisma segi enam beraturan
   
   Jawab
   Jika melihat segilima sebagai alasnya dan kelima segitiga sebagai sisi tegaknya, maka bangun ruang yang terbentuk adalah limas segilima beraturan.
   
   
   
   
   
   
   
5. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, volume prisma adalah ....
              a.   90 cm$^3$
              b. 250 cm$^3$
              c. 200 cm$^3$
              d. 300 cm$^3$ 
   
   Jawab
   
   jika melihat ukuran panjang sisi segitiga alasnya, maka segitiga tersebut memenuhi syarat phytagoras dengan kedua sisi siku-sikunya memiliki panjang 3 cm dan 4 cm. Dengan demikian volume prisma segitiga adalah
   
   

   Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = $\displaystyle \left (\frac {1}{2} \times 3 \times 4 \right ) \times 15 = 90$ cm$^3$ 
   
   
6. Diketahui luas permukaan prisma tegak segi empat beraturan 864 cm$^2$ dan tinggi prisma 6 cm. Panjang sisi alas prisma adalah ....
              a. 8 cm
              b. 12 cm
              c. 10 cm
              d. 14 cm
   
   Jawab
                Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = $\displaystyle s \times s \times 12 $
   
                 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle s^2= \frac {864}{6} = 144$
   
                 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle s= \sqrt {144}=12$ cm
   
   
   
7. Diketahui suatu limas dengan alas berbentuk persegi. Luas alas limas 144 cm2 dan tinggi limas 8 cm. Luas permukaan limas adalah ....
               a. 204 cm$^2$
               b. 484 cm$^2$ 
               c. 384 cm$^2$ 
               d. 1.152 cm$^2$
   
   jawab
   
   
   
   
   
   Sisi alas limas  = $ \sqrt ($luas alas) $ =\sqrt {144}=12$ cm
   
   tinggi sisi tegak limas = $\sqrt {6^2 + 8^2}=10$ cm
   
   Dengan demikian luas permukaan limas tersebut =
   
   Luas limas segiempat beraturan = 4 $\times$ luas segitiga + luas alas
   
                                                       = $\displaystyle 4 \times \frac {1}{2} \times 12 \times 10 $ + 144
   
                                                       =              240           + 144 
   
                                                       = 384 cm$^2$
          
8. Diketahui volume suatu prisma 450 cm$^3$. Alas prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 5 cm, 13 cm, dan 12 cm. Tinggi prisma adalah ....
               a. 12 cm
               b. 14 cm
               c. 13 cm
               d. 15 cm
   
   Jawab
   Karena sisi terpanjang segitiga berukuran 13 cm maka sisi tegaknya berukuran 5 cm dan 12 cm
   
   Volume Prisma  = luas alas $\times$ tinggi prisma
            450           $\displaystyle \frac {1}{2}\times 5 \times 12 \times$ tinggi prisma
   
            450           $ = 30 \times$ tinggi prisma
   
   $\Leftrightarrow$   tinggi prisma $\displaystyle =\frac {450}{30}=15$ cm
    
9. Jika suatu limas luas alasnya 240 cm$^2$ dan tinggi 30 cm maka volume limas adalah ....
               a. 2.400 cm$^3$
               b. 4840 cm$^3$ 
               c. 4.400 cm$^3$ 
               d. 7.200 cm$^3$ 
   
   Jawab
   
   Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
   Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times 240 \times 30 = 2400$ cm$^3$ 
   
   
   
10. Suatu limas memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran 25 cm dan 15 cm. Jika tinggi limas 7 cm, volume limas adalah ....
                a. 262,5 cm$^3$ 
                b. 870 cm$^3$ 
                c. 484 cm$^3$ 
                d. 875 cm$^3$
    
    Jawab
    
    Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
    
    Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times 25\times 15 \times 7=875$ cm$^3$
    
     
    
11. Diketahui prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan AB = 15 dm, BC = 12 dm, dan AC = 9 dm.
    
    

    

    
    Jika tinggi prisma itu 2 dm, volumenya adalah ....
                a. 108 liter
                b. 540 liter
                c. 216 liter
                d. 1.080 liter 
    
    Jawab
    alas prisma berbentuk segitiga siku-siku karena memenuhi syarat phytagoras. Dengan demikian sisi yang saling tegak lurus adalah yang berukuran 9 cm dan 12 cm.
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume limas $\displaystyle \frac {1}{2}\times 9 \times 12 \times 2 = 108$ dm$^3 = 108$ liter
    
    
    
12. Pada prisma tegak segi empat ABCD.EFGH, sisi alas ABCD berupa trapesium sama kaki dengan AB//CD, AB = 10 cm, CD = 4 cm, dan AD = 5 cm. Jika luas semua sisi tegaknya 216 cm$^2$ maka volume prisma itu adalah ....
                a. 252 cm$^3$
                b. 560 cm$^3$
                c. 320 cm$^3$
                d. 600 cm$^3$
    
    Jawab
    
    

    
    
    Pada gambar nampak bidang ADHE sebangun dengan bidang BCGF. Dengan demikian
    Luas selimut = 2 $\times$ luas ADHE + luas CDHG + luas ABFE
           216         $=2 \times 5 \times$ tinggi prisma + $4 \times$ tinggi prisma + $10 \times $ tinggi prisma
           216         $= (10 + 4 + 10) \times$ tinggi prisma    
           216         $= 24 \times$ tinggi prisma 
    
    Tinggi prisma $\displaystyle =\frac{216}{24}=9$ cm
    
    Sekarang perhatikan $\bigtriangleup BCE$ pada trapesium ABCD seperti gambar berikut
    
    
    

    
    
    Dengan demikian tinggi trapesium dapat kita cari dengan menggunakan phytagoras yakni
    
    $BE =\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume prisma $\displaystyle =\left ( \frac{DC+AB}{2}\times BE \right ) \times 9 $ 
    
    Volume prisma $\displaystyle =\left ( \frac{10+4}{2}\times 4\right ) \times 9 = 252$ cm$^3$ 
      
    
    
13. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD, dengan AB = 8 cm dan luas bidang TAB = 24 cm$^2$. Volume limas itu adalah ...
                 a. 94,3 cm$^3$
                 b. 95,4 cm$^3$
                 c. 94,5 cm$^3$
                 d. 96 cm$^3$ 
    
    Jawab
    Perhatikan $\bigtriangleup TAB$ bangun ruang TABCD berikut ini
    
    
    
    
    
    Luas $\bigtriangleup {TAB}\displaystyle =\frac {1}{2}\times AB \times tinggi_{\bigtriangleup {TAB}}$
    
          24       $\displaystyle = \frac {1}{2} \times 8 \times tinggi_{\bigtriangleup TAB}$
    
          24       $\displaystyle = 4 \times tinggi_{\bigtriangleup TAB}$
    
    
    Tinggi$_{\bigtriangleup TAB}\displaystyle = \frac {24}{4} = 6$ cm
    
    
    Sekarang perhatikan $\bigtriangleup TEO$ pada bangun ruang TABCD seperti gambar berikut
    
    
    
    
    Karena EO $\displaystyle =\frac {BC}{2}=\frac {8}{2}=4$ cm dan TE = 6 cm, maka dengan menggunakan phytagoras diperoleh :
     
                Tinggi limas $=\sqrt {TE^2-EO^2}=\sqrt {6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt 5$
    
    Dengan demikian kita dapat mencari volume limas, yakni :
    
               Volume limas $\displaystyle = \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi prisma
    
               Volume limas $\displaystyle = \frac {1}{3} \times 8 \times 8 \times 2 \sqrt 5= \frac {128}{3}\sqrt 5 \approx 95,40$ cm$^3$
    
    
    
14. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat, dengan salah satu panjang diagonalnya adalah 10 cm dan panjang semua sisi tegaknya adalah 12 cm. Jika volume prisma itu 600 cm3, luas sisi prisma itu adalah ....
                  a. $64 + 5\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  b. $72 + 15\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  c. $96 + 32\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  d. $100 + 240\sqrt  2$  cm$^2$
    
    Jawab
    
    
    
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
             600          = luas alas $times 12$
    
    Luas alas $\displaystyle = \frac {600}{12}=50$ cm$^2$
    
    
    
    
    
    Panjang diagonal alas yang lain $\displaystyle = \frac {2 \times Luas} {diagonal}=\frac{2\times 50}{10}=10$ cm
    
    Panjang sisi belah ketupat $=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt 2$
    
    
    
    
    
    luas permukaan $=2 \times$ luas alas $+ 4 \times$ luas persegi panjang
    
    luas permukaan $=2 \times 50 + 4 \times 5 \sqrt 2 \times 12 = 100 + 240 \sqrt 2$ 
    
    
    
15. Sebuah prisma tegak segitiga luas bidang alasnya 24 cm$^2$ dan luas bidang sisi-sisinya adalah 150 cm$^2$, 120 cm$^2$, dan 90 cm$^2$. Volume prisma itu adalah ....
                  a. 90 cm$^3$
                  b. 220 cm$^3$ 
                  c. 120 cm$^3$ 
                  d. 360 cm$^3$
    
    Jawab
    
    panjang sisi segitiga alasnya masing-masing adalah 6 cm, 8 cm , dan 10 cm
    (anda dipersilahkan untukk membuktikannya ya ...)
    
    
    Dengan demikian tinggi prisma bisa dicari melalui salah satu sisinya. Ambil bidang yang memiliki sisi terpanjang dari segitiga alasnya dan memiliki daerah yang paling luas. Maka lebar bidang tersebut adalah 10 dan luasnya = 150 cm$^2$. Maka tinggi prisma yakni
    
    Tinggi prisma $\displaystyle = \frac {luas}{l}=\frac {150}{10}=15$ cm
    
    maka Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma $=24 \times 15= 360$ cm$^3$
      

B. Jawablah pertanyaan berikut ini!

1. Gambarlah prisma segi enam beraturan ABCDEF.GHIJKL. Tentukan
                a. rusuk-rusuk tegaknya;
                b. semua diagonal bidang alas;
                c. semua diagonal ruangnya. 
   
   jawab
   
   
   
   
         a. Rusuk tegak : AG, BH, CI, DJ, EK, dan FL
         b. Diagonal bidang alas = AD, AE, AC, BE, BD, BF, CF, CE, dan DF
   
   

   

   diagonal alas

   
   
   
          c. Diagonal ruang
   
   

   

   diagonal ruang

   
   
   
   
2. Limas segi empat beraturan mempunyai luas alas 256 cm$^2$. Jika tinggi limas 6 cm, tentukan luas permukaan limas tersebut.
   
   Jawab
   
   
   
   
   
          Sisi persegi alas $=\sqrt {256} = 16 $ cm
          Tinggi segitiga TAB $=\sqrt {6^2 +8^2}=10 $ cm
   
   Jadi Luas limas $\displaystyle = 4 \times TAB + ABCD = 4 \times \frac {1}{2}\times 16 \times 10 + 256 =320 + 256 = 576$ cm$^2$
     
3. Diketahui alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 8 cm dan 6 cm. Jika tinggi prisma 18 cm, tentukan luas permukaan prisma.
   
   Jawab
   
   Luas $\bigtriangleup ABC = \frac{1}{2}\times 8 \times 6 = 24$ cm$^2$
   
   
   
   
   
   Maka luas permukaan prisma tersebut 
   
   Luas $= 2 \times$ luas  $\bigtriangleup ABC$ + Luas ACFD + Luas BCFE + Luas ABED  
   
   Luas $= 2 \times 24 + 6 \times 18 + 8 \times 18 + 10 \times 18 =48+108+144 + 180 = 480$ cm$^2$  
   
   
4. Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 40 m dan lebar 15 m. Kedalaman air pada ujung yang paling dangkal 1,3 m dan ujung yang paling dalam 2,7 m. Berapa liter volume air dalam kolam renang tersebut?
   
   Jawab
   
   

   

   
   
   Volume Kolam seluruhnya  = luas trapesium $\times$ tinggi prisma
   
                                                $\displaystyle = \frac{2,7+1,3}{2} \times 40 \times 15=1200$ m$^3=1.200.000$ liter  
   
   
5. Suatu limas segi lima beraturan T.ABCDE tampak seperti gambar di bawah ini.
   
   
   
   
   
   Panjang AB = 16 cm, OA = 10 cm, dan tinggi limas 20 cm. Hitunglah
           a. luas alas limas;
           b. volume limas.
   
   jawab:
   
   
   
   
   
   Tinggi $\bigtriangleup OAB = \sqrt{10^2-8^2}= \sqrt{36}=6$
   
   a. luas alas limas $= 5\times \frac {1}{2}\times 16 \times 6= 240$ cm$^2$
   
   b. Volume limas $\displaystyle = \frac{1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
                              $ \displaystyle = \frac {1}{3}\times 240 \times 20 =1600 $ cm$^3$

Ulangan Harian Matematika Kelas 8 SMP: Garis Singgung Lingkaran

Soal Ulangan Harian 
Garis Singgung Lingkaran

Jawaban dikumpulkan paling lambat 4 Februari 2022

Kerjakan latihan soal berikut ini

A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. Panjang garis singgung lingkaran berjari-jari 6 cm dari titik di luar lingkaran yang berjarak 10 cm dari pusat lingkaran adalah ....
              a. 6,5 cm              b . 7,5 cm            c. 7 cm            d. 8 cm
   
   
2. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di O dibuat garis singgung PA. Jika panjang jari-jari 20 cm dan jarak AP = 21 cm maka panjang OP adalah ....
              a. 23 cm               b. 28 cm              c. 25 cm          d. 29 cm
   
   
3. Dua lingkaran dengan pusat P dan Q, berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarak PQ = 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah ....
              a. 12 cm               b. 16 cm              c. 15 cm          d. 24 cm
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini
   

   
   

   

   
   Pada gambar di atas AB dan AC adalah garis singgung lingkaran titik A di luar lingkaran. Jika panjang OC = x cm, AC = y cm, dan OA = z cm panjang BC = ....
   
               a. $\displaystyle \frac{xy}{2}$ cm           b. $\displaystyle \frac{xy}{z}$ cm           c. $\displaystyle \frac{2xy}{z}$ cm           d. $\displaystyle \frac {2z}{xy}$ cm
   
   
   Gambar di bawah ini untuk soal no 5 - 7
    

   

   
   
   
5. Diketahui PA dan PB adalah garis singgung lingkaran. Jika panjang OA = 6 cm, OP = 10 cm maka panjang PA = ....
            a. 11 cm               b. 12 cm                c. 8 cm                d. 9 cm
   
   
6. Luas layang-layang OAPB adalah ....
            a. 46 cm$^2$            b. 48 cm$^2$               c. 45 cm$^2$           d. 50 cm$^2$
   
   
7. Panjang tali busur AB adalah ....
            a. 6,9 cm              b. 6,1 cm               c. 9,5 cm             d. 9,6 cm
   
   
8. Perhatikan gambar di atas.
   
   

   

   
   Panjang tali yang digunakan untuk mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah ....
                a. 28 cm               b. 62 cm                c. 44 cm                d. 72 cm
   
   
9. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah ....
                a. 3 cm                 b. 5 cm                  c. 4 cm                  d. 6 cm 
   
   
10. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 35 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah 21 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ....
                 a. 15,5 cm            b. 17,5 cm             c. 16,5 cm             d. 18 cm
    
    
    

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm maka tentukan
        a. jarak kedua pusat lingkaran;
        b. panjang garis singgung persekutuan dalamnya.
   
   
2. Perhatikan gambar berikut:
   
   
   
   
   
   Kedua lingkaran bersinggungan di luar dengan pusat di titik B dan D. Jika AB = 5 cm dan DE = 3 cm, hitunglah panjang
         a. AE;
         b. EF.
         c. CF
   
   
3. Diketahui lingkaran L1 berpusat di O(0, 0), dengan jari-jari r1 = 3 satuan dan L2 pusat di P(6, 6), berjari-jari r2 = 2 satuan.
         a. Gambarlah garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2. 
         b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
   
   
4. Diketahui empat tong minyak berbentuk tabung diikat menjadi satu untuk diisi kembali. Susunlah empat tong tersebut agar panjang tali yang digunakan untuk mengikatnya minimal, kemudian hitung pula panjangnya, jika diameter tong 14 cm
   
   
5. Perhatikan gambar berikut ini:
   
   
   
   
   Panjang AB = 28 cm dan AC = 21 cm. Hitunglah
         a. panjang jari-jari OD;
         b. panjang BD;
         c. panjang OB; d. luas  COE.
   
   

==== Selamat Mengerjakan ====

Pembahasan tugas : Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga

 Latihan Soal: 
Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

dikumpulkan pada 29 Januari 2022

Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

1. Perhatikan gambar berikut ini.
   
   
   
   
   
   Jika panjang AB = 8 cm, BC = 9 cm, dan AC $= \sqrt{145}$ cm, tentukan
          a. luas  ABC;
          b. keliling  ABC;
          c. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC.
   
   Jawab:
   
   a. Karena $\bigtriangleup ABC$ merupakan segitiga siku-siku maka berlaku
   
   
   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC= \frac{1}{2}\times BC \times AB = \frac{1}{2}\times 9 \times 8 = 36$ cm$^2$
   
   b, Keliling $\bigtriangleup ABC = AB + BC + AC = 8 + 9 + \sqrt{145}=17 + \sqrt{145}$
   
   
   c. panjang jari-jari lingkaran dalam $\bigtriangleup$ 
   
   
   $\displaystyle r = \frac{\begin {matrix}luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}{s}=\frac{36}{\frac{1}{2}\times \begin {matrix}keliling & \bigtriangleup ABC\end {matrix}}=\frac{36}{\frac {1}{2}\times(17+\sqrt{145})}=\frac{72}{17+\sqrt {145}}$ 
   
   
   
2. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
   diketahui panjang AB = BC = AC = 9 cm. Tentukan 
           a. luas ' ABC;
           b. panjang jari-jari lingkaran luar ' ABC. 
   
   Jawab
   
   a. $\displaystyle s =\frac{1}{2}\times (AB+BC+AC) =\frac {1}{2}\times 3 \times 9 = \frac{27}{2}$ cm
   
           luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}=\sqrt{ \frac{27}{2}\times  ( \frac{27}{2}-9)^3}$
   
           luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\sqrt{ \frac{27}{2}\times  \left ( \frac{9}{2} \right )^3}=\frac{27}{2}=\frac{81}{4}\sqrt 3$ cm$^2$
   
   
   
   b. Panjang jari-jari lingkaran luar $\bigtriangleup ABC$
   
   
   $\displaystyle r =\frac{AB\times BC\times AC}{4\times \begin {matrix} luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}=\frac{3\times 9}{\frac {81}{4} \sqrt 3}=\frac{4}{3\sqrt 3}=\frac{4\sqrt 3}{9}$ cm
   
   
   
   
3. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 26 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. Tentukan
           a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
           b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.
   
   Jawab
   
   
   a = 10, c = 26 dan  b = ? .Gunakan phytagoras untuk mencari b
   
   
   $b=\sqrt {c^2-a^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$
   
   
   Luas segitiga $\displaystyle =\frac{1}{2}\times a \times b = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$ cm$^2$
   
   
   $\displaystyle s = \frac{1}{2}(a + b + c)=\frac{1}{2}(10+24+26)=30$   
   
   a. $\displaystyle r =\frac {luas \bigtriangleup}{s}=\frac{120}{30}=4$ cm
   
   b. $\displaystyle r =\frac{a\times b \times c}{4\times luas \bigtriangleup}=\frac{10\times 24\times 26}{4 \times 120}=13$ cm
   
   
   
4. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 26 cm, 28 cm, dan 38 cm. Hitunglah
           a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
           b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.
   
   Jawab:
   
   
   $a=26, b=28$ dan $c=38$
   $\displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(26+28+38)=46$
   
   
   luas $\bigtriangleup =\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{46(46-26)(46-28)(46-38)}=\sqrt{46\times 20\times 18 \times 8}=24\sqrt {230} $ cm$^2$
   
   a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga =
   
   
   $\displaystyle r =\frac {luas \bigtriangleup}{s}=\frac{24 \sqrt{230}}{46}=\frac{12 \sqrt 230}{23}$ cm
   
   b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga =
   
   
   $\displaystyle r =\frac {a \times b \times c}{4\times luas \bigtriangleup}=\frac{26\times 28 \times 38}{4 \times 24 \sqrt{230}}=\frac{1729 \sqrt 230}{1380}$ cm
   
   
   
5. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Hitunglah
           a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
           b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga
   
   jawab:
   
   Jawab:
   
   
   $a= 8, b=15$ dan $c=17$
   
   
   $\displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(8+15+17)=20$
   
   
   luas $\bigtriangleup =\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)}=\sqrt{20\times 12\times 5 \times 3}=60 $ cm$^2$
   
   
   
   a. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga =
   
   
   $\displaystyle r =\frac {luas \bigtriangleup}{s}=\frac{60}{20}=3$ cm
   
   b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga =
   
   
   $\displaystyle r =\frac {a \times b \times c}{4\times luas \bigtriangleup}=\frac{8\times 15 \times 17}{4 \times 60}=8,5$ cm

==== Selamat Mengerjakan ====

catatan:
Sebagai bahan acuan untuk mengerjakan soal tersebut, dapat kalian baca pada tautan berjudul "Menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga"

Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga.

Menentukan Panjang Jari - Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Setelah kita membahas materi tentang sabuk pada lingkaran, kali ini kita akan mempelajari materi mengenai bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dimana tiga titik pada lingkaran tersebut masing-masing menyinggung sisi-sisi pada segitiga. Pada pembahasan kali ini. kita akan mengenal istilah jari-jari lingkaran dalam segitiga dan jari-jari lingkaran luar segitiga. Namun sebelum kita mengenal lebih jauh mengenai hal itu, kita akan diperkenalkan terlebih dahulu teknik menghitung luas segitiga bila diketahui panjang ketiga sisinya.

A. Menentukan Luas Segitiga Bila Diketahui Panjang Sisi-Sisinya.

 Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar di atas menunjukan bahwa segitiga $\bigtriangleup ABC$ memiliki panjang sisi AB = c, AC = b dan BC = a. Jika kita menarik garis tegak lurus BC dan melalui A, maka akan didapatkan titik potong garis tegak lurus tersebut dengan garis BC. Misalkan saja titik potong tersebut adalah D. Apabila kita andaikan panjang BD = x, maka panjang CD = a - x. Dengan demikian berdasarkan rumus Phtagoras kita dapatkan:

$t^2 = c^2 - x ^2$   dan  $t^2 = b^2 - (a-x)^2$ ........ persamaan 1

jika kita subtitusikan kedua persaman tersebut maka kita akan mendapatkan   

                $c^2 - x ^2 = b^2 - (a-x)^2$ 

                $c^2 - x ^2 = b^2 - a^2+2ax- x^2$

                $c^2 - b ^2 + a^2= 2ax$

                $\displaystyle x = \frac {c^2 - b ^2 + a^2}{2a}$

kita subtitusikan persamaan terakhir ke dalam bagian pertama persamaan 1 didapat

                 $t^2 = c^2 - x ^2$

                 $\displaystyle t^2 = c^2 - \left ( \frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right) ^2$    ingat      $p^2 - q^2 = (p-q) (p+q)$     

                 $\displaystyle t^2 = \left ( c+\frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right) \left ( c-\frac{c^2-b^2+a^2}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a} \right) \left ( \frac{2ac-(c^2-b^2+a^2)}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{c^2-b^2+a^2+2ac}{2a} \right) \left ( \frac{-c^2+b^2-a^2+2ac}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{c^2+2ac+a^2-b^2}{2a} \right) \left ( \frac{b^2-(c^2-2ac+a^2)}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a)^2-b^2}{2a} \right) \left ( \frac{b^2-(c-a)^2}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-(c-a))}{2a}  \right )$ 

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-c+a))}{2a}  \right )$  ..... persamaan 2

Sekarang misalkan $\displaystyle s =\frac {1}{2}\times keliling$ $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}(a+b+c)$, maka

                 $a+b+c =2s$       $c+a = 2s - b$      $a+b = 2s - c$       $b+c=2s -a$   ..... persamaan 3

Sehingga dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

                $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-c+a))}{2a}  \right )$  

               $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(s)((2s-b)-b)}{2a} \right) \left ( \frac{((2s-a)-a)((2s-c)-c)}{2a}  \right )$  

               $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(2s)(2s-2b)}{2a} \right) \left ( \frac{(2s-2a)(2s-2c)}{2a}  \right )$  

              $\displaystyle t^2 = \left (\frac{2(2s)(s-b)}{2a} \right) \left ( \frac{2(s-a) 2(s-c)}{2a}  \right )$  

              $\displaystyle t^2 = \left (\frac{4(s)(s-b)(s-b)(s-a)}{a^2} \right) $  

              $\displaystyle t = \frac{2}{a}\sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) } $  

Karena Luas $\bigtriangleup ABC = \frac {1}{2}\times a \times t$, maka dari persamaan terakhir diperoleh

               Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac {1}{2}\times a \times \frac{2}{a}\sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) }$

               Luas $\bigtriangleup ABC = \sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) }$

            

Dengan demikian kita sudah dapat menyimpulkan bahwa

Rumus :
" Jika sebuah segitiga memiliki panjang sisi masing-masing adalah a, b dan c, maka luas segitiga tersebut adalah 

               Luas $=\sqrt {s (s-a)(s-b)(s-c)}$        dimana $\displaystyle s = \frac{1}{2}\times (a+b+c)$

B. Jari-jari Lingkaran  Dalam Segitiga

Sekarang perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas nampak a, b, dan c adalah panjang sisi masing-masing segitiga. Setiap sisi segitiga tersebut bersinggungan dengan sebuah lingkaran yang terdapat pada segitiga tersebut. Kita akan menunjukan hubungan antara luas segitiga, panjang sisi segitiga dan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut.

Perhatikan bahwa segitiga $\bigtriangleup ABC$ terbagi dalam 3 buah segitiga yakni : $\bigtriangleup AOB. \bigtriangleup AOC$  dan  $\bigtriangleup BOC$. Jari-jari lingkaran yang terdapat di dalam $\bigtriangleup ABC$  merupakan tinggi dari setiap segitiga tersebut. Dengan demikian 

Luas $\bigtriangleup ABC =$ luas $\bigtriangleup AOB$ + luas $\bigtriangleup AOC$ + luas $\bigtriangleup BOC$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2}. c . r + \frac {1}{2}.b.r + \frac{1}{2}.a.r$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . (a+b + c)$

karena (a+b+c) = 2s dan luas segitiga  $=\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$  maka kita dapatkan 

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . (a+b + c)$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . 2s$


                   $\displaystyle r= \frac {\begin {matrix} luas&\bigtriangleup ABC \end {matrix}}{s}=\frac{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

"Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga dibagi setengah dari keliling segitiga, yakni:

  $\displaystyle r= \frac {\begin {matrix} luas&\bigtriangleup ABC \end {matrix}}{s}=\frac{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

C. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Untuk memahami jari-jari lingkaran luar segitiga, kalian bisa mengamti gambar berikut ini:

Gambar di atas menunjukan bahwa sebuah segitiga $\bigtriangleup ABC$ berada di dalam lingkaran yang berjari-jari. Setiap sudut dari $\bigtriangleup ABC$ menyinggung lingkaran yang berpusat di O. Panjang sisi $AB =c , BC = a$ dan $AC = b$. Kita akan menentukan apakah ada hubungan antara jari-jari lingkaran dengan panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Sebagai gambaran awalny, coba kalian membuat garis AD yang tegak lurus dengan garis BC. Kemudian kalian buat perpanjangan garis AO sampai memotong lingkaran di titik E. Maka kalian akan mendapati gambar seperti berikut ini:

 

Kalau kalian amati, AE merupakan diameter lingkaran dan $\angle ACE$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur $\overset{\frown}{AE}$.  Berdasarkan sifat sudut keliling dan sudut pusat,  maka kita dapatkan:

$\angle ACE =\frac {1}{2} \times \angle AOE =\frac {1}{2}\times 180^o=90^o$

kemudian perhatikan $\angle ABC$ dan $\angle AEC$. Kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yakni $\overset{\frown}{AC}$. Maka berdasarkan sifat semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kita dapatkan

$\angle ABC = \angle AEC$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa $\bigtriangleup ABD$ sebanding dengan $\bigtriangleup AEC$ sehingga berlaku hubungan perbandingan yakni:

$\displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac {AC}{AD}$

$\displaystyle \frac{2r}{c}=\frac {b}{AD}$      $\Leftrightarrow$   sebab AE adalah diameter lingkaran

$\displaystyle AD=\frac {b\times c}{2r}$  ............... persamaan (i)

Sekarang kita amati kembali $\bigtriangleup ABC$. Dengan mensubtitusikan persamaan (i) maka kita dapatkan luas segitiga tersebut adalah

Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AD=\frac{1}{2}\times a \times \left ( \frac{b \times c}{2r} \right ) = \frac{a\times b \times c}{4r}$

atau

$\displaystyle r = \frac {a \times b \times c}{4 \times \begin {matrix} luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}= \frac {a \times b \times c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

untuk  $\displaystyle s=\frac{1}{2} \times (a+b+c)$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa
"Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perkalian sisi-sisi segitiga dibagi dengan 4 kali luas segitiga tersebut, yakni :

$\displaystyle r = \frac {a \times b \times c}{4 \times \begin {matrix} luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}= \frac {a \times b \times c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

untuk  $\displaystyle s=\frac{1}{2} \times (a+b+c)$

===== Selamat Belajar =====