Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1

Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
   apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
   
   Jawab
   
   Pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi  ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya
              
                  $\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$
   
   Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
   
                 $\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.
   
   Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka  $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$
   
   Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$
   
   
   
2. Apakah yang dimaksud dengan
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$
   
   Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?
   
   Jawab
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$  sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar grafik berikut ini!
   
   
   
   
   Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
   
             a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
             d. $f(3)$
   
             e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$
   
   
   Jawab
   
             a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$
   
             d. $f(3)=2$
   
              e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$  tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq  \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
         Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
   
                    d. $f(2)$
   
                    e. $f(-2)$
   
   
   Jawab
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$  dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$
   
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$
   
                    d. $f(2)=1$
   
                    e. $f(-2)=3$
   
   
   
5. Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f  berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!
   
                       $f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$ 
   
   
   Jawab
   
   
   
   
   
   Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$  maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$
   
   
   
6. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari
   
   

          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$

   
          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$
   
          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$
   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$
   
   Jawab
   
          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$
   
   

   

   
   
   
   

          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$
   
   

   

   
   
   
   

          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$
   
   

   
   
   
   

   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$
   
   

   

   
   
   
7. Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$
   
   Jawab
   Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$  ada   jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$
    
             $k =8-10 =-2$
   
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$             

    
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$
   
              $\Leftrightarrow$    2k = -4       $\Leftrightarrow$     $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$
   
   
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam   tentukan 

   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$   dan    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$
dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!





jawab

$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$   dan    $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$

Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.


9. Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah 
   
   

   $\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

   
   Dimana $m_o $  adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$
   
   jawab
   
   ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$
   
   Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga.
   
   
   
10.   Jelaskan apakah 
    
             a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?
    
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?
    
    Jawab.
    
    a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan  $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi.  Sementara ketika $x = 1$  nilai $2x - 1$ sama dengan 1
    
    
    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. 
    
    

======= 000 =======

 

Join together with Altissima Study Center
By
Subscribe and like this channel,

give positive comment

support our efforts and hard work,

If you want to contact us, please send your email at altissimastudycenter@gmail.com