Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga.

Menentukan Panjang Jari - Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Setelah kita membahas materi tentang sabuk pada lingkaran, kali ini kita akan mempelajari materi mengenai bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dimana tiga titik pada lingkaran tersebut masing-masing menyinggung sisi-sisi pada segitiga. Pada pembahasan kali ini. kita akan mengenal istilah jari-jari lingkaran dalam segitiga dan jari-jari lingkaran luar segitiga. Namun sebelum kita mengenal lebih jauh mengenai hal itu, kita akan diperkenalkan terlebih dahulu teknik menghitung luas segitiga bila diketahui panjang ketiga sisinya.

A. Menentukan Luas Segitiga Bila Diketahui Panjang Sisi-Sisinya.

 Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar di atas menunjukan bahwa segitiga $\bigtriangleup ABC$ memiliki panjang sisi AB = c, AC = b dan BC = a. Jika kita menarik garis tegak lurus BC dan melalui A, maka akan didapatkan titik potong garis tegak lurus tersebut dengan garis BC. Misalkan saja titik potong tersebut adalah D. Apabila kita andaikan panjang BD = x, maka panjang CD = a - x. Dengan demikian berdasarkan rumus Phtagoras kita dapatkan:

$t^2 = c^2 - x ^2$   dan  $t^2 = b^2 - (a-x)^2$ ........ persamaan 1

jika kita subtitusikan kedua persaman tersebut maka kita akan mendapatkan   

                $c^2 - x ^2 = b^2 - (a-x)^2$ 

                $c^2 - x ^2 = b^2 - a^2+2ax- x^2$

                $c^2 - b ^2 + a^2= 2ax$

                $\displaystyle x = \frac {c^2 - b ^2 + a^2}{2a}$

kita subtitusikan persamaan terakhir ke dalam bagian pertama persamaan 1 didapat

                 $t^2 = c^2 - x ^2$

                 $\displaystyle t^2 = c^2 - \left ( \frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right) ^2$    ingat      $p^2 - q^2 = (p-q) (p+q)$     

                 $\displaystyle t^2 = \left ( c+\frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right) \left ( c-\frac{c^2-b^2+a^2}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a} \right) \left ( \frac{2ac-(c^2-b^2+a^2)}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{c^2-b^2+a^2+2ac}{2a} \right) \left ( \frac{-c^2+b^2-a^2+2ac}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{c^2+2ac+a^2-b^2}{2a} \right) \left ( \frac{b^2-(c^2-2ac+a^2)}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a)^2-b^2}{2a} \right) \left ( \frac{b^2-(c-a)^2}{2a}  \right )$

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-(c-a))}{2a}  \right )$ 

                 $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-c+a))}{2a}  \right )$  ..... persamaan 2

Sekarang misalkan $\displaystyle s =\frac {1}{2}\times keliling$ $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}(a+b+c)$, maka

                 $a+b+c =2s$       $c+a = 2s - b$      $a+b = 2s - c$       $b+c=2s -a$   ..... persamaan 3

Sehingga dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

                $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2a} \right) \left ( \frac{(b+c-a)(b-c+a))}{2a}  \right )$  

               $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(s)((2s-b)-b)}{2a} \right) \left ( \frac{((2s-a)-a)((2s-c)-c)}{2a}  \right )$  

               $\displaystyle t^2 = \left (\frac{(2s)(2s-2b)}{2a} \right) \left ( \frac{(2s-2a)(2s-2c)}{2a}  \right )$  

              $\displaystyle t^2 = \left (\frac{2(2s)(s-b)}{2a} \right) \left ( \frac{2(s-a) 2(s-c)}{2a}  \right )$  

              $\displaystyle t^2 = \left (\frac{4(s)(s-b)(s-b)(s-a)}{a^2} \right) $  

              $\displaystyle t = \frac{2}{a}\sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) } $  

Karena Luas $\bigtriangleup ABC = \frac {1}{2}\times a \times t$, maka dari persamaan terakhir diperoleh

               Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac {1}{2}\times a \times \frac{2}{a}\sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) }$

               Luas $\bigtriangleup ABC = \sqrt{(s)(s-b)(s-b)(s-a) }$

            

Dengan demikian kita sudah dapat menyimpulkan bahwa

Rumus :
" Jika sebuah segitiga memiliki panjang sisi masing-masing adalah a, b dan c, maka luas segitiga tersebut adalah 

               Luas $=\sqrt {s (s-a)(s-b)(s-c)}$        dimana $\displaystyle s = \frac{1}{2}\times (a+b+c)$

B. Jari-jari Lingkaran  Dalam Segitiga

Sekarang perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas nampak a, b, dan c adalah panjang sisi masing-masing segitiga. Setiap sisi segitiga tersebut bersinggungan dengan sebuah lingkaran yang terdapat pada segitiga tersebut. Kita akan menunjukan hubungan antara luas segitiga, panjang sisi segitiga dan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut.

Perhatikan bahwa segitiga $\bigtriangleup ABC$ terbagi dalam 3 buah segitiga yakni : $\bigtriangleup AOB. \bigtriangleup AOC$  dan  $\bigtriangleup BOC$. Jari-jari lingkaran yang terdapat di dalam $\bigtriangleup ABC$  merupakan tinggi dari setiap segitiga tersebut. Dengan demikian 

Luas $\bigtriangleup ABC =$ luas $\bigtriangleup AOB$ + luas $\bigtriangleup AOC$ + luas $\bigtriangleup BOC$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2}. c . r + \frac {1}{2}.b.r + \frac{1}{2}.a.r$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . (a+b + c)$

karena (a+b+c) = 2s dan luas segitiga  $=\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$  maka kita dapatkan 

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . (a+b + c)$

                   Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC =\frac {1}{2} r . 2s$


                   $\displaystyle r= \frac {\begin {matrix} luas&\bigtriangleup ABC \end {matrix}}{s}=\frac{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

"Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga dibagi setengah dari keliling segitiga, yakni:

  $\displaystyle r= \frac {\begin {matrix} luas&\bigtriangleup ABC \end {matrix}}{s}=\frac{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

C. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Untuk memahami jari-jari lingkaran luar segitiga, kalian bisa mengamti gambar berikut ini:

Gambar di atas menunjukan bahwa sebuah segitiga $\bigtriangleup ABC$ berada di dalam lingkaran yang berjari-jari. Setiap sudut dari $\bigtriangleup ABC$ menyinggung lingkaran yang berpusat di O. Panjang sisi $AB =c , BC = a$ dan $AC = b$. Kita akan menentukan apakah ada hubungan antara jari-jari lingkaran dengan panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Sebagai gambaran awalny, coba kalian membuat garis AD yang tegak lurus dengan garis BC. Kemudian kalian buat perpanjangan garis AO sampai memotong lingkaran di titik E. Maka kalian akan mendapati gambar seperti berikut ini:

 

Kalau kalian amati, AE merupakan diameter lingkaran dan $\angle ACE$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur $\overset{\frown}{AE}$.  Berdasarkan sifat sudut keliling dan sudut pusat,  maka kita dapatkan:

$\angle ACE =\frac {1}{2} \times \angle AOE =\frac {1}{2}\times 180^o=90^o$

kemudian perhatikan $\angle ABC$ dan $\angle AEC$. Kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yakni $\overset{\frown}{AC}$. Maka berdasarkan sifat semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kita dapatkan

$\angle ABC = \angle AEC$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa $\bigtriangleup ABD$ sebanding dengan $\bigtriangleup AEC$ sehingga berlaku hubungan perbandingan yakni:

$\displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac {AC}{AD}$

$\displaystyle \frac{2r}{c}=\frac {b}{AD}$      $\Leftrightarrow$   sebab AE adalah diameter lingkaran

$\displaystyle AD=\frac {b\times c}{2r}$  ............... persamaan (i)

Sekarang kita amati kembali $\bigtriangleup ABC$. Dengan mensubtitusikan persamaan (i) maka kita dapatkan luas segitiga tersebut adalah

Luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AD=\frac{1}{2}\times a \times \left ( \frac{b \times c}{2r} \right ) = \frac{a\times b \times c}{4r}$

atau

$\displaystyle r = \frac {a \times b \times c}{4 \times \begin {matrix} luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}= \frac {a \times b \times c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

untuk  $\displaystyle s=\frac{1}{2} \times (a+b+c)$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa
"Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perkalian sisi-sisi segitiga dibagi dengan 4 kali luas segitiga tersebut, yakni :

$\displaystyle r = \frac {a \times b \times c}{4 \times \begin {matrix} luas & \bigtriangleup ABC \end {matrix}}= \frac {a \times b \times c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

untuk  $\displaystyle s=\frac{1}{2} \times (a+b+c)$

===== Selamat Belajar =====

Menentukan panjang sabuk lingkaran

Kalian tentu tahu rantai sepeda bukan? ya... rantai sepeda merupakan bagian dari sepeda yang digunakan sebagai penggerak sepeda. Nah, apakah kalian dapat menghitung panjang rantai sepeda jika diketahui panjang jari-jari gear sepeda? Pada pembahasan kali ini kita akan diperkenalkan contoh penyelesaian bagaimana menghitung panjang sabuk lingkaran. Dengan kalian mengetahui bagaimana langkah-langkah perhitungannya, kalian akan dapat menentukan sendiri panjang rantai sepeda.

Contoh 1

Dua buah gear sepeda memiliki jari-jari sama sebesar 14 cm. Tentukan panjang rantai yang menghubungkan gear speda tersebut!

jawab  
perhatikan gambar berikut

Pada gambar di atas kita mengetahui bahwa dua gear memiliki jari-jari yang sama yakni 14 cm. Dengan demikian panjang $AB = CD = 2\times 14 = 28$ cm. Busur $\overset {\frown}{AD}=\overset {\frown}{BC}$. Kita akan menentukan panjang busur tersebut untuk mengetahui panjang rantai yang mengelilingi gear 1 dan gear 2.

Perhatikan bahwa busur $\overset AD$ merupakan $\frac{1}{2}$ keliling lingkaran. Karena busur Busur $\overset {\frown}{AD}=\overset {\frown}{BC}$ , Maka jelas bahwa jumlah panjang rantai yang mengelilingi gear 1 dan gear 2 tidak lain adalah keliling 1 buah gear itu sendiri. Sehingga kita dapatkan

panjang sabuk = keliling lingkaran  $+ AB + CD \displaystyle = \pi \times diameter + 28 + 28 = \frac {22}{7} \times 28 + 56 = 88 + 56 = 144$ cm

Jadi panjang rantai yang dibutuhkan adalah 144 cm  

Contoh 2

Diketahui 3 buah lingkaran memiliki jari-jari 7 cm diikat sedemikian rupa seperti gambar berikut ini:

Hitunglah panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat ke tiga lingkaran tersebut!

Jawab:
perhatikan gambar berikut ini

Ketiga lingkaran masing-masing memiliki titik pusat di A, B dan C. Karena masing-masing lingkaran memiliki jari-jari 7 cm, maka  panjang AB = BC = AC = 7 +7 =14 cm. $\bigtriangleup ABC$ merupakan segitiga sama sisi, sehingga $\angle ABC = \angle BCA = \angle BAC = 60^o$. Selain itu karena letaknya yang kosentris terhadap segitiga sama sisi ABC, maka panjang busur $\overset{\frown}{DI}=\overset{\frown}{UF}=\overset{\frown}{GH}$, Kita akan menentukan panjang masing busur ini untuk menentukan panjang tali yang melingkari masing-masing lingkaran.

Perhatikan lingkaran yang berpusat di A
karena ABDE, BCGF dan  ACHI adalah persegi panjang maka $\angle DAB = \angle IAC=90^2$ dan  = AB = 14
Dengan demikian kita dapat menentukan besar sudut $\angle DAI$ yakni
$\angle DAI =360^o - \angle DAB - \angle IAC - \angle BAC=360^o-90^o-90^o-60^o=120^o$ 

Berdasarkan teori garis singgung lingkaran, maka kita dapatkan

Panjang busur $\displaystyle \overset{\frown}{DI}= \frac{\angle DAI}{360^o}\times \begin {matrix} keliling&lingkaran&A \end {matrix}=\frac {120^o}{360^o}\times \frac {22}{7}\times 14=\frac {1}{3}\times 44=\frac {44}{3}$ cm

Dengan demikian panjang sabuk ketiga lingkaran tersebut dapat kita cari, yakni

Panjang sabuk  $=\overset{\frown}{DI}+\overset{\frown}{UF}+\overset{\frown}{GH}+ DE + FG + HI$
        $\Leftrightarrow$           $\displaystyle = 3 \times (\overset{\frown}{DI} + AB) = 3 \times (\frac {44}{3}+14)=44 +42=86$ cm

Jadi panjang tali yang dibutuhkan $\geq$ dari 86 cm.

Contoh 3

Gambar di atas adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

Jawab:
sama seperti pada contoh 2, keenam lingkaran tersebut tersusun secara konsentris terhadap segitiga sama sisi yang panjang sisinya $= 4 \times 24 = 96$ cm. Karena kedudukannya yang konsentris maka besar sudut yang terbentuk pada busur yang dikeliling tali (lingkaran 1, 4 dan 6) sebesar $120^o$. Dengan demikian

panjang busur $=3 \times$ panjang sisi segitiga sama sisi + $3 \times$ panjang busur yang dikeliling tali $ =3 \times 96 + 3 \times \frac {120^o}{360^o}\times 3,14 \times 48 =288 +150,72= 438,72$ cm

==== Selamat Belajar ====

Garis singgung persekutuan dua lingkaran

Kedudukan Garis Singgung pada Dua Lingkaran

    Pada pembahasan kali lalu, kita telah mempelajari materi tentang garis singgung dan kharakteristiknya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari lebih lanjut mengenai garis singgung persekutuan dua lingkaran. Di dalam pembahasan ini, kita diperkenalkan terlebih dahulu perihal bagaimana kedudukan lingkaran terhadap lingkaran lain lalu kemudian dibahas mengenai kedudukan garis singgung terhadap dua lingkaran. Pada bagian terakhir kalian akan diajak untuk mengenal apa itu garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar lingkaran dan bagaimana cara menentukan panjang garisnya. Untuk mempersingkat waktu, baiklah kita awali terlebih dahulu dengan topik pembahasan kita mengenai kedudukan dua lingkaran.

A. Kedudukan Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut

1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. (gambar 1)
   Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat). 
   
   
2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. (gambar 2)
   Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris. 
   
   
3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = 1 2 R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam. (gambar 3)
   
   
4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. (gambar 4)
   
   
5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. (gambar 5)
   
   
6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar. (gambar 6) 
   
   

L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah . (gambar 7)

B. Kedudukan Garis Singgung terhadap Dua Lingkaran

        Setelah kita mengetahui bagaimana kedudukan dua lingkaran, maka pada pembahasan selanjutnya kita akan diperlihatkan bagaimana kedudukan garis singgung terhadap dua lingkaran. Hubungan garis  singgung dengan lingkaran dapat memiliki hubungan sebagai berikut:

1. Pada Gambar (i) kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
   
   
2. Pada Gambar (ii) kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. 
   
   
3. Pada Gambar (iii) kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
   
   
4. Pada Gambar (iv) kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. 
   
   
5. Pada Gambar (v) kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

Ada sebuah pertanyaan menarik bagi kalian: Jika kita mengetahui bahwa sebuah garis menyinggung kedua lingkaran di dua titik, apakah kita dapat menentukan jarak kedua titik singgung tersebut? Jawaban dari pertanyaan ini akan kalian dapat ketika kita mempelajari tentang garis singgung perseketuan lingkaran, yakni garis yang menghubungkan titik singgung pada masing-masing lingkaran.. Di dalam pembahasan selanjutnya, kalian akan mengenal dua istilah penting yakni garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar lingkaran dan mempelajari  bagaimana menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar tersebut. 

C. Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran 

        Untuk  menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran, kita dapat menggunakan hukum phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas, garis m menyinggung dua buah lingkaran yang berpusat di titik O dan P. Titik A dan C merupakan titik persinggungan garis m  terhadap kedua lingkaran tersebut. garis OB merupakan perpanjangan garis OA dan garis BP sejajar dengan garis m. Titik D merupakan titik potong antara garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran tersebut dengan garis m. Sementara OA dan PC adalah jari-jari masing-masing lingkaran dan AC adalah panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran. Karena ABPC adalah persegi panjang maka kita dapatkan AB = PC dan BP = AC. 

Perhatikan, bahwa $\bigtriangleup OAD$ merupakan segitiga siku-siku dan $\bigtriangleup OBP$ sebangun dengan $\bigtriangleup OAD$. Garis OB tegak lurus dengan garis BP. Dengan menggunakan hukum Phytagoras kita dapatkan

                $OP ^2 = OB^2+BP^2 =(OA+AB)^2+AC^2= (OA+PC)^2+AC^2$

         $\Leftrightarrow$   $AC^2 = OP^2 -(OA+PC)^2$

jika kita misalkan panjang garis singgung persekutuan dalam $AC= d$, Jari-jari masing-masing lingkaran adalah OA = R  dan PC = r  serta jarak kedua lingkaran $OP =p$ maka kita dapatkan : "panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran adalah akar kuadrat dari kuadrat jarak kedua lingkaran dikurangi kuadrat jumlah kedua jari-jari lingkaran, yakni

$d =\sqrt{ p^2 -(R+r)^2}$

D. Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran

        Untuk  menentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran, kita dapat menggunakan hukum Phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas, garis m adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran di titik B dan C. Kedua lingkaran berpusat di O dan P. Garis AP sejajar dengan garis m. Ruas garis OP adalah jarak kedua titik pusat masing-masing lingkaran dan OB serta PC adalah jari-jari masing-masing lingkaran. Karena segiempat ABCP adalah persegi panjang, maka AP = BC dan AB = CP sehingga OA = OB - AB. 

Perhatikan bahwa $\bigtriangleup OAP$ merupakan segitiga siku-siku. Garis OA tegak lurus dengan garis AP. Dengan demikian kita dapat menggunakan hukum Phytagoraas yakni:

                  $OP^2 = OA^2+ AP^2=(OB-AB)^2+AP^2$

       $\Leftrightarrow$       $AP^2=OP^2-(OB-OA)^2$

Jika panjang garis singgung persekutuan luar $AP = d$, jarak kedua titik pusat lingkaran $OP = p$ dan masing-masing jari-jari lingkaran $OB =R$ dan $CP=AB=r$, maka kita dapat menyimpulkan bahwa: "Jarak garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran sama dengan akar kuadrat dari kuadrat jarak titik pusat kedua lingkaran  dikurang kuadrat selisih kedua jari-jari lingkaran", yakni:

$ d=\sqrt{p^2-(R-r)^2}$

=== Selamat Belajar ===

Garis singgung lingkaran

Pengertian Garis Singgung Lingkaran dan Kharakteristiknya

Kalian tentu pernah melihat katrol bukan? Ya... sebuah katrol memiliki tali dan sebuah tuas berbentuk roda. Tali tersebut berada pada bagian tepi roda katrol. Kalau kita bayangkan tali itu sebagai garis dan roda katrol sebagai lingkaran, maka seakan-akan terdapat dua buah garis yang menyinggung lingkaran. Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai garis singgung lingkaran. Pokok pembahasan yang akan kita capai adalah mengenal definisi garis singgung serta menentukan panjang garis singgung yang terdapat pada lingkaran.

katrol

A. Pengertian Garis Singgung lingkaran 

    Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran. Hubungan ini  terletak pada kedudukan garis tersebut terhadap lingkaran. Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran seperti misalnya garis berada di luar lingkaran, garis memotong lingkaran dan garis menynggung lingkaran di suatu titik. Sebuah garis yang berada di luar lingkaran tidak memiliki titik yang bersentuhan pada lingkaran. Garis yang memotong lingkaran akan menghasilkan dua buah titik potong pada lingkaran tersebut. Sementara garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran di satu titik tertentu. Garis yang menyinggung lingkaran ini selanjutnya akan disebut garis singgung lingkaran.

hubungan garis dengan lingkaran

B. Kharakteristik garis singgung lingkaran

        Apabila kita amati lebih jauh, maka terdapat beberapa ciri khas yang unik pada garis singging ligkaran. Beberapa ciri khas tersebut di antaranya dijelaskan sebagai berikut:

1. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung  lingkaran tersebut
          Jika kita membuat sejumlah garis yang menyinggung lingkaran, maka kita akan mendapatkan bahwa setiap garis tersebut akan memiliki titik singgung lingkaran yang berbeda satu dengan yang lainnya. Hal ini menunjukan bahwa melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat 1 garis yang menyinggung lingkaran tersebut.
   
   

   

   4 buah garis menyinggung lingkaran di 4 titik yang berbeda
   

   
        Kita mungkin bertanya benarkah pernyataan tersebut? Tentu saja pertanyaan ini dapat kita jawab jika kita membuat analisis sebagai berikut 
   
   
   

   
   
          Pada gambar nampak dua buah garis m dan n menyinggung lingkaran di titik P dan Q dan berpotongan di luar lingkaran. Jika kita geser titik perpotongan  tersebut sampai di titik A, maka garis n akan berubah posisi menjadi garis n' dengan titik singgung di S dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m' dengan titik singgung berada di R. Kemudian jika kita geser kembali titik potongnya mendekati lingkaran di titik B, maka maka garis m akan berubah posisi menjadi garis n'' dengan titik singgung di U dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m'' dengan titik singgung berada di T. Begitu seterusnya sampai kita geser titik potong tersebut berada pada titik C, yakni titik berada pada lingkaran. Nampak bahwa  garis m dan garis n akan berhimpit/menyatu dengan garis g. Hal ini menunjukan bahwa setiap garis singgung lingkaran hanya memiliki satu titik singgung pada lingkaran tersebut.
   
   
   
2. Setiap garis singgung yang terbentuk pada lingkaran akan berada pada posisi tegak lurus terhadap jari-jarinya di titik tersebut.
           Pernyataan ini dibuktikan oleh Euclid dengan cara yang begitu sederhana di dalam bukunya yang berjudul Element jilid III. mari kita perhatikan gambar berikut ini:
   
   

   

   
   Andaikan terdapat sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan titik pusatnya berada di O. Andaikan pula terdapat sebuah garis yang menyinggung lingkaran tersebut di titik A seperti pada gambar di atas. Karena A berada pada lingkaran maka panjang $\overline {OA}= r$ Jika garis $\overline {OA}$ tidak tegak lurus terhadap garis singgungnya, maka tentunya ada titik P sedemikian sehingga garis $\overline {OP}$ tegak lurus dengan garis singgungnya. Akibatnya garis $|\overline {OP}| <|\overline {OA}= r$ sehingga menjadikannya titik P adalah titik terdekat terhadap titik pusat O. Akan tetapi hal ini mustahil sebab titik P berada di luar lingkaran tersebut. Dengan demikian garis $\overline {OA}$ pastilah tegak lurus dengan garis singgungnya dan $|\overline {OA}| = r$ . Hal ini sudah cukup untuk menunjukan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran.
   
   

   

   Setiap garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran
   
   

   Nah... jika kita sudah tahu bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran, maka dengan mudah kita dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran. Jika sebuah garis menyinggung lingkaran yang berpusat di O pada titik A dan melalui titik P yang berada di luar lingkaran, maka dengan menggunakan phytagoras didapat:
   
   

   $AP =\sqrt{OP^2-OA^2}$

   
   

   

   
   
   
3. Jika terdapat dua garis yang masing-masing menyinggung lingkaran di titik A dan B dan kedua garis tersebut berpotongan di titik C, maka panjang AC = BC. 
   
   Perhatikan gambar berikut:
   
   
   
   
   Pada gambar nampak dua buah garis singgung lingkaran saling berpotongan di titik C, Seperti kita ketahui, OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian panjang OA = panjang OB = r. Garis $\overline {AC}$ dan $\overline {OA}$ saling tegak lurus. Demikian juga garis $\overline {BC}$ dan $\overline {OB}$ saling tegak lurus, Dengan demikian berlaku hukum phytagoras yakni:
   
   $OC^2 = OA^2+AC^2$   dan $OC^2=OB^2+BC^2$
   
   dari kedua persamaan tersebut didapat
   
                      $ OA^2+AC^2=OB^2+BC^2$
                       $OA^2+AC^2=OA^2+BC^2$
                                   $AC^2=BC^2$
                                       $AC=BC$
   
   Dengan demikian dapat disimpulkan dua buah garis yang menyinggung lingkaran di titik A dan B dan  saling berpotongan di luar lingkaran pada titik C  memiliki panjang AC = panjang BC.
   
   

==== Selamat Belajar ====

Sudut antara dua tali busur

Hubungan Sudut antara Dua Tali Busur dengan Sudut Pusat

Pada pertemuan kali lalu kita telah membahas mengenai segiempat tali busur pada lingkaran. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai hubungan yang dapat terjadi diantara kedua tali busur. Sepasang tali busur dapat berada dalam posisi saling sejajar, tetapi dapat juga berpotongaan satu dengan yang lainnya. Ketika kedua tali busur berpotongan, maka akan terbentuk sudut pada titik perpotongan tersebut. Dua buah tali busur dapat berpotongan di dalam lingkaran ataupun dapat berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan tali busur tersebut. Nah... bagaimanakah kharakteristik dari sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur tersebut? Berikut penjelasannya.

hubungan di antara beberapa  tali busur pada lingkaran

A. Sudut pada dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Tali busur $\overline {AC}$ berpotongan dengan tali busur $\overline {BD}$ pada lingkaran yang berpusat di O, Keduanya berpotongan di titik E. Kemudian perhatikan gambar berikut ini:
 

Pada gambar (i) nampak bahwa $\angle CBD$ merupakan sudut keliling dan $\angle COD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{DC}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

$\displaystyle \angle CBD =\frac{1}{2}\times \angle COD$ ..... persamaan 1

Pada gambar (ii) nampak bahwa $\angle ACB$ merupakan sudut keliling dan $\angle AOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{AB}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

$\displaystyle \angle ACB =\frac{1}{2}\times \angle AOB$ ..... persamaan 2

Perhatikan $\bigtriangleup BEC$ pada gambar (iii). Nampak bahwa $\angle BEC = 180^o-(\angle BCE + \angle CBE)$ dan pada garis $\overline {BD}$, sudut $\angle BEC$ merupakan sudut pelurus dari $\angle DEC$. Sehingga berlaku

$\angle DEC = 180^o-\angle BEC =180-(180^o-(\angle BCE + \angle CBE)) = \angle BCE + \angle CBE$ ..... persamaan 3

Karena $\angle CBE = \angle CBD$ dan $\angle BCE = \angle ACB$ maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 berlaku

$\angle DEC =  \angle ACB + \angle CBD=\frac{1}{2} \times \angle AOB + \frac {1}{2} \times \angle COD = \frac{1}{2}\times (\angle AOB + \angle COD)$

Dengan demikian kita dapat menentukan hubungan antara sudut yang terbentuk antara dua busur yang berpotongan dengan sudut pusatnya yakni

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. 

$\angle DEC = \frac{1}{2}\times (\angle AOB + \angle COD)$

 

hubungan antara sudut pusat dengan sudut yang terbentuk
dari kedua tali busur yang berpotongaan di dalam lingkaran

B. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Pada gambar di atas nampak bahwa tali busur $\overline {AB}$ dan $\overline {CD}$ berpotongan di luar lingkaran pada titik E. Sudut $\angle AED$ merupakan sudut yang terbentuk dari perpotongan kedua tali busur tersebut. Untuk menentukan besarnya sudut $\angle AED$, perhatikan langkah-langkah berikut ini:

Pada gambar (a) nampak bahwa $\angle BDE$ merupakan sudut keliling dan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{BC}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

$\displaystyle \angle BDE = \frac{1}{2}\times \angle BOC$ ...... persamaan (*)

Pada gambar (b) nampak bahwa $\angle ABD$ merupakan sudut keliling dan $\angle AOD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{AD}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

$\displaystyle \angle ABD = \frac{1}{2}\times \angle AOD$ ..... persamaan (**)

Segitiga $\bigtriangleup DBE$ pada gambar (c) memperlihatkan bahwa $\angle DBE =180^o-(\angle BDE +\angle BED)$  dan pada garis $\overline {AE}$, $\angle DBE$ merupakan pelurus dari $\angle ABD$. Dengan demikian berlaku hubungan

$\angle ABD = 180^o-(180^o-(\angle BDE + \angle BED)) = \angle BDE + \angle BED$ ..... persamaan (***)

Karena $\angle BED=\angle AED$ maka dari persamaan (***) diperoleh

$\angle ABD = \angle BDE + \angle BED=\angle BDE + \angle AED$

Dari persamaan terakhir dan persamaan (*) serta persamaan (**)

$\angle ABD = \angle BDE + \angle AED$

$\displaystyle \frac {1}{2} \times \angle AOD = \frac{1}{2} \times BOC + \angle AED$

$\displaystyle \angle AED = \frac{1}{2}\times \angle  AOD - \frac{1}{2} \times \angle BOC = \frac{1}{2}\times(\angle AOD - \angle BOC)$

dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa 

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

 $\angle AED  = \frac{1}{2}\times(\angle AOD-\angle BOC)$

 

Hubungan sudut pusat dengan sudut yang dibentuk dari
dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran.




==== Selamat Belajar ====

Segi empat tali busur

        Kharakteristik Segiempat Tali Busur

        Segi empat tali busur merupakan segiempat yang titik sudutnya terletak pada lingkaran. Keempat ruas garis yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut merupakan tali busur pada lingkaran tersebut. Pada gambar di bawah ini, nampak bahwa garis $\overline {AB}, \overline {BC},\overline {CD}$  dan $\overline {AD}$ merupakan tali busur yang terhubung sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah segi empat ABCD dimana setiap sudutnya terletak pada lingkaran.

segiempat tali busur

Nah, pada pembahasan kali ini, kita akan diajak untuk memahami kharakteristik dari segiempat tali busur beserta beberapa teorema yang mengikutinya.

A. Sifat-sifat tali busur

Misalkan kita membuat 4 garis yang melalui titik pusat dan menuju ke masing-masing sudut pada segiempat ABCD seperti pada gambar berikut.

hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada segiempat tali busur

Perhatikan bahwa $\angle DAB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset{\frown}{DB}$. Dengan demikian berdasarkan  hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama didapat:

$\angle DAB =\frac {1}{2}\times \angle DOB=\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC)$ ..... persamaan 1

Tetapi kita juga melihat bahwa $\angle DCB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusat yang menghadap busur $\overset {\frown}{DB}$ pada arah yang berlawanan. Sehingga kita dapatkan juga

$\angle DCB =\frac {1}{2}\times \angle DOB=\frac{1}{2}\times (\angle DOA+\angle AOB)$ ..... persamaan 2

Tetapi kita tahu juga bahwa $\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB=360^o$ membentuk satu putaran penuh sehingga

$\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB=360^o$ ..... persamaan 3

Maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 kita dapatkan

$\angle DAB =\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC)$

$\underline {\angle DCB =\frac{1}{2}\times (\angle DOA+\angle AOB})$ + 

$\angle DAB +\angle DCB =\frac{1}{2}\times (\angle BOC+\angle DOC+\angle DOA+\angle AOB)=\frac{1}{2}\times 360^o =180^o$

 Hal sama bisa kalian periksa untuk $\angle ABC$ dan $\angle ADC$. Jika keduanya dijumlahkan maka akan didapat

$\angle ABC + \angle ADC =180^o$

Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa

jumlah dari dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah $180^o$

 B. Segiempat talibusur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran

Hal yang menarik akan kita amati pada segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran seperti gambar berikut ini:

tali busur persegi panjang

$\overline {AC}$  dan  $\overline {BD}$  masing-masing merupakan diameter lingkaran. Akan tetapi  demikian $\angle AOC$  dan $\angle BOD$ bernilai $180^o$ dan keduanya merupakan sudut pusat. $\angle AOC$ merupakan sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\angle ABC$  dan $\angle ADC$ sementara $\angle BOD$ merupakan sudut pusat sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\angle BAD$ dan $\angle BCD$. Dengan demikian kita peroleh

$\displaystyle \angle ABC=\angle ADC=\frac{1}{2}\times \angle AOC=\frac{1}{2}\times 180^o=90^o$

 

$\displaystyle \angle BAD=\angle BCD=\frac{1}{2} \times \angle BOD=\frac{1}{2}\times 180^o=90^o$

Maka kita mendapatkan fakta bahwa tali busur pada sudut yang saling berhadapan berada pada posisi saling tegak lurus satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu AB sejajar dengan CD dan AD sejajar dengan BC. Menariknya, ABCD membentuk persegi panjang. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Segiempat tali busur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan berbentuk persegi panjang.

 

C. Segiempat tali busur yang diagonalnya saling berpotongan tegak lurus di titik pusat lingkaran

        Lalu pertannyaan selanjutnya adalah bagaimana bentuk segiempat tali busur apabila diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. Untuk menjawab hal ini, perhatikan gambar berikut: 

tali busur persegi

Kalian bisa amati, bahwa bidang ABCD membentuk bidang persegi. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa 

segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang berpotongan tegak lurus di titik pusatnya membentuk bidang persegi. 

 ==== Selamat Belajar ====

\

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur dan luas juring pada lingkaran

        Dalam kehidupan sehari-hari, ada begitu banyak benda yang berbentuk lingkarann, misalnya koin, plat rambu-rambu lalu lintas, gelang, cincin ban sepeda, dll. Tentu saja sekilas kalian dapat memberikan contoh lain dari benda-benda yang berbentuk lingkaran Namun apakah kalian dapat menjelaskan apakah lingkaran itu? Bagaimanakah sebuah benda dapat didefinisikan sebagai lingkaran? Apa saja unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran?  Pembahasan berikut ini akan menjelaskan lebih lanjut konsep mengenai lingkaran dan beberapa unsur yang dapat kalian ketahui lebih dalam seperti misalnya sudut pusat, sudut keliling, tembereng, apotema, busur beserta tali busurnya dan juring pada lingkaran.

 A. Konsep Lingkaran dan unsur-unsur yang terdapat di dalamnya

        Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis yang membagi dua sama besar sebuah lingkaran disebut diameter. Sementara bagian tepi disebut keliling lingkaran dan daerah yang dibatasi oleh garis tepi lingkaran disebut bidang lingkaran.

Unsur-unsur pada lingkaran

Titik O merupakan titik pusat lingkaran Daerah yang berwarna merah disebut bidang lingkaran Bagian tepi yang berwarna kuning disebut keliling lingkaran. Garis OC disebut juga jari-jari lingkaran. Umumnya jari-jari lingkaran dinotasikan dengan simbol r. Garis ini menghubungkan titik tengah lingkaran (titik O) dengan keliling lingkaran. Panjang $D = 2 \times r$ Garis AB adalah diameter lingkaran. Biasanya garis ini dinotasikan dengan simbol D.

Rumus umum yang berlaku pada lingkaran adalah sebagai berikut

              Keliling lingkaran $\displaystyle = \pi \times D$

              Luas lingkaran $\displaystyle = \pi \times r^2$

dimana $\displaystyle \pi=\frac{22}{7} \approx 3,14$

             D = diameter lingkaran

             r  = jari-jari lingkaran 

B. Bagian-bagian lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis $\overline{AO}=\overline{BO}=\overline {CO}=\overline{DO}=$ jari-jari lingkaran

Garis $\overline{AD},\overline{BC}$, dan $\overline {AC}$ merupakan tali busur 

Garis lengkung $\overset{\frown}{AD},\overset{\frown}{BC},$ dan  $\overset{\frown} {AC}$  merupakan busur lingkaran. Ada dua macam tali busur AD, yakni

• busur kecil/pendek, yakni busur yang panjangnya kurang dari $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran. 
• busur besar/panjang, yakni busur yang panjangnya lebih dari $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran.
  
  

  

  garis lengkung merah : busur kecil
  garis lengkung hujau : busur besar

  
  

Garis $\overline {AE}$ merupakan apotema, yakni jarak terdekat tali busur $\overline {AE}$ dengan titik pisat lingkaran (titik O). Garis Apotema selalu tegak lurus terhadap garis tali busurnya. Hubungan antara apotema dan tali busurnya serta jari-jari lingkaran adalah 

$\displaystyle r^2 = a^2 + (\frac{tb}{2})^2$

Apotema

dimana a adalah panjang garis apotema, tb adalah panjang tali busur dan r adalah panjang jari-jari

Daerah  juring $\overset {\frown}{\blacktriangledown}$ AOD  (daerah berwarna hijau) yakni daerah yang dibatasi garis $\overline { AO}. \overline {DO}$,  dan  busur $\overset{\frown}{AD}$. Ada dua macam juring $\overset {\frown}{\blacktriangledown}$  AOD yakni :

• Juring kecil, yakni juring yang luasnya kurang dari luas $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran
  
  
• Juring besar, yakni juring yang luasnya lebih dari luas $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran

daerah merah : juring kecil
daerah coklat : juring besar

Daerah  tembereng $\overset {\frown}{\overline{BC}}$ (daerah berwarna putih) yakni daerah yang dibatasi tali busur $\overline {BC}$ dan busur $\overset{\frown}{BC}$. Ada dua macam tembereng $\overset {\frown}{\overline{BC}}$, yakni:

• Tembereng kecil, yakni tembereng yang luasnya kurang dari luas $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran
  
  
• Tembereng besar, yakni tembereng yang luasnya lebih dari luas $\displaystyle \frac{1}{2}$ lingkaran

daerah merah : tembereng kecil
daerah hijau : tembereng besar

C. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk dari dua jari yang berpotongan di titik pusat lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk antara dua tali busur di titik yang terletak  pada tepi lingkaran (garis keliling lingkaran). Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling berlaku rumus

 Sudut pusat = $2 \times $ Sudut Keliling             

Sudut pusat : $\angle AOD$
Sudut keliling : $\angle ACD$

untuk pembuktian teorema ini, kalian dapat melihat ulasan di tautan berjudul "Beberapa teorema tentang sudut pusat dan sudut keliling"

D. Hubungan antara panjang busur, sudut pusat dan luas juring pada lingkaran

        Kalau kita memperhatikan sekilas, nampak bahwa juring lingkaran adalah bagian dari suatu bidang lingkaran. Dengan demikian, terdapat suatu hubungan perbandingan antara luas daerah juring yang terbentuk dari dua jari-jari dengan luas daerah lingkaran. Sebagaimana kalian ketahui, bahwa besarnya sudut 1 putaran penuh adalah $360^o$. Sedangkan sudut pusat dari sebuah juring merupakan bagian dari sudut 1 putaran penuh. Oleh karena itu berlaku hubungan antara luas lingkaran dengan juring lingkaran yakni

Luas juring $\displaystyle =\frac{\alpha}{360^o}\times$ luas lingkaran

dimana $\alpha$ adalah sudut pusat juring

hal yang sama juga berlaku terhadap panjang busur pada lingkaran. Sebuah busur merupakan bagian dari keliling lingkaran. 

Juring AOB dan Busur AB

lalu pertanyaannya, apakah dua buah juring dan dua buah busurnya dapat memiliki hubungan satu dengan yang lainnya? Tentu saja jawabannya ya, mengingat keduanya mempunyai hubungan dalam 1 lingkaran yang sama. Hubungan itu berkaitan dengan perbandingan di antara keduanya. Misalnya kita memiliki dua buah juring AOB dan COD dengan busurnya masing-masing sebagaimana nampak pada gambar berikut:

maka berlaku hubungan sebagai berikut:

$\displaystyle \frac{\angle DOC}{\angle AOB}=\frac{\begin {matrix} panjang & \overset {\frown} {AB} \end {matrix}}{\begin {matrix} panjang & \overset {\frown}{CD} \end {matrix}}=\frac{\begin {matrix} luas & juring &AOB \end {matrix}}{\begin {matrix} luas  & juring & DOC \end {matrix}}$

==== Selamat Belajar ====

3 cara menentukan akar-akar persamaan Kuadrat beserta pembuktiannya

Kalian tentu masih ingat bagaimana menjabarkan persamaan  (2x + 4 )(3x - 5). Tentu saja hasil yang akan didapatkan seperti proses berikut ini

                 $(2x + 4 )(3x - 5)=2x (3x - 5) + 4 (3x-5)=2x \times 3x -2x \times 5 + 4 \times 3x - 5 \times 5$
                                              $=6x^2 - 10x +12x-20)=6x^2+2x-20$

Bentuk persamaan terakhir yang kita dapatkan tadi berbentuk persamaan kuadrat. 

Nah ... Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari materi yang berhubungan dengan  fungsi kuadrat. Pokok bahasan yang akan dibicarakan disini berkenaan dengan konsep fungsi kuadrat dan menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

A, Konsep dasar Fungsi kuadrat

        Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi polinomial satu variabel dengan pangkat tertingging dua. Bentuk yang paling umum dari fungsi kuadrat yakni  $f(x)=ax^2+bx+c$. Akan tetapi kita  juga dapat menulis bentuk persamaan kuadrat dengan notasi $ax^2+bx+c = 0$ dengan a dan b adalah koefisien dan c adalah konstanta. Keberadaan koefisien a dan b serta konstanta c nantinya akan memainkan peranan yang sangat penting sebab koefisien dan konstanta tersebut akan banyak digunakan dalam pembahasan mengenai persamaan kuadrat.

B. Akar-akar persamaan kuadrat. 

        Sebelum kita melangkah lebih jauh, ada baiknya kita ingat kembali bahwa persamaan $p\times q =0$ hanya dapat dipenuhi apabila minimal salah satu dari p atau q bernilai nol. Jadi jika seandainya $p =0$ dan $q \neq 0$ maka persamaan tersebut menjadi benar karena $p\times q= 0\times q =0$. Demikian juga sebaliknya jika $q=0$ sementara $p \neq 0$ , maka persamaan tersebut juga benar. Kasus itu juga berlaku seandainya p atau q merupakan sebuah  fungsi, Misalnya, $p = y-2$ dan $q \neq 0$, maka  persamaan $p \times q =(y -2) q =0$ menjadi benar apabila nilai p = y - 2 = 0, yakni persamaan $p\times q=0 $ dipenuhi ketika y  = 2. Konsep seperti ini merupakan hal yang paling mendasar untuk kalian perhatikan ketika mempelajari akar-akar persamaan kuadrat.
       Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai dari x yang membuat fungsi kuadrat tersebut menjadi sama dengan nol. Sebagaimana kita ketahui bentuk persamaan kuadrat dapat juga ditulis dengan

                                                  $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)=0$

bentuk persamaan tersebut akan dapat dipenuhi bila nilai $x = x_1$ atau $x = x_2$.  Nilai dari $x_1$ dan $x_2$ inilah yang nantinya disebut akar-akar dari persamaan kuadrat. 

Contoh 1: 

Diketahui persamaan kuadrat $f(x) = x^2-5x+6=0$. Tentukan nilai x sehingga nilai $f(x)= 0$.

Jawab:

 Bentuk persamaan $x^2-5x+6=0$  dapat diuraikan menjadi 

                              $f(x) = (x - 3) (x-2) = 0$
          
                                 $\Leftrightarrow x -3 = 0$      atau  $ x - 2 = 0$
                                 $\Leftrightarrow x =3$             atau  $ x= 2$       

Jadi penyelesaiannya HP = {$x|x =3$ atau $x=2$}           

Perhatikan, bentuk penyelesaian terakhir, yakni $x=3$ atau $x=2$ membuat nilai $f(x)=0$ sebab jika kita masukan nilai $x=3$ atau $x=2$ kedalam persamaan $f(x)=x^2-5x+6$  menghasilkan:

                $f(3) = 3^2-5.3+6 = 9 - 15 + 6 = 0$   dan     $f(2) = 2^2-5.2+6 = 4 - 10 + 6 = 0$

          Oleh karena itu $x_1=3$ dan $x_2=2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ x^2-5x+6 = 0$.

Nah... pertanyaan selanjutnya adalah  bagaimana kita dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari sebuah fungsi $f(x)=ax^2+bx+c$. Ada beberapa metode yang dapat dilakukan yakni : Metode pemfaktoran, Melengkapi kuadrat sempurna dan Rumus a,b,c, D. Kita akan membahas satu persatu teknik mencari akar-akar dalam pembahasan berikut ini.

C. Metode Pemfaktoran

        Secara tidak langsung, sebenarnya kita sudah diperkenalkan metode pemfaktoran ketika menjawab soal pada contoh 1 di atas. Metode pemfaktoran adalah menemukan bentuk faktor dari persamaan kuadrat  sehingga akhirnya persamaan kuadrat tersebut menjadi:

                                             $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=\frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=0$   

untuk mendapatkan tekniknya kita akan melihat satu persatu ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan kuadrat tersebut.

• Pada ruas kiri fungsi $f(x)$ berbentuk
  
               $ax^2+bx+c$                .................................................persamaan 1
  
  
  
• Pada ruas kanan fungsi $f(x)$ berbentuk 
  
               $\displaystyle \frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=\frac  {(ax-p)(ax-q)} {a} $ 
  
                                              $\displaystyle =\frac  {ax(ax-q)-p(ax-q)} {a} $ 
  
                                         $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\frac {a^2.x^2-a,q,x-a.p.x +p . q}{a}$ 
  
                                         $\Leftrightarrow$  $= a x^2- (p+q)x +$ $\displaystyle \frac {p . q}{a}$  .....................................persamaan 2
  
  

Bila kita perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2 maka kita akan mencari nilai $p$ dan $q$ sedemikian sehingga bila:

•  $p\times q = a \times c $
  
  
•  $p+ q=-b$
  
  

Contoh 2

Tentukan akar-akar dari persamaan $5x^2+13x-6=0$ dengan menggunakan metode pemfaktoran!

Jawab:

Dari persamaan  $5x^2+13x-6=0$ maka nilai $a=5, b=13, c=-6$

 maka kita akan menentukan nilai p dan q sehingga

• $p+q=b$            $\Leftrightarrow$     $p+q=13$

• $p\times q=a\times c$     $\Leftrightarrow$     $p\times q =5 \times (-6)=-30$

perhatikan, pasangan terurut dari faktor -30 adalah {(-1, 30), (1, -30), (-2, 15), (2, -15), (3, -10), (-3, 10), (-6, 5) dan (6, -5)}. Dari beberapa pilihan ini, (-2 dan 15) adalah yang paling tepat karena -2+15 = 13 dan $-2 \times 15=-30$. Oleh karena itu pilih $p=-2$ dan $q=15$ sehingga

 

          $\displaystyle 5x^2+13x-6 =\frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=0$

                    $\Leftrightarrow$         $\displaystyle 5x^2+13x-6 =\frac {(5x-(-2))(5x-15)}{5}=0$

                    $\Leftrightarrow$                                 $\displaystyle =\frac {(5x+2) 5. (x-3)}{5}=0$

                    $\Leftrightarrow$                                 $\displaystyle =(5x+2)(x-3)=0$

           Sehingga didapatkan   $5x +2=0$      atau $x-3=0$

           $\Leftrightarrow$         $\displaystyle x =-\frac {2}{5}$    atau  $x = 3$

           jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah  $\displaystyle x =-\frac {2}{5}$    atau  $x = 3$

  

D. Metode Kuadrat Sempurna

Pada metode kuadrat sempurna, kita akan mengubah bentuk persamaan   $ax^2+bx+c= 0$ menjadi:

                                  $ax^2+bx+c= (x-p)^2-q=0$  ..................................................persamaan 3 

perhatikan langkah-langkahnya                     
                       $ax^2+bx+c=0$    bagi kedua ruas dengan a

             $\Leftrightarrow$       $\displaystyle \frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}$

             $\Leftrightarrow$       $\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$     tambahkan kedua ruas dengan $\displaystyle \left ( \frac {b}{2a} \right )^2$
 
              $\Leftrightarrow$       $\displaystyle x^2+2. \frac{b}{2a}x+ \left ( \frac {b}{2a} \right )^2 +\frac{c}{a}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2=0$  

              $\Leftrightarrow$       $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac {c}{a}=0$  .......................... persamaan 4 

Perhatikan, dengan membandingkan persamaan 3 dan persamaan 4 maka  $\displaystyle p=\frac{b}{2a}$  dan    $\displaystyle q=-\left ( \frac{b}{2a}\right )^2 +\frac {c}{a}$. Dengan demikian kita menemukan  rumus mencari akar-akar yakni

                   $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac {c}{a}=0$   $\Leftrightarrow$     $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$


Contoh 3: 
  

         Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $6x^2 + 13x - 5 = 0$ dengan menggunakan metode 

jawab

dari persamaan  $6x^2 + 13x - 5 = 0$ kita dapatkan $a=6, b=13, c=-5$

Dengan menggunakan  metode kuadrat sempurna didapatkan

          $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{2.6} \right )^2 =\left ( \frac{13}{2.6} \right )^2 - \frac {-5}{6}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{12} \right )^2 = \frac{169}{144}  + \frac {120}{144}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{12} \right )^2 = \frac{289}{144}  $

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x+\frac {13}{12} =\pm \sqrt {\frac{289}{144}}  $

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x+\frac {13}{12} =\pm \frac{17}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x=\pm \frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x= \frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $     4 atau      $\displaystyle  x= -\frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x= \frac {4}{12}=\frac {1}{3} $      atau      $\displaystyle  x= -\frac {30}{12} =\frac{5}{2}  $

Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $\displaystyle x =\frac {1}{3}$    atau  $\displaystyle x =-\frac {5}{2}$

 

E. Metode Rumus a,b,c, D

Metode ini sebenarnya merupakan pengembangan dari metode kuadrat sempurna. Apabila kita perhatikan rumus kuadrat sempurna, maka akan diperoleh

 $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$

 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x+\frac {b}{2a}  =\pm \sqrt {\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}}$

$\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x=-\frac {b}{2a}  \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}  $

Jika $D= b^2 - 4ac$ maka dari persamaan terakhir diperoleh rumus akar-akar persamaan kuadrat:

                 $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $

 

Contoh :
        Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+7x-15=0$ dengan menggunakan rumus $a.b,c D$!

Jawab:

Persamaan  $4x^2+7x-15=0$ memiliki nilai $a=4, b=7, -15$

Maka $D=b^2-4ac=7^2-4.4.(-15)=49+240=289$ 

          $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {-7+ \sqrt {289}} {2.4}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-7- \sqrt {289}} {2.4}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {-7+ 17} {8}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-7- 17} {8}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {10} {8}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-24} {8}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {5} {4}  $      atau        $\displaystyle   x=-3  $

Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah    $\displaystyle   x=\frac {5} {4}  $      atau        $\displaystyle   x=-3  $