Hubungan antara sudut pusat, panjang busur dan luas juring pada lingkaran

        Dalam kehidupan sehari-hari, ada begitu banyak benda yang berbentuk lingkarann, misalnya koin, plat rambu-rambu lalu lintas, gelang, cincin ban sepeda, dll. Tentu saja sekilas kalian dapat memberikan contoh lain dari benda-benda yang berbentuk lingkaran Namun apakah kalian dapat menjelaskan apakah lingkaran itu? Bagaimanakah sebuah benda dapat didefinisikan sebagai lingkaran? Apa saja unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran?  Pembahasan berikut ini akan menjelaskan lebih lanjut konsep mengenai lingkaran dan beberapa unsur yang dapat kalian ketahui lebih dalam seperti misalnya sudut pusat, sudut keliling, tembereng, apotema, busur beserta tali busurnya dan juring pada lingkaran.

 A. Konsep Lingkaran dan unsur-unsur yang terdapat di dalamnya

        Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis yang membagi dua sama besar sebuah lingkaran disebut diameter. Sementara bagian tepi disebut keliling lingkaran dan daerah yang dibatasi oleh garis tepi lingkaran disebut bidang lingkaran.

Unsur-unsur pada lingkaran

Titik O merupakan titik pusat lingkaran Daerah yang berwarna merah disebut bidang lingkaran Bagian tepi yang berwarna kuning disebut keliling lingkaran. Garis OC disebut juga jari-jari lingkaran. Umumnya jari-jari lingkaran dinotasikan dengan simbol r. Garis ini menghubungkan titik tengah lingkaran (titik O) dengan keliling lingkaran. Panjang $D=2\times r$ Garis AB adalah diameter lingkaran. Biasanya garis ini dinotasikan dengan simbol D.

Rumus umum yang berlaku pada lingkaran adalah sebagai berikut

              Keliling lingkaran ${\displaystyle =\pi \times D}$

              Luas lingkaran ${\displaystyle =\pi \times r^2}$

dimana ${\displaystyle \pi =\frac{22}{7}\approx 3,14}$

             D = diameter lingkaran

             r  = jari-jari lingkaran 

B. Bagian-bagian lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis $\overline{AO}=\overline{BO}=\overline{CO}=\overline{DO}=$ jari-jari lingkaran

Garis $\overline{AD},\overline{BC}$, dan $\overline{AC}$ merupakan tali busur 

Garis lengkung $\stackrel{⌢}{AD},\stackrel{⌢}{BC},$ dan  $\stackrel{⌢}{AC}$  merupakan busur lingkaran. Ada dua macam tali busur AD, yakni

• busur kecil/pendek, yakni busur yang panjangnya kurang dari ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran. 
• busur besar/panjang, yakni busur yang panjangnya lebih dari ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran.
  
  

  

  garis lengkung merah : busur kecil
  garis lengkung hujau : busur besar

  
  

Garis $\overline{AE}$ merupakan apotema, yakni jarak terdekat tali busur $\overline{AE}$ dengan titik pisat lingkaran (titik O). Garis Apotema selalu tegak lurus terhadap garis tali busurnya. Hubungan antara apotema dan tali busurnya serta jari-jari lingkaran adalah 

${\displaystyle r^2=a^2+(\frac{tb}{2}{)}^2}$

Apotema

dimana a adalah panjang garis apotema, tb adalah panjang tali busur dan r adalah panjang jari-jari

Daerah  juring $\stackrel{⌢}{▾}$ AOD  (daerah berwarna hijau) yakni daerah yang dibatasi garis $\overline{AO}.\overline{DO}$,  dan  busur $\stackrel{⌢}{AD}$. Ada dua macam juring $\stackrel{⌢}{▾}$  AOD yakni :

• Juring kecil, yakni juring yang luasnya kurang dari luas ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran
  
  
• Juring besar, yakni juring yang luasnya lebih dari luas ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran

daerah merah : juring kecil
daerah coklat : juring besar

Daerah  tembereng $\stackrel{⌢}{\stackrel{―}{BC}}$ (daerah berwarna putih) yakni daerah yang dibatasi tali busur $\overline{BC}$ dan busur $\stackrel{⌢}{BC}$. Ada dua macam tembereng $\stackrel{⌢}{\stackrel{―}{BC}}$, yakni:

• Tembereng kecil, yakni tembereng yang luasnya kurang dari luas ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran
  
  
• Tembereng besar, yakni tembereng yang luasnya lebih dari luas ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ lingkaran

daerah merah : tembereng kecil
daerah hijau : tembereng besar

C. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk dari dua jari yang berpotongan di titik pusat lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk antara dua tali busur di titik yang terletak  pada tepi lingkaran (garis keliling lingkaran). Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling berlaku rumus

 Sudut pusat = $2\times$ Sudut Keliling             

Sudut pusat : $\mathrm{\angle }AOD$
Sudut keliling : $\mathrm{\angle }ACD$

untuk pembuktian teorema ini, kalian dapat melihat ulasan di tautan berjudul "Beberapa teorema tentang sudut pusat dan sudut keliling"

D. Hubungan antara panjang busur, sudut pusat dan luas juring pada lingkaran

        Kalau kita memperhatikan sekilas, nampak bahwa juring lingkaran adalah bagian dari suatu bidang lingkaran. Dengan demikian, terdapat suatu hubungan perbandingan antara luas daerah juring yang terbentuk dari dua jari-jari dengan luas daerah lingkaran. Sebagaimana kalian ketahui, bahwa besarnya sudut 1 putaran penuh adalah ${360}^o$. Sedangkan sudut pusat dari sebuah juring merupakan bagian dari sudut 1 putaran penuh. Oleh karena itu berlaku hubungan antara luas lingkaran dengan juring lingkaran yakni

Luas juring ${\displaystyle =\frac{\alpha }{{360}^o}\times }$ luas lingkaran

dimana $\alpha$ adalah sudut pusat juring

hal yang sama juga berlaku terhadap panjang busur pada lingkaran. Sebuah busur merupakan bagian dari keliling lingkaran. 

Juring AOB dan Busur AB

lalu pertanyaannya, apakah dua buah juring dan dua buah busurnya dapat memiliki hubungan satu dengan yang lainnya? Tentu saja jawabannya ya, mengingat keduanya mempunyai hubungan dalam 1 lingkaran yang sama. Hubungan itu berkaitan dengan perbandingan di antara keduanya. Misalnya kita memiliki dua buah juring AOB dan COD dengan busurnya masing-masing sebagaimana nampak pada gambar berikut:

maka berlaku hubungan sebagai berikut:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\angle }DOC}{\mathrm{\angle }AOB}=\frac{\begin{array}{cc}panjang& \stackrel{⌢}{AB}\end{array}}{\begin{array}{cc}panjang& \stackrel{⌢}{CD}\end{array}}=\frac{\begin{array}{ccc}luas& juring& AOB\end{array}}{\begin{array}{ccc}luas& juring& DOC\end{array}}}$

==== Selamat Belajar ====