Beberapa Teorema Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran      

        Beberapa waktu lalu kalian sudah mengenal apa itu sudut pusat dan sudut keliling. Sebagaimana kalian ketahui, sudut pusat adalah sudut yang dibentuk dari dua buah jari-jari yang berpotongan di titik pusat lungkaran. Sementara, sudut keliling adalah sudut yang dibentuk dari tali busur yang berpotongan di titik yang terdapat pada keliling lingkaran. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah 

Sudut pusat $=2 \times$ sudut keliling

Pada pembahasan berikut, kita akan membahas lebih jauh hal-hal yang berkaitan dengan sudut pusat dan sudut keliling. Beberapa diantaranya adalah menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran, menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap busur linkaran yang sama, dan menentukan besarnya sudut pada segiempat tali busur. Kita akan membahasnya satu persatu. 

A. Sudut Pusat besarnya 2 kali sudut keliling

        Pada awal pertemuan kita  sudah diperkenalkan sebuah pernyataan bahwa besarnya sudut pusat sama dengan dua kali besarnya sudut keliling. Tentu saja pernyataan ini dapat dibuktikan kebenarannya bila kita memperhatikan penjelasan berikut ini:

Perhatikan gambar

Pada gambar tersebut, $\angle BAC$ merupakan sudut keliling dan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Kedua sudut ini menghadap busur yang sama yakni busur $\overset {\frown} {BC}$. Sekarang, apabila kita menarik garis lurus melalui titik A dan titik pusat lingkaran maka kita akan dapatkan gambar sebagai berikut:

Perhatikan bahwa bila $\angle OAB = x$ dan $\angle OAC = y$ maka dengan memperhatikan $\bigtriangleup AOB$  dan  $\bigtriangleup AOC$ kita dapatkan 

$\angle BOC =\angle BOD +\angle COD$              ...... persamaan 1

$\angle BAC =\angle OAB +\angle OAC = x+y $ ...... persamaan 2

Padahal kita tahu panjang $\overline {OA}=\overline OB =\overline OC= r $. Dengan demikian $\bigtriangleup AOB$ dan $\bigtriangleup AOC$ merupakan segitiga sama kaki. Akibatnya $\angle OAB = \angle OBA$ dan $\angle OAC =\angle OCA$. 

Pada $\bigtriangleup AOB$   $\Leftrightarrow$   $\angle AOB=180^o-(\angle OAB + \angle OBA) =180^o-(x+x)=180^o-2x$ ..... persamaan 3

 

Pada $\bigtriangleup AOC$   $\Leftrightarrow$   $\angle AOC=180^o-(\angle OAC + \angle OCA) =180^o-(y+y)=180^o-2y$ ..... persamaan 4 

Tetapi kita tahu bahwa $\angle BOD$ merupakan pelururs dari $\angle AOB$ dan $\angle COD$ merupakan pelururs dari $\angle AOC$. dengan demikian jika kita memperhatikan persamaan 3 dan persamaan 4 maka kita dapatkan

$\angle BOD = 180^o - \angle AOB =180^o-(180^o-2x)=2x$

$\angle COD = 180^o - \angle AOC =180^o-(180^o-2y)=2x$

Dari dua persamaan terakhir dan dengan melihat persamaan 1 dan persamaan 2 kita dapatkan

$\angle BOC =\angle BOD +\angle COD=2x+2y = 2 (x+y) = 2 \times \angle BAC $

Dengan demikian terbukti bahwa besarnya sudut pusat sama dengan $2\times$ sudut keliling.

B. Hubungan sudut pusat dengan keliling dan luas lingkaran

Perhatikan gambar berikut:

Karena juring AOB merupakan bagian dari lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku hubungan perbandingan, yakni 

$\displaystyle \frac {\angle AOB}{360^o}=\frac{\begin {matrix} busur & \overset{\frown}{AB}\end {matrix}}{\begin {matrix} keliling & lingkaran \end {matrix}}=\frac {\begin {matrix} luas & juring & AOB \end {matrix}}{\begin {matrix} luas & lingkaran \end {matrix}}$

            

C. Besarnya sudut keliling yang menghadap diameter

Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar tersebut nampak bahwa $\angle ACB$ merupakan sudut keliling yang menghadap diameter $\overline {AB}$. Sebagaimana kita tahu bahwa sudut satu putaran penuh = $360^o$ dan diameter lingkaran membagi dua lingkaran sama besar. Dengan demikian besarnya $\angle AOB = 180^o$. Kita pun tahu bahwa $\angle AOB$ dan $\angle ACB$ menghadap busur yang sama sehingga mereka mempunyai hubungan sebagai sudut pusat dan sudut keliling. Dengan demikian karena sudut pusat $=2\times$ sudut keliling maka diperoleh:

$\displaystyle \angle ACB =\frac{1}{2}\times \angle AOB=\frac{1}{2}\times 180^o=90^o$

Nah, dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

• Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki sudut sebesar $90^o$
• Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki 2 tali busur yang saling tegak lurus. 

 

Semua sudut keliling yang menghadap
diameter lingkaran memiliki sudut sebesar $90^o$

D. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama 

        Untuk melihat hubungan antara sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kalian bisa memperhatikan gambar berikut ini:

Perhatikan bahwa $\angle DOE$ merupakan sudut pusat dan $\angle DAE, \angle DBE$  dan  $\angle DCE$  merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yakni busur $\overset {\frown}{DE}$. Karena kita tahu bahwa hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sudut pusat = $2\times$ sudut keliling maka :

$\displaystyle \angle DAE = \frac{1}{2} \times \angle DOE$  

$\displaystyle \angle DBE = \frac{1}{2} \times \angle DOE$  

$\displaystyle \angle DCE = \frac{1}{2} \times \angle DOE$  

sehingga kita dapatkan

$\angle DAE = \angle DBE=\angle DCE$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Semua sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama seperti halnya dengan sudut pusat, maka besarnya semua sudut keliling tersebut sama yakni setengah dari sudut pusatnya.

 

==== Selamat Belajar ====