Altissima: Beberapa Teorema Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran

Senin, 24 Januari 2022

Beberapa Teorema Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran      


        Beberapa waktu lalu kalian sudah mengenal apa itu sudut pusat dan sudut keliling. Sebagaimana kalian ketahui, sudut pusat adalah sudut yang dibentuk dari dua buah jari-jari yang berpotongan di titik pusat lungkaran. Sementara, sudut keliling adalah sudut yang dibentuk dari tali busur yang berpotongan di titik yang terdapat pada keliling lingkaran. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah 

Sudut pusat =2× sudut keliling

Pada pembahasan berikut, kita akan membahas lebih jauh hal-hal yang berkaitan dengan sudut pusat dan sudut keliling. Beberapa diantaranya adalah menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran, menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap busur linkaran yang sama, dan menentukan besarnya sudut pada segiempat tali busur. Kita akan membahasnya satu persatu. 

A. Sudut Pusat besarnya 2 kali sudut keliling

        Pada awal pertemuan kita  sudah diperkenalkan sebuah pernyataan bahwa besarnya sudut pusat sama dengan dua kali besarnya sudut keliling. Tentu saja pernyataan ini dapat dibuktikan kebenarannya bila kita memperhatikan penjelasan berikut ini:

Perhatikan gambar



Pada gambar tersebut, BAC merupakan sudut keliling dan BOC merupakan sudut pusat. Kedua sudut ini menghadap busur yang sama yakni busur BC. Sekarang, apabila kita menarik garis lurus melalui titik A dan titik pusat lingkaran maka kita akan dapatkan gambar sebagai berikut:



Perhatikan bahwa bila OAB=x dan OAC=y maka dengan memperhatikan AOB  dan  AOC kita dapatkan 

BOC=BOD+COD              ...... persamaan 1
BAC=OAB+OAC=x+y ...... persamaan 2

Padahal kita tahu panjang OA=OB=OC=r. Dengan demikian AOB dan AOC merupakan segitiga sama kaki. Akibatnya OAB=OBA dan OAC=OCA

Pada AOB      AOB=180o(OAB+OBA)=180o(x+x)=180o2x ..... persamaan 3
 
Pada AOC      AOC=180o(OAC+OCA)=180o(y+y)=180o2y ..... persamaan 4 

Tetapi kita tahu bahwa BOD merupakan pelururs dari AOB dan COD merupakan pelururs dari AOC. dengan demikian jika kita memperhatikan persamaan 3 dan persamaan 4 maka kita dapatkan

BOD=180oAOB=180o(180o2x)=2x

COD=180oAOC=180o(180o2y)=2x

Dari dua persamaan terakhir dan dengan melihat persamaan 1 dan persamaan 2 kita dapatkan

BOC=BOD+COD=2x+2y=2(x+y)=2×BAC


Dengan demikian terbukti bahwa besarnya sudut pusat sama dengan 2× sudut keliling.


B. Hubungan sudut pusat dengan keliling dan luas lingkaran


Perhatikan gambar berikut:


Karena juring AOB merupakan bagian dari lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku hubungan perbandingan, yakni 

AOB360o=busurABkelilinglingkaran=luasjuringAOBluaslingkaran
            

C. Besarnya sudut keliling yang menghadap diameter

Perhatikan gambar berikut ini



Pada gambar tersebut nampak bahwa ACB merupakan sudut keliling yang menghadap diameter AB. Sebagaimana kita tahu bahwa sudut satu putaran penuh = 360o dan diameter lingkaran membagi dua lingkaran sama besar. Dengan demikian besarnya AOB=180o. Kita pun tahu bahwa AOB dan ACB menghadap busur yang sama sehingga mereka mempunyai hubungan sebagai sudut pusat dan sudut keliling. Dengan demikian karena sudut pusat =2× sudut keliling maka diperoleh:

ACB=12×AOB=12×180o=90o

Nah, dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

  • Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki sudut sebesar 90o
  • Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki 2 tali busur yang saling tegak lurus. 

 

Semua sudut keliling yang menghadap
diameter lingkaran memiliki sudut sebesar 90o


D. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama 

        Untuk melihat hubungan antara sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kalian bisa memperhatikan gambar berikut ini:


Perhatikan bahwa DOE merupakan sudut pusat dan DAE,DBE  dan  DCE  merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yakni busur DE. Karena kita tahu bahwa hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sudut pusat = 2× sudut keliling maka :

DAE=12×DOE  

DBE=12×DOE  

DCE=12×DOE  

sehingga kita dapatkan

DAE=DBE=DCE


Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Semua sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama seperti halnya dengan sudut pusat, maka besarnya semua sudut keliling tersebut sama yakni setengah dari sudut pusatnya.

 



==== Selamat Belajar ====

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...