Latihan Persiapan OSN Matematika SMP 2022

1. Sebuah papan berbentuk $\displaystyle \frac {1}{4}$ lingkaran memiliki jari-jari sebesar 1 m. Di dalamnya terdapat bujur sangkar dimana keempat sisinya bersinggungan dengan tepi papan tersebut di setiap sudutnya seperti nampak pada gambar di bawah ini. Berapakah luas bujur sangkar tersebut?
   
   
   

   
   
   
   
   
2. Empat buah segitiga siku-siku berukuran alas dan tingginya masing-masing 30 cm dan 40 cm, Keempat segitiga tersebut disusun sedemikian rupa di atas sebuah persegi dengan panjang sisinya 50 cm seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas persegi kecil (warna biru) yang terbentuk dari susunan tersebut! 
   
   
   
   
   
   
   
   
3. Sebuah lingkaran dengan panjang diameter 2 cm dibagi menjadi 2 bagian sama besar. Kemudian kedua bagian tersebut diletakan sedemikian rupa seperti pada gambar berikut ini:
   
   
   
   
   
   Tentukan nilai x dan y dimana $x < y$  dan $x \epsilon 1, 2, 3,...$ sedemikian sehingga memenuhi persamaan $AD=\sqrt x+\sqrt y$!
   
   
   

Pembahasan

1. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   

   
   
   

   Garis OR adalah garis yang melalui titik pusat lingkaran dan membagi dua bujur sangkar tersebut. Misalkan panjang PQ adalah x sehingga panjang sisi bujur sangkar tersebut adalah 2x. Karena OP merupakan jari-jari lingkaran maka panjang OP = 1 cm. $\bigtriangleup OTU$  merupakan segitiga sama kaki dan $\bigtriangleup OTU$ sebangun dengan $\bigtriangleup OTS$ dan $\bigtriangleup OSU$. Karena $\displaystyle SU =\frac{1}{2}TU$ dan $\bigtriangleup OSU$ adalah segitiga sama kaki, maka $OS = SU = x$. Dengan demikian $OQ=3x$. Dengan menggunakan aturan Phytagoras diperoleh
   
                                 $ OP^2=OQ^2+PQ^2$
   
                            $\Leftrightarrow$     $ 1^2 =3x^2+x^2$
   
                            $\Leftrightarrow$     $ 1^2 =10x^2$      $\Leftrightarrow$     $\displaystyle x^2=\frac {1}{10}$  ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, persamaan 1
   
   Karena luas bujur sangkar = $sisi \times sisi = 2x \times 2x =4x^2$, maka berdasarkan persamaan 1, maka luas bujur sangkar = $\displaystyle 4x^2 = 4\times \frac {1}{10}= 0,4 $ cm$^2$
    
2. Untuk memahami soal ini, kalian perlu ingat kembali konsep tentang kesebangunan.
   Andaikan  $\bigtriangleup ABC \approx \bigtriangleup DEF$ dengan perbandingan $\bigtriangleup ABC : \bigtriangleup DEF = x$. Jika t adalah tinggi  $ \bigtriangleup DEF$ maka tinggi   $\bigtriangleup ABC = t.x$.  Demikian juga bila a adalah alafras $ \bigtriangleup DEF$ maka alas   $\bigtriangleup ABC = a.x$.  
   
   
   
   
   
   Jadi jika $L_1$ dan $L_2$ masing-masing adalah luas  $\bigtriangleup ABC$  dan luas $ \bigtriangleup DEF$, maka kita dapatkan
   
              $\displaystyle \frac{L_1}{L_2}=\frac{\frac{1}{2}\times ax\times tx}{\frac{1}{2}\times a \times t}=x^2$       $\Leftrightarrow$       $L_1=x^2.L_2$   .......................... persamaan 2
   
   Sekarang perhatikan gambar berikut ini,
   
   
                                   
                           gambar a                                                           gambar b

   
   
   
   Pada gambar a, nampak bahwa  $\bigtriangleup ABC$ adalah siku-siku di B dan AB = 40 , BC = 30, maka sesuai dengan hukumPhytagoras berlaku AC = 50 cm dan Luasnya = $\displaystyle \frac{1}{2}AB\times BC= \frac{1}{2}40\times 30=600$ cm$^2$. Kemudian, ketika segitiga lain yang kongruen dipasangkan seperti gambar pada gambar b, maka kita memperoleh fakta bahwa  $A_2B_2=40, BB_2=50, BC=30$   berakibat 
   
                       $CB_2=BB_2-BC=50-30=20$  dan $A_2C=A_2B_2-CB_2=40-20=20$.
   
   Pada gambar b juga diperlihatkan bahwa $\bigtriangleup ABC$ sebagun dengan $\bigtriangleup A_2DC$ sehingga konsep kesebangunan berlaku
   
                        $\displaystyle x=\frac{AC}{A_2}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}$
   
   Dengan demikan dari persamaan 2 kita dapatkan
   
                        $\displaystyle L_1 = \left ( \frac {5}{2} \right )^2 L_2$
   
            $\Leftrightarrow $       $\displaystyle 600 = \frac {25}{4}  L_2$ 
   
   
            $\Leftrightarrow $       $\displaystyle L_2=600 \times  \frac {4}{25} = 96 $ cm$^2$ 
   
   
   
   
   Sehingga dari gambar c kita dapatkan luas kotak persegi biru, yakni
   
   Luas persegi biru = Luas persegi besar $- 4 L_1+4L_2=50\times 50 - 4 \times 600 + 4 \times 96 = 484 $ cm$^2$
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
   Karena diameter lingkaran = 2 cm, maka jari-jari lingkaran tersebut = 1cm. Sehingga OE = EP = OF = OB = 1 cm..
   
   $\bigtriangleup OPF $ merupakan segitiga siku-siku, sehingga dengan hukum phytagoras diperoleh
   
                  $FP=\sqrt{OP^2-OF^2}= \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt 3 $
   
   Kemudian perhatikan gambar berikut:
   
   
   

   
   
   
   Karena bidang AORF adalah persegi, maka AO = PD = AR = RF = 1 cm. $\bigtriangleup ARP$ juga merupakan segitiga siku-siku dimana $RD=RF+FP+PD=1+\sqrt 3+1=2+\sqrt 3$. Dengan menggunakan phytagoras diperoleh
            $AD = \sqrt{AR^2+RD^2}=\sqrt{1^2+(2+sqrt 3)^2}=\sqrt{1+7+4\sqrt 3}=\sqrt{8+4\sqrt 3}$
   
                   $=\sqrt {8+2.2 \sqrt 3}=\sqrt{8+2.\sqrt 4 . \sqrt 3} = \sqrt{8+\sqrt{12}}$
   
   
   Karena $AD=\sqrt x+\sqrt y = \sqrt{8+2.\sqrt{12}}$, maka
   
                   $AD^2=(\sqrt x+\sqrt y)^2 = (\sqrt{(8+2.\sqrt{12}})^2$
   $\Leftrightarrow$                $\ x+y+2 \sqrt {xy} = \sqrt{8+2.\sqrt{12}}$
   
   $\Leftrightarrow$                $\ x+y=8$  dan  $x\times y = 12$   ...................persamaan 3
   
   Dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut diperoleh:
   
   $x \times y =12 $   $\Rightarrow$   $x \times (8-x )=12$
   
                                  $\Leftrightarrow$   $x ^2-8x +12=0$
                                  $\Leftrightarrow$   $(x -6)\ (x -2)=0$
                                  $\Leftrightarrow$   $x=6$    atau   $x=2$
   
   Dengan mensubtitusikan kembali nilai x ke persamaan 3 maka akan diperoleh jika x = 6 maka y = 2   atau  jika x = 2 maka y = 6.
   
   Karena pada soal diketahui $x < y$  maka pilih  $x =2$  dan $y= 6$  sehingga didapat
   
                            $AD =\sqrt 2+ \sqrt 6$
   
   
   
   
   
   
   
   
   ==  Selamat Belajar - Semoga Sukses ==