Altissima: Latihan Persiapan OSN Matematika SMP 2022

Selasa, 18 Januari 2022

Latihan Persiapan OSN Matematika SMP 2022

  1. Sebuah papan berbentuk 14 lingkaran memiliki jari-jari sebesar 1 m. Di dalamnya terdapat bujur sangkar dimana keempat sisinya bersinggungan dengan tepi papan tersebut di setiap sudutnya seperti nampak pada gambar di bawah ini. Berapakah luas bujur sangkar tersebut?




  2. Empat buah segitiga siku-siku berukuran alas dan tingginya masing-masing 30 cm dan 40 cm, Keempat segitiga tersebut disusun sedemikian rupa di atas sebuah persegi dengan panjang sisinya 50 cm seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas persegi kecil (warna biru) yang terbentuk dari susunan tersebut! 






  3. Sebuah lingkaran dengan panjang diameter 2 cm dibagi menjadi 2 bagian sama besar. Kemudian kedua bagian tersebut diletakan sedemikian rupa seperti pada gambar berikut ini:



    Tentukan nilai x dan y dimana x<y  dan xϵ1,2,3,... sedemikian sehingga memenuhi persamaan AD=x+y!


Pembahasan

  1. Perhatikan gambar berikut ini!



    Garis OR adalah garis yang melalui titik pusat lingkaran dan membagi dua bujur sangkar tersebut. Misalkan panjang PQ adalah x sehingga panjang sisi bujur sangkar tersebut adalah 2x. Karena OP merupakan jari-jari lingkaran maka panjang OP = 1 cm. OTU  merupakan segitiga sama kaki dan OTU sebangun dengan OTS dan OSU. Karena SU=12TU dan OSU adalah segitiga sama kaki, maka OS=SU=x. Dengan demikian OQ=3x. Dengan menggunakan aturan Phytagoras diperoleh

                                  OP2=OQ2+PQ2

                                  12=3x2+x2

                                  12=10x2           x2=110  ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, persamaan 1

    Karena luas bujur sangkar = sisi×sisi=2x×2x=4x2, maka berdasarkan persamaan 1, maka luas bujur sangkar = 4x2=4×110=0,4 cm2
     
  2. Untuk memahami soal ini, kalian perlu ingat kembali konsep tentang kesebangunan.
    Andaikan  ABCDEF dengan perbandingan ABC:DEF=x. Jika t adalah tinggi  DEF maka tinggi   ABC=t.x.  Demikian juga bila adalah alafras DEF maka alas   ABC=a.x.  



    Jadi jika L1 dan L2 masing-masing adalah luas  ABC  dan luas DEF, maka kita dapatkan

               L1L2=12×ax×tx12×a×t=x2              L1=x2.L2   .......................... persamaan 2

    Sekarang perhatikan gambar berikut ini,

                                    
                            gambar a                                                           gambar b


    Pada gambar a, nampak bahwa  ABC adalah siku-siku di B dan AB = 40 , BC = 30, maka sesuai dengan hukumPhytagoras berlaku AC = 50 cm dan Luasnya = 12AB×BC=1240×30=600 cm2. Kemudian, ketika segitiga lain yang kongruen dipasangkan seperti gambar pada gambar b, maka kita memperoleh fakta bahwa  A2B2=40,BB2=50,BC=30   berakibat 

                        CB2=BB2BC=5030=20  dan A2C=A2B2CB2=4020=20.

    Pada gambar b juga diperlihatkan bahwa ABC sebagun dengan A2DC sehingga konsep kesebangunan berlaku

                         x=ACA2=5020=52

    Dengan demikan dari persamaan 2 kita dapatkan

                         L1=(52)2L2

                    600=254L2 

                    L2=600×425=96 cm2 


    Sehingga dari gambar c kita dapatkan luas kotak persegi biru, yakni

    Luas persegi biru = Luas persegi besar 4L1+4L2=50×504×600+4×96=484 cm2


  3. Perhatikan gambar berikut ini!



    Karena diameter lingkaran = 2 cm, maka jari-jari lingkaran tersebut = 1cm. Sehingga OE = EP = OF = OB = 1 cm..

    OPF merupakan segitiga siku-siku, sehingga dengan hukum phytagoras diperoleh

                   FP=OP2OF2=2212=3

    Kemudian perhatikan gambar berikut:



    Karena bidang AORF adalah persegi, maka AO = PD = AR = RF = 1 cm. ARP juga merupakan segitiga siku-siku dimana RD=RF+FP+PD=1+3+1=2+3. Dengan menggunakan phytagoras diperoleh
             AD=AR2+RD2=12+(2+sqrt3)2=1+7+43=8+43

                    =8+2.23=8+2.4.3=8+12


    Karena AD=x+y=8+2.12, maka

                    AD2=(x+y)2=((8+2.12)2
                     x+y+2xy=8+2.12

                     x+y=8  dan  x×y=12   ...................persamaan 3

    Dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut diperoleh:

    x×y=12      x×(8x)=12

                                      x28x+12=0
                                      (x6) (x2)=0
                                      x=6    atau   x=2

    Dengan mensubtitusikan kembali nilai x ke persamaan 3 maka akan diperoleh jika x = 6 maka y = 2   atau  jika x = 2 maka y = 6.

    Karena pada soal diketahui x<y  maka pilih  x=2  dan y=6  sehingga didapat

                             AD=2+6







    ==  Selamat Belajar - Semoga Sukses ==

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...