Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat

Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pada bagian ini, kita akan mendalami lebih lanjut mengenai bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam menyelesaikan persoalan sehari-hari. Pembahasan pokok dari tulisan ini berkaitan dengan laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat dan contoh persoalan yang berkaitan dengan perihal tersebut. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat pembahasan berikut ini


A. Menghitung Perubahan Rata-Rata dan Perubahan Sesaat

Misalkan kita memiliki fungsi y = f (x) yang bergantung pada nilai x seperti gambar 1. Jika x berubah dari x = c   menjadi x = c + h  maka perubahan x dan perubahan nilai fungsinya adalah  

$\mathrm{\Delta }x=(c+h)-c=h$

$\mathrm{\Delta }y=f(c+h)-f(c)$

 

Perhatikan gambar berikut

gambar 1

Dengan demikian kita akan mendapatkan hasil bagi selisih keduanya menjadi

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$

Persamaan di atas seringkali dikenal dengan laju perubahan rata-rata pada fungsi $f(x)$ terhadap x sepanjang interval [c, c+h].

Lalu apa yang terjadi terhadap laju perubahan rata-rata jika perubahan interval x menjadi semakin kecil mendekati nol, yakni dimana $\mathrm{\Delta }x=h\to 0$. Pendekatan nilai limit terhadap laju perubahan rata-rata ini sering disebut dengan laju perubahan sesaat ketika x = c atau bisa juga disebut dengan kemiringan garis singgung terhadap kurva $y=f(x)$ di titik $(c,f(c))$. Oleh karena itu kita mendapatkan rumus laju perubahan sesaat ketika $\mathrm{\Delta }x=h\to 0$ di titik x = c adalah

laju perubahan sesaat ${\displaystyle =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$

 

B. Beberapa Contoh Persoalan yang Berkaitan dengan Perubahan Sesaat.

Contoh 1

Sebuah kota dijangkiti epidemi flu. Petugas menaksir bahwa setelah t hari setelah dimulainya epidemi flu, jumlah orang yang terkena penyakit flu ditaksir sebagai sebuah fungsi:

$p(t)=120t^2-2t^3$        $0\le t\le 40$

Berapakah laju menularnya penyakit tersebut pada saat

      a. $t=10$                    b. $t=20$                         c. $t=40$

Jawab :

Misalkan laju perubahan didefinisikan sebagai $p^{\prime }(t)$, maka

     ${\displaystyle p^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{p(t+h)-p(t)}{h}}$

      $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(120(t+h{)}^2-2(t+h{)}^3)-(120t^2-2t^3)}{h}}$

      $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(120(t^2+2th+h^2-2(t^3+3t{h}^2+3t^{2}h+h^3)-(120t^2-2t^3)}{h}}$

      $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(240th+120h^2-6t{h}^2-6t^{2}h-2h^3)-(120t^2-2t^3)}{h}}$

      $\iff$   ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}240t+120h-6th-6t^2-2h^2}$

      $\iff$   $=240t+120.0-6t.0-6.t^2-{2.0}^2=240t-6t^2$

Dengan demikian kita dapatkan

     a. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p^{\prime }(10)=240.10-{6.10}^2=2400-600=1800$ orang

     b. Laju perubahan sesaat ketika t = 20 adalah 
  
         $p^{\prime }(10)=240.20-{6.20}^2=4800-2400=2400$ orang


     c. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p^{\prime }(10)=240.40-{6.40}^2=9600-9600=0$ orang



Contoh 2

Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah T dengan fungsi sebagai berikut

$T=0,1(400-40t+t^2)$         $0\le t\le 12$

     a. Tentukan laju perubahan rata-rata dari T terhadap t antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi$

     b. Tentukan Laju perubahan sesaat T pada saat t pada jam 5 pagi.

Jawab

a. Laju perubahan rata-rata antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi adalah

          ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{T(6)-T(5)}{6-1}}$

            $\iff$   $=(0,1(400-40.6+6^2))-(0,1(400-40.5+5^2))=0,1(400-240+36)-(400-200+25)$

           $\iff$   $=(0,1(-40+11)=-2,9$


b. Misalkan laju perubahan sesaat adalah $T^{\prime }$, maka


          ${\displaystyle T^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{T(t+h)-T(t)}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(0,1(400-40(t+h)+(t+h{)}^2)-(0,1(400-40t+t^2)}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(0,1(400-40t-40h+t^2+2th+h^2)-(0,1(400-40t+t^2))}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-40h+2th+h^2}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}-40+2t+h=-40+2t+0=-40+2t}$

    Dengan demikian pada saat $t=5$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $T^{\prime }(5)=-40+2.5=10$



Contoh 3

Suatu perusahaan mulai beroperasi pada tahun 2016. Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut selama t tahun adalah p juta rupiah. dengan 

$p(t)=50.000+18.000t+600t^2$

Tentukan prakiraan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tahun 2023?

Jawab

Misalkan laju perubahan sesaat adalah $p^{\prime }$, maka


          ${\displaystyle p^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{p(t+h)-T(t)}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(50.000+18.000(t+h)+600(t+h{)}^2)-(50.000+18.000t+600t^2)}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(50.000+18.000t+18.000.h+600t^2+1.200th+600h^2)-(50.000+18.000t+600t^2))}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{18.000h+1.200th+600h^2}{h}}$

           $\iff$  ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}18.000+1.200t+600h=18.000+1.200t+0=18.000+1.200t}$

    Dengan demikian pada saat $t=2023-2016=7$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $p^{\prime }(7)=18.000+1.200\times 7=18.000+8.400=26.400$

=============== 000 ================