Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1

Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
   apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
   
   Jawab
   
   Pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi  ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya
              
                  $\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$
   
   Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
   
                 $\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.
   
   Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka  $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$
   
   Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$
   
   
   
2. Apakah yang dimaksud dengan
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$
   
   Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?
   
   Jawab
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$  sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar grafik berikut ini!
   
   
   
   
   Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
   
             a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
             d. $f(3)$
   
             e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$
   
   
   Jawab
   
             a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$
   
             d. $f(3)=2$
   
              e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$  tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq  \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
         Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
   
                    d. $f(2)$
   
                    e. $f(-2)$
   
   
   Jawab
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$  dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$
   
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$
   
                    d. $f(2)=1$
   
                    e. $f(-2)=3$
   
   
   
5. Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f  berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!
   
                       $f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$ 
   
   
   Jawab
   
   
   
   
   
   Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$  maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$
   
   
   
6. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari
   
   

          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$

   
          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$
   
          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$
   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$
   
   Jawab
   
          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$
   
   

   

   
   
   
   

          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$
   
   

   

   
   
   
   

          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$
   
   

   
   
   
   

   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$
   
   

   

   
   
   
7. Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$
   
   Jawab
   Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$  ada   jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$
    
             $k =8-10 =-2$
   
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$             

    
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$
   
              $\Leftrightarrow$    2k = -4       $\Leftrightarrow$     $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$
   
   
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam   tentukan 

   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$   dan    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$
dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!





jawab

$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$   dan    $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$

Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.


9. Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah 
   
   

   $\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

   
   Dimana $m_o $  adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$
   
   jawab
   
   ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$
   
   Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga.
   
   
   
10.   Jelaskan apakah 
    
             a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?
    
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?
    
    Jawab.
    
    a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan  $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi.  Sementara ketika $x = 1$  nilai $2x - 1$ sama dengan 1
    
    
    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. 
    
    

======= 000 =======

Contoh soal Hots tentang Persamaan garis singgung persekutuan lingkaran

1. Lingkaran I dan lingkaran II masing-masing titik pusatnya terletak di titik O dan titik P. Kedua lingkaran tersebut berada dalam kedudukan terpisah satu dengan yang lainnya.  Garis k dan garis l adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. Garis k menyinggung lingkaran I di titik A dan menyinggung lingkaran II di titik B. Garis l menyinggung lingkaran I di titik D dan menyinggung lingkaran II di titik C. Selain itu garis m dan garis n adalah garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut. Garis m memotong garis k dan garis l masing-masing di titik V dan di titik W. Garis n memotong garis k dan l di titik X dan di titik Y.
   
   Tunjukan bahwa AB = CD = VW = XY
   
   
   

   
   
   
   
   jawab:         
   
   perhatikan gambar berikut ini:|
   
   
   
   
   Jika kita membuat perpanjangan garis k dan garis l sedemikian sehingga berpotongan pada titik H, maka akan kita dapatkan
                                                         AB = AH - BH
                                                         CD = DH - CH
   
   Tetapi berdasarkan sifat garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran didapat
                                                         AH = DH
                                                         BH = CH
   Akibatnya
                                                      AB = AH - BH
                                                      AB = DH - CH = CD ..... persamaan 1
   
   Kemudian, misalkan titik Q, R, S, dan T masing-masing merupakan titik singgung garis persekutuan dalam lingkaran dan U adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam tersebut seperti pada gambar berikut ini:
   
   
   

   
   

   
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = CY + YD
                QY = YS +  QS
   
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                CY  = YS
                YD = QY
   
   Oleh karena itu 
                 CD = CY + YD = YS + QY = YS + (YS + SQ) = 2 YS + QS ...... persamaan 2
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AX + XB
                 XS = XQ + QS
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 XS = XB
                 AX = XQ
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AX + XB = XQ + XS = XQ + (XQ + QS) = 2 XQ + QS ,,,,,,,, persamaan 3
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh
               AB = CD
   2 YS + QS = 2 XQ + QS
          YS      =        XQ   ........ persamaan 4
   
   dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 4 
   
                       AB = CD = YD + CY = QY + YS = YQ + XQ = XY
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = XY.
   
   Sekarang, dengan analogi yang sama kita juga dapat menunjukan bahwa AB = CD = VW, yakni 
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = WD + CW
                RW = WT +  TR
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                WD  = WT
                RW  = CW
   
   Oleh karena itu 
                 CD = WD + CW = WT + RW = WT + (WT + TR) = 2 WT + TR ...... persamaan 5
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AV + VB
                 VT = VR + TR
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 VT = AV
                 VB = VR
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AV + VB = VT + VR = (VR +TR)+ VR = 2 VR + TR ,,,,,,,, persamaan 6
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 5 dan persamaan 6 diperoleh
               AB = CD
   2 VR + TR = 2 WT + TR
          VR      =        WT   ........ persamaan 7
   
   dari persamaan 1, persamaan 5 dan persamaan 7 
   
                       AB = CD = WD + CY = WT + RW = VR + RW = VW
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = VW
   
   Karena AB = CD = XY dan AB = CD = VW maka berlaku AB = CD = VW = XY
   

==== Good Luck ====

Kumpulan Rumus-Rumus Dasar Integral

Pengertian integral

Jika $F(x)$ adalah fungsi umum yang bersifat $F'(x)= f(x)$, maka $F(x)$ merupakan kebalikan dari turunan atau antiturunan. Pengintegralan fungsi $f(x)$ terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

                                                   $\int f(x) dx = F(x)+C$

$\int dx$    : notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
$f(x)$    :  fungsi integran
$F(x)$   : fungsi integral umum yang bersifat $F'(x) =f(x)$
c         :  konstanta pengintegralan

Jenis integral

1. Integral tak tentu                      $\int f(x) dx = F(x)+C$
   
   
2. Integral tentu                            $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \left [ F(x)+C \right ] _{a}^{b} = F(b)-F(a)$   dengan $a\leq x \leq b$

Sifat Umum Integral 

1. $\int c f(x)dx=c \int f(x)dx$   dengan c adalah konstanta
   
   
2. $\int \left ( f(x) \pm g(x) \right ) dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx $
   
   

 Jika $f((x)$  dan $g(x)$ kontinue pada interval $a \leq x \leq b$, maka 

1. $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
   
   
2. $\int_{a}^{b} f(x)dx = - \int_{b}^{a} f(x)dx$
   
   
3. $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{m} f(x)dx +\int_{m}^{b} f(x)dx $   dimana   $a \leq p \leq b$ 

Rumus Integral

a. Integral fungsi aljabar

1. Rumus dasar
   
   a. $\displaystyle \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
   
   b. $\displaystyle \int e^n dx = e^x+C$
   
   c. $\displaystyle \int p^x dx = \frac{p^x}{ln p}+C$
   
   d. $\displaystyle \int \frac {1}{x} dx = ln |x|+C$
   
    
2. Rumus Pengembangan
   
   a. $\displaystyle \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C$
   
   b. $\displaystyle \int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b}+C$
   
   c. $\displaystyle \int p^{ax+b} dx = \frac{p^{ax+b}}{a.ln p}+C$
   
   d $\displaystyle \int \frac {1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} ln^{|ax+b|}+C$
   
   
   

b. Integral Trigonometri

1. Rumus dasar
   
   a. $\displaystyle \int \sin{x}  dx = -\cos {x}+C$
   
   b. $\displaystyle \int \cos{x}  dx = \sin {x}+C$
   
   c. $\displaystyle \int \tan{x}  dx = -ln |\cos {x}|+C$
   
   d. $\displaystyle \int \cot{x}  dx = ln |\sin {x}|+C$
   
   e. $\displaystyle \int (\csc{x})^2  dx = -\cot {x}+C$
   
   f. $\displaystyle \int (\cot{x})^2  dx = \tan {x}+C$
   
   g. $\displaystyle \int \tan{x}.\sec {x}  dx = \sec {x}+C$
   
   h. $\displaystyle \int \cot {x}.\csc{x}  dx = -\csc {x}+C$
   
   
   
2. Rumus pengembangan
   
   a. $\displaystyle \int \sin{(ax+b)}  dx = -\frac{1}{a} \cos {(ax+b)}+C$
   
   b. $\displaystyle \int \cos{(ax+b)}  dx = \frac{1}{a} \sin {(ax+b)}+C$
   
   c. $\displaystyle \int \tan{(ax+b)}  dx = -\frac{1}{a} |\cos {(ax+b)}|+C$
   
   d. $\displaystyle \int \cot{(ax+b)}  dx = \frac{1}{a} |\sin {(ax+b)}|+C$
   
   
e. $\displaystyle  \int (\csc{x})^2  dx =- \frac{1}{a} |\cot {(ax+b)}|+C$

f. $\displaystyle  \int (\sec{x})^2  dx = \frac{1}{a} |\tan {(ax+b)}|+C$

=== Semoga Membantu ===

Download ebook super matematika gratis

Hallo guys... Salam jumpa bersama saya, Altissima Study Center. Kali ini saya mau berbagi share nich beberapa ebook menarik yang dapat kalian baca untuk menambah wawasan pengetahuan kalian. Kalau kalian berminat, kalian bisa menghubungi kami di layanan kontak altissimastudycenter@gmail.com atau kirim komen kalian pada tautan ini ya...  Berikut daftar buku yang bisa kalian dapatkan dari kami:

Calculus II For Dummies

Competitive Math for miidle School

Pathfinder for Olympiad Mathematics 

  

                                                   

                                                   

The Math Book

Problem-Solving Strategies

 Understanding Mathematics

   
                                         

Selamat membaca....
"Raih Mimpimu, Gapai Prestasimu"
bersama Altissima Study Center