Garis singgung lingkaran

Pengertian Garis Singgung Lingkaran dan Kharakteristiknya

Kalian tentu pernah melihat katrol bukan? Ya... sebuah katrol memiliki tali dan sebuah tuas berbentuk roda. Tali tersebut berada pada bagian tepi roda katrol. Kalau kita bayangkan tali itu sebagai garis dan roda katrol sebagai lingkaran, maka seakan-akan terdapat dua buah garis yang menyinggung lingkaran. Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai garis singgung lingkaran. Pokok pembahasan yang akan kita capai adalah mengenal definisi garis singgung serta menentukan panjang garis singgung yang terdapat pada lingkaran.

katrol

A. Pengertian Garis Singgung lingkaran 

    Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran. Hubungan ini  terletak pada kedudukan garis tersebut terhadap lingkaran. Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran seperti misalnya garis berada di luar lingkaran, garis memotong lingkaran dan garis menynggung lingkaran di suatu titik. Sebuah garis yang berada di luar lingkaran tidak memiliki titik yang bersentuhan pada lingkaran. Garis yang memotong lingkaran akan menghasilkan dua buah titik potong pada lingkaran tersebut. Sementara garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran di satu titik tertentu. Garis yang menyinggung lingkaran ini selanjutnya akan disebut garis singgung lingkaran.

hubungan garis dengan lingkaran

B. Kharakteristik garis singgung lingkaran

        Apabila kita amati lebih jauh, maka terdapat beberapa ciri khas yang unik pada garis singging ligkaran. Beberapa ciri khas tersebut di antaranya dijelaskan sebagai berikut:

1. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung  lingkaran tersebut
          Jika kita membuat sejumlah garis yang menyinggung lingkaran, maka kita akan mendapatkan bahwa setiap garis tersebut akan memiliki titik singgung lingkaran yang berbeda satu dengan yang lainnya. Hal ini menunjukan bahwa melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat 1 garis yang menyinggung lingkaran tersebut.
   
   

   

   4 buah garis menyinggung lingkaran di 4 titik yang berbeda
   

   
        Kita mungkin bertanya benarkah pernyataan tersebut? Tentu saja pertanyaan ini dapat kita jawab jika kita membuat analisis sebagai berikut 
   
   
   

   
   
          Pada gambar nampak dua buah garis m dan n menyinggung lingkaran di titik P dan Q dan berpotongan di luar lingkaran. Jika kita geser titik perpotongan  tersebut sampai di titik A, maka garis n akan berubah posisi menjadi garis n' dengan titik singgung di S dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m' dengan titik singgung berada di R. Kemudian jika kita geser kembali titik potongnya mendekati lingkaran di titik B, maka maka garis m akan berubah posisi menjadi garis n'' dengan titik singgung di U dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m'' dengan titik singgung berada di T. Begitu seterusnya sampai kita geser titik potong tersebut berada pada titik C, yakni titik berada pada lingkaran. Nampak bahwa  garis m dan garis n akan berhimpit/menyatu dengan garis g. Hal ini menunjukan bahwa setiap garis singgung lingkaran hanya memiliki satu titik singgung pada lingkaran tersebut.
   
   
   
2. Setiap garis singgung yang terbentuk pada lingkaran akan berada pada posisi tegak lurus terhadap jari-jarinya di titik tersebut.
           Pernyataan ini dibuktikan oleh Euclid dengan cara yang begitu sederhana di dalam bukunya yang berjudul Element jilid III. mari kita perhatikan gambar berikut ini:
   
   

   

   
   Andaikan terdapat sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan titik pusatnya berada di O. Andaikan pula terdapat sebuah garis yang menyinggung lingkaran tersebut di titik A seperti pada gambar di atas. Karena A berada pada lingkaran maka panjang $\overline {OA}= r$ Jika garis $\overline {OA}$ tidak tegak lurus terhadap garis singgungnya, maka tentunya ada titik P sedemikian sehingga garis $\overline {OP}$ tegak lurus dengan garis singgungnya. Akibatnya garis $|\overline {OP}| <|\overline {OA}= r$ sehingga menjadikannya titik P adalah titik terdekat terhadap titik pusat O. Akan tetapi hal ini mustahil sebab titik P berada di luar lingkaran tersebut. Dengan demikian garis $\overline {OA}$ pastilah tegak lurus dengan garis singgungnya dan $|\overline {OA}| = r$ . Hal ini sudah cukup untuk menunjukan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran.
   
   

   

   Setiap garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran
   
   

   Nah... jika kita sudah tahu bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran, maka dengan mudah kita dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran. Jika sebuah garis menyinggung lingkaran yang berpusat di O pada titik A dan melalui titik P yang berada di luar lingkaran, maka dengan menggunakan phytagoras didapat:
   
   

   $AP =\sqrt{OP^2-OA^2}$

   
   

   

   
   
   
3. Jika terdapat dua garis yang masing-masing menyinggung lingkaran di titik A dan B dan kedua garis tersebut berpotongan di titik C, maka panjang AC = BC. 
   
   Perhatikan gambar berikut:
   
   
   
   
   Pada gambar nampak dua buah garis singgung lingkaran saling berpotongan di titik C, Seperti kita ketahui, OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian panjang OA = panjang OB = r. Garis $\overline {AC}$ dan $\overline {OA}$ saling tegak lurus. Demikian juga garis $\overline {BC}$ dan $\overline {OB}$ saling tegak lurus, Dengan demikian berlaku hukum phytagoras yakni:
   
   $OC^2 = OA^2+AC^2$   dan $OC^2=OB^2+BC^2$
   
   dari kedua persamaan tersebut didapat
   
                      $ OA^2+AC^2=OB^2+BC^2$
                       $OA^2+AC^2=OA^2+BC^2$
                                   $AC^2=BC^2$
                                       $AC=BC$
   
   Dengan demikian dapat disimpulkan dua buah garis yang menyinggung lingkaran di titik A dan B dan  saling berpotongan di luar lingkaran pada titik C  memiliki panjang AC = panjang BC.
   
   

==== Selamat Belajar ====