Pembahasan Soal Bangun ruang

 Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

1. Banyaknya titik sudut pada prisma segitiga adalah ....
             a.   6 buah                     
             b. 10 buah
             c.   8 buah
             d. 12 buah
   
   Jawab:
   
   Perhatikan gambar di bawah ini :
   
   
   
   
   Dengan demikian nampak bahwa jumlah sudut prisma segitiga adalah 6 buah.
   
   
2. Banyaknya rusuk alas pada limas segi empat adalah ....
             a. 3 buah
             b. 7 buah
             c. 4 buah
             d. 8 buah
   
   
3. Perhatikan gambar prisma segi lima beraturan berikut ini.
   
   
   
   
   
   Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
             a. rusuk-rusuk tegaknya adalah KP, LQ, MR, NS, dan OT
             b. bidang KLMNO kongruen dengan bidang PQRST
             c. bidang KMRP dan KNSP merupakan bidang diagonal
             d. diagonal bidang alasnya ada 4 buah
   
   Jawab :
   Jawaban yang salah adalah (d) sebab jumlah diagonal alasnya adalah 5  buah. yakni: OL, OM, KM, KN, dan LN.
   
   
   
   
   
    
4. Gambar di bawah ini merupakan jaring - jaring ....
   
   
   
   
             a. limas segi lima beraturan
             b. limas segi enam beraturan
             c. prisma segi lima beraturan
             d. prisma segi enam beraturan
   
   Jawab
   Jika melihat segilima sebagai alasnya dan kelima segitiga sebagai sisi tegaknya, maka bangun ruang yang terbentuk adalah limas segilima beraturan.
   
   
   
   
   
   
   
5. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, volume prisma adalah ....
              a.   90 cm$^3$
              b. 250 cm$^3$
              c. 200 cm$^3$
              d. 300 cm$^3$ 
   
   Jawab
   
   jika melihat ukuran panjang sisi segitiga alasnya, maka segitiga tersebut memenuhi syarat phytagoras dengan kedua sisi siku-sikunya memiliki panjang 3 cm dan 4 cm. Dengan demikian volume prisma segitiga adalah
   
   

   Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = $\displaystyle \left (\frac {1}{2} \times 3 \times 4 \right ) \times 15 = 90$ cm$^3$ 
   
   
6. Diketahui luas permukaan prisma tegak segi empat beraturan 864 cm$^2$ dan tinggi prisma 6 cm. Panjang sisi alas prisma adalah ....
              a. 8 cm
              b. 12 cm
              c. 10 cm
              d. 14 cm
   
   Jawab
                Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma = $\displaystyle s \times s \times 12 $
   
                 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle s^2= \frac {864}{6} = 144$
   
                 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle s= \sqrt {144}=12$ cm
   
   
   
7. Diketahui suatu limas dengan alas berbentuk persegi. Luas alas limas 144 cm2 dan tinggi limas 8 cm. Luas permukaan limas adalah ....
               a. 204 cm$^2$
               b. 484 cm$^2$ 
               c. 384 cm$^2$ 
               d. 1.152 cm$^2$
   
   jawab
   
   
   
   
   
   Sisi alas limas  = $ \sqrt ($luas alas) $ =\sqrt {144}=12$ cm
   
   tinggi sisi tegak limas = $\sqrt {6^2 + 8^2}=10$ cm
   
   Dengan demikian luas permukaan limas tersebut =
   
   Luas limas segiempat beraturan = 4 $\times$ luas segitiga + luas alas
   
                                                       = $\displaystyle 4 \times \frac {1}{2} \times 12 \times 10 $ + 144
   
                                                       =              240           + 144 
   
                                                       = 384 cm$^2$
          
8. Diketahui volume suatu prisma 450 cm$^3$. Alas prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 5 cm, 13 cm, dan 12 cm. Tinggi prisma adalah ....
               a. 12 cm
               b. 14 cm
               c. 13 cm
               d. 15 cm
   
   Jawab
   Karena sisi terpanjang segitiga berukuran 13 cm maka sisi tegaknya berukuran 5 cm dan 12 cm
   
   Volume Prisma  = luas alas $\times$ tinggi prisma
            450           $\displaystyle \frac {1}{2}\times 5 \times 12 \times$ tinggi prisma
   
            450           $ = 30 \times$ tinggi prisma
   
   $\Leftrightarrow$   tinggi prisma $\displaystyle =\frac {450}{30}=15$ cm
    
9. Jika suatu limas luas alasnya 240 cm$^2$ dan tinggi 30 cm maka volume limas adalah ....
               a. 2.400 cm$^3$
               b. 4840 cm$^3$ 
               c. 4.400 cm$^3$ 
               d. 7.200 cm$^3$ 
   
   Jawab
   
   Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
   Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times 240 \times 30 = 2400$ cm$^3$ 
   
   
   
10. Suatu limas memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran 25 cm dan 15 cm. Jika tinggi limas 7 cm, volume limas adalah ....
                a. 262,5 cm$^3$ 
                b. 870 cm$^3$ 
                c. 484 cm$^3$ 
                d. 875 cm$^3$
    
    Jawab
    
    Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
    
    Volume limas $=\displaystyle \frac {1}{3} \times 25\times 15 \times 7=875$ cm$^3$
    
     
    
11. Diketahui prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan AB = 15 dm, BC = 12 dm, dan AC = 9 dm.
    
    

    

    
    Jika tinggi prisma itu 2 dm, volumenya adalah ....
                a. 108 liter
                b. 540 liter
                c. 216 liter
                d. 1.080 liter 
    
    Jawab
    alas prisma berbentuk segitiga siku-siku karena memenuhi syarat phytagoras. Dengan demikian sisi yang saling tegak lurus adalah yang berukuran 9 cm dan 12 cm.
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume limas $\displaystyle \frac {1}{2}\times 9 \times 12 \times 2 = 108$ dm$^3 = 108$ liter
    
    
    
12. Pada prisma tegak segi empat ABCD.EFGH, sisi alas ABCD berupa trapesium sama kaki dengan AB//CD, AB = 10 cm, CD = 4 cm, dan AD = 5 cm. Jika luas semua sisi tegaknya 216 cm$^2$ maka volume prisma itu adalah ....
                a. 252 cm$^3$
                b. 560 cm$^3$
                c. 320 cm$^3$
                d. 600 cm$^3$
    
    Jawab
    
    

    
    
    Pada gambar nampak bidang ADHE sebangun dengan bidang BCGF. Dengan demikian
    Luas selimut = 2 $\times$ luas ADHE + luas CDHG + luas ABFE
           216         $=2 \times 5 \times$ tinggi prisma + $4 \times$ tinggi prisma + $10 \times $ tinggi prisma
           216         $= (10 + 4 + 10) \times$ tinggi prisma    
           216         $= 24 \times$ tinggi prisma 
    
    Tinggi prisma $\displaystyle =\frac{216}{24}=9$ cm
    
    Sekarang perhatikan $\bigtriangleup BCE$ pada trapesium ABCD seperti gambar berikut
    
    
    

    
    
    Dengan demikian tinggi trapesium dapat kita cari dengan menggunakan phytagoras yakni
    
    $BE =\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
    Volume prisma $\displaystyle =\left ( \frac{DC+AB}{2}\times BE \right ) \times 9 $ 
    
    Volume prisma $\displaystyle =\left ( \frac{10+4}{2}\times 4\right ) \times 9 = 252$ cm$^3$ 
      
    
    
13. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD, dengan AB = 8 cm dan luas bidang TAB = 24 cm$^2$. Volume limas itu adalah ...
                 a. 94,3 cm$^3$
                 b. 95,4 cm$^3$
                 c. 94,5 cm$^3$
                 d. 96 cm$^3$ 
    
    Jawab
    Perhatikan $\bigtriangleup TAB$ bangun ruang TABCD berikut ini
    
    
    
    
    
    Luas $\bigtriangleup {TAB}\displaystyle =\frac {1}{2}\times AB \times tinggi_{\bigtriangleup {TAB}}$
    
          24       $\displaystyle = \frac {1}{2} \times 8 \times tinggi_{\bigtriangleup TAB}$
    
          24       $\displaystyle = 4 \times tinggi_{\bigtriangleup TAB}$
    
    
    Tinggi$_{\bigtriangleup TAB}\displaystyle = \frac {24}{4} = 6$ cm
    
    
    Sekarang perhatikan $\bigtriangleup TEO$ pada bangun ruang TABCD seperti gambar berikut
    
    
    
    
    Karena EO $\displaystyle =\frac {BC}{2}=\frac {8}{2}=4$ cm dan TE = 6 cm, maka dengan menggunakan phytagoras diperoleh :
     
                Tinggi limas $=\sqrt {TE^2-EO^2}=\sqrt {6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt 5$
    
    Dengan demikian kita dapat mencari volume limas, yakni :
    
               Volume limas $\displaystyle = \frac {1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi prisma
    
               Volume limas $\displaystyle = \frac {1}{3} \times 8 \times 8 \times 2 \sqrt 5= \frac {128}{3}\sqrt 5 \approx 95,40$ cm$^3$
    
    
    
14. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat, dengan salah satu panjang diagonalnya adalah 10 cm dan panjang semua sisi tegaknya adalah 12 cm. Jika volume prisma itu 600 cm3, luas sisi prisma itu adalah ....
                  a. $64 + 5\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  b. $72 + 15\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  c. $96 + 32\sqrt  2$  cm$^2$ 
                  d. $100 + 240\sqrt  2$  cm$^2$
    
    Jawab
    
    
    
    
    Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma
    
             600          = luas alas $times 12$
    
    Luas alas $\displaystyle = \frac {600}{12}=50$ cm$^2$
    
    
    
    
    
    Panjang diagonal alas yang lain $\displaystyle = \frac {2 \times Luas} {diagonal}=\frac{2\times 50}{10}=10$ cm
    
    Panjang sisi belah ketupat $=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt 2$
    
    
    
    
    
    luas permukaan $=2 \times$ luas alas $+ 4 \times$ luas persegi panjang
    
    luas permukaan $=2 \times 50 + 4 \times 5 \sqrt 2 \times 12 = 100 + 240 \sqrt 2$ 
    
    
    
15. Sebuah prisma tegak segitiga luas bidang alasnya 24 cm$^2$ dan luas bidang sisi-sisinya adalah 150 cm$^2$, 120 cm$^2$, dan 90 cm$^2$. Volume prisma itu adalah ....
                  a. 90 cm$^3$
                  b. 220 cm$^3$ 
                  c. 120 cm$^3$ 
                  d. 360 cm$^3$
    
    Jawab
    
    panjang sisi segitiga alasnya masing-masing adalah 6 cm, 8 cm , dan 10 cm
    (anda dipersilahkan untukk membuktikannya ya ...)
    
    
    Dengan demikian tinggi prisma bisa dicari melalui salah satu sisinya. Ambil bidang yang memiliki sisi terpanjang dari segitiga alasnya dan memiliki daerah yang paling luas. Maka lebar bidang tersebut adalah 10 dan luasnya = 150 cm$^2$. Maka tinggi prisma yakni
    
    Tinggi prisma $\displaystyle = \frac {luas}{l}=\frac {150}{10}=15$ cm
    
    maka Volume prisma = luas alas $\times$ tinggi prisma $=24 \times 15= 360$ cm$^3$
      

B. Jawablah pertanyaan berikut ini!

1. Gambarlah prisma segi enam beraturan ABCDEF.GHIJKL. Tentukan
                a. rusuk-rusuk tegaknya;
                b. semua diagonal bidang alas;
                c. semua diagonal ruangnya. 
   
   jawab
   
   
   
   
         a. Rusuk tegak : AG, BH, CI, DJ, EK, dan FL
         b. Diagonal bidang alas = AD, AE, AC, BE, BD, BF, CF, CE, dan DF
   
   

   

   diagonal alas

   
   
   
          c. Diagonal ruang
   
   

   

   diagonal ruang

   
   
   
   
2. Limas segi empat beraturan mempunyai luas alas 256 cm$^2$. Jika tinggi limas 6 cm, tentukan luas permukaan limas tersebut.
   
   Jawab
   
   
   
   
   
          Sisi persegi alas $=\sqrt {256} = 16 $ cm
          Tinggi segitiga TAB $=\sqrt {6^2 +8^2}=10 $ cm
   
   Jadi Luas limas $\displaystyle = 4 \times TAB + ABCD = 4 \times \frac {1}{2}\times 16 \times 10 + 256 =320 + 256 = 576$ cm$^2$
     
3. Diketahui alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 8 cm dan 6 cm. Jika tinggi prisma 18 cm, tentukan luas permukaan prisma.
   
   Jawab
   
   Luas $\bigtriangleup ABC = \frac{1}{2}\times 8 \times 6 = 24$ cm$^2$
   
   
   
   
   
   Maka luas permukaan prisma tersebut 
   
   Luas $= 2 \times$ luas  $\bigtriangleup ABC$ + Luas ACFD + Luas BCFE + Luas ABED  
   
   Luas $= 2 \times 24 + 6 \times 18 + 8 \times 18 + 10 \times 18 =48+108+144 + 180 = 480$ cm$^2$  
   
   
4. Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 40 m dan lebar 15 m. Kedalaman air pada ujung yang paling dangkal 1,3 m dan ujung yang paling dalam 2,7 m. Berapa liter volume air dalam kolam renang tersebut?
   
   Jawab
   
   

   

   
   
   Volume Kolam seluruhnya  = luas trapesium $\times$ tinggi prisma
   
                                                $\displaystyle = \frac{2,7+1,3}{2} \times 40 \times 15=1200$ m$^3=1.200.000$ liter  
   
   
5. Suatu limas segi lima beraturan T.ABCDE tampak seperti gambar di bawah ini.
   
   
   
   
   
   Panjang AB = 16 cm, OA = 10 cm, dan tinggi limas 20 cm. Hitunglah
           a. luas alas limas;
           b. volume limas.
   
   jawab:
   
   
   
   
   
   Tinggi $\bigtriangleup OAB = \sqrt{10^2-8^2}= \sqrt{36}=6$
   
   a. luas alas limas $= 5\times \frac {1}{2}\times 16 \times 6= 240$ cm$^2$
   
   b. Volume limas $\displaystyle = \frac{1}{3} \times$ luas alas $\times$ tinggi limas
   
                              $ \displaystyle = \frac {1}{3}\times 240 \times 20 =1600 $ cm$^3$

Ulangan Harian Matematika Kelas 8 SMP: Garis Singgung Lingkaran

Soal Ulangan Harian 
Garis Singgung Lingkaran

Jawaban dikumpulkan paling lambat 4 Februari 2022

Kerjakan latihan soal berikut ini

A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. Panjang garis singgung lingkaran berjari-jari 6 cm dari titik di luar lingkaran yang berjarak 10 cm dari pusat lingkaran adalah ....
              a. 6,5 cm              b . 7,5 cm            c. 7 cm            d. 8 cm
   
   
2. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di O dibuat garis singgung PA. Jika panjang jari-jari 20 cm dan jarak AP = 21 cm maka panjang OP adalah ....
              a. 23 cm               b. 28 cm              c. 25 cm          d. 29 cm
   
   
3. Dua lingkaran dengan pusat P dan Q, berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarak PQ = 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah ....
              a. 12 cm               b. 16 cm              c. 15 cm          d. 24 cm
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini
   

   
   

   

   
   Pada gambar di atas AB dan AC adalah garis singgung lingkaran titik A di luar lingkaran. Jika panjang OC = x cm, AC = y cm, dan OA = z cm panjang BC = ....
   
               a. $\displaystyle \frac{xy}{2}$ cm           b. $\displaystyle \frac{xy}{z}$ cm           c. $\displaystyle \frac{2xy}{z}$ cm           d. $\displaystyle \frac {2z}{xy}$ cm
   
   
   Gambar di bawah ini untuk soal no 5 - 7
    

   

   
   
   
5. Diketahui PA dan PB adalah garis singgung lingkaran. Jika panjang OA = 6 cm, OP = 10 cm maka panjang PA = ....
            a. 11 cm               b. 12 cm                c. 8 cm                d. 9 cm
   
   
6. Luas layang-layang OAPB adalah ....
            a. 46 cm$^2$            b. 48 cm$^2$               c. 45 cm$^2$           d. 50 cm$^2$
   
   
7. Panjang tali busur AB adalah ....
            a. 6,9 cm              b. 6,1 cm               c. 9,5 cm             d. 9,6 cm
   
   
8. Perhatikan gambar di atas.
   
   

   

   
   Panjang tali yang digunakan untuk mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah ....
                a. 28 cm               b. 62 cm                c. 44 cm                d. 72 cm
   
   
9. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah ....
                a. 3 cm                 b. 5 cm                  c. 4 cm                  d. 6 cm 
   
   
10. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 35 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah 21 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ....
                 a. 15,5 cm            b. 17,5 cm             c. 16,5 cm             d. 18 cm
    
    
    

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm maka tentukan
        a. jarak kedua pusat lingkaran;
        b. panjang garis singgung persekutuan dalamnya.
   
   
2. Perhatikan gambar berikut:
   
   
   
   
   
   Kedua lingkaran bersinggungan di luar dengan pusat di titik B dan D. Jika AB = 5 cm dan DE = 3 cm, hitunglah panjang
         a. AE;
         b. EF.
         c. CF
   
   
3. Diketahui lingkaran L1 berpusat di O(0, 0), dengan jari-jari r1 = 3 satuan dan L2 pusat di P(6, 6), berjari-jari r2 = 2 satuan.
         a. Gambarlah garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2. 
         b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
   
   
4. Diketahui empat tong minyak berbentuk tabung diikat menjadi satu untuk diisi kembali. Susunlah empat tong tersebut agar panjang tali yang digunakan untuk mengikatnya minimal, kemudian hitung pula panjangnya, jika diameter tong 14 cm
   
   
5. Perhatikan gambar berikut ini:
   
   
   
   
   Panjang AB = 28 cm dan AC = 21 cm. Hitunglah
         a. panjang jari-jari OD;
         b. panjang BD;
         c. panjang OB; d. luas  COE.
   
   

==== Selamat Mengerjakan ====

Contoh soal Hots tentang Persamaan garis singgung persekutuan lingkaran

1. Lingkaran I dan lingkaran II masing-masing titik pusatnya terletak di titik O dan titik P. Kedua lingkaran tersebut berada dalam kedudukan terpisah satu dengan yang lainnya.  Garis k dan garis l adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. Garis k menyinggung lingkaran I di titik A dan menyinggung lingkaran II di titik B. Garis l menyinggung lingkaran I di titik D dan menyinggung lingkaran II di titik C. Selain itu garis m dan garis n adalah garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut. Garis m memotong garis k dan garis l masing-masing di titik V dan di titik W. Garis n memotong garis k dan l di titik X dan di titik Y.
   
   Tunjukan bahwa AB = CD = VW = XY
   
   
   

   
   
   
   
   jawab:         
   
   perhatikan gambar berikut ini:|
   
   
   
   
   Jika kita membuat perpanjangan garis k dan garis l sedemikian sehingga berpotongan pada titik H, maka akan kita dapatkan
                                                         AB = AH - BH
                                                         CD = DH - CH
   
   Tetapi berdasarkan sifat garis singgung lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran didapat
                                                         AH = DH
                                                         BH = CH
   Akibatnya
                                                      AB = AH - BH
                                                      AB = DH - CH = CD ..... persamaan 1
   
   Kemudian, misalkan titik Q, R, S, dan T masing-masing merupakan titik singgung garis persekutuan dalam lingkaran dan U adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam tersebut seperti pada gambar berikut ini:
   
   
   

   
   

   
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = CY + YD
                QY = YS +  QS
   
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                CY  = YS
                YD = QY
   
   Oleh karena itu 
                 CD = CY + YD = YS + QY = YS + (YS + SQ) = 2 YS + QS ...... persamaan 2
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AX + XB
                 XS = XQ + QS
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 XS = XB
                 AX = XQ
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AX + XB = XQ + XS = XQ + (XQ + QS) = 2 XQ + QS ,,,,,,,, persamaan 3
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh
               AB = CD
   2 YS + QS = 2 XQ + QS
          YS      =        XQ   ........ persamaan 4
   
   dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 4 
   
                       AB = CD = YD + CY = QY + YS = YQ + XQ = XY
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = XY.
   
   Sekarang, dengan analogi yang sama kita juga dapat menunjukan bahwa AB = CD = VW, yakni 
   
   Nampak pada gambar  bahwa 
                CD = WD + CW
                RW = WT +  TR
   Tetapi berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                WD  = WT
                RW  = CW
   
   Oleh karena itu 
                 CD = WD + CW = WT + RW = WT + (WT + TR) = 2 WT + TR ...... persamaan 5
   
   Selain itu pada gambar nampak:
                 AB = AV + VB
                 VT = VR + TR
   
   berdasarkan sifat dua garis singgung yang berpotongan di luar lingkaran kita tahu bahwa :
                 VT = AV
                 VB = VR
   
   Oleh karena itu didapat :
                AB = AV + VB = VT + VR = (VR +TR)+ VR = 2 VR + TR ,,,,,,,, persamaan 6
   
   Karena AB = CD maka dari persamaan 5 dan persamaan 6 diperoleh
               AB = CD
   2 VR + TR = 2 WT + TR
          VR      =        WT   ........ persamaan 7
   
   dari persamaan 1, persamaan 5 dan persamaan 7 
   
                       AB = CD = WD + CY = WT + RW = VR + RW = VW
   
   Dengan demikian telah ditunjukan bahwa AB = CD = VW
   
   Karena AB = CD = XY dan AB = CD = VW maka berlaku AB = CD = VW = XY
   

==== Good Luck ====

Latihan Persiapan OSN Matematika SMP 2022

1. Sebuah papan berbentuk $\displaystyle \frac {1}{4}$ lingkaran memiliki jari-jari sebesar 1 m. Di dalamnya terdapat bujur sangkar dimana keempat sisinya bersinggungan dengan tepi papan tersebut di setiap sudutnya seperti nampak pada gambar di bawah ini. Berapakah luas bujur sangkar tersebut?
   
   
   

   
   
   
   
   
2. Empat buah segitiga siku-siku berukuran alas dan tingginya masing-masing 30 cm dan 40 cm, Keempat segitiga tersebut disusun sedemikian rupa di atas sebuah persegi dengan panjang sisinya 50 cm seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas persegi kecil (warna biru) yang terbentuk dari susunan tersebut! 
   
   
   
   
   
   
   
   
3. Sebuah lingkaran dengan panjang diameter 2 cm dibagi menjadi 2 bagian sama besar. Kemudian kedua bagian tersebut diletakan sedemikian rupa seperti pada gambar berikut ini:
   
   
   
   
   
   Tentukan nilai x dan y dimana $x < y$  dan $x \epsilon 1, 2, 3,...$ sedemikian sehingga memenuhi persamaan $AD=\sqrt x+\sqrt y$!
   
   
   

Pembahasan

1. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   

   
   
   

   Garis OR adalah garis yang melalui titik pusat lingkaran dan membagi dua bujur sangkar tersebut. Misalkan panjang PQ adalah x sehingga panjang sisi bujur sangkar tersebut adalah 2x. Karena OP merupakan jari-jari lingkaran maka panjang OP = 1 cm. $\bigtriangleup OTU$  merupakan segitiga sama kaki dan $\bigtriangleup OTU$ sebangun dengan $\bigtriangleup OTS$ dan $\bigtriangleup OSU$. Karena $\displaystyle SU =\frac{1}{2}TU$ dan $\bigtriangleup OSU$ adalah segitiga sama kaki, maka $OS = SU = x$. Dengan demikian $OQ=3x$. Dengan menggunakan aturan Phytagoras diperoleh
   
                                 $ OP^2=OQ^2+PQ^2$
   
                            $\Leftrightarrow$     $ 1^2 =3x^2+x^2$
   
                            $\Leftrightarrow$     $ 1^2 =10x^2$      $\Leftrightarrow$     $\displaystyle x^2=\frac {1}{10}$  ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, persamaan 1
   
   Karena luas bujur sangkar = $sisi \times sisi = 2x \times 2x =4x^2$, maka berdasarkan persamaan 1, maka luas bujur sangkar = $\displaystyle 4x^2 = 4\times \frac {1}{10}= 0,4 $ cm$^2$
    
2. Untuk memahami soal ini, kalian perlu ingat kembali konsep tentang kesebangunan.
   Andaikan  $\bigtriangleup ABC \approx \bigtriangleup DEF$ dengan perbandingan $\bigtriangleup ABC : \bigtriangleup DEF = x$. Jika t adalah tinggi  $ \bigtriangleup DEF$ maka tinggi   $\bigtriangleup ABC = t.x$.  Demikian juga bila a adalah alafras $ \bigtriangleup DEF$ maka alas   $\bigtriangleup ABC = a.x$.  
   
   
   
   
   
   Jadi jika $L_1$ dan $L_2$ masing-masing adalah luas  $\bigtriangleup ABC$  dan luas $ \bigtriangleup DEF$, maka kita dapatkan
   
              $\displaystyle \frac{L_1}{L_2}=\frac{\frac{1}{2}\times ax\times tx}{\frac{1}{2}\times a \times t}=x^2$       $\Leftrightarrow$       $L_1=x^2.L_2$   .......................... persamaan 2
   
   Sekarang perhatikan gambar berikut ini,
   
   
                                   
                           gambar a                                                           gambar b

   
   
   
   Pada gambar a, nampak bahwa  $\bigtriangleup ABC$ adalah siku-siku di B dan AB = 40 , BC = 30, maka sesuai dengan hukumPhytagoras berlaku AC = 50 cm dan Luasnya = $\displaystyle \frac{1}{2}AB\times BC= \frac{1}{2}40\times 30=600$ cm$^2$. Kemudian, ketika segitiga lain yang kongruen dipasangkan seperti gambar pada gambar b, maka kita memperoleh fakta bahwa  $A_2B_2=40, BB_2=50, BC=30$   berakibat 
   
                       $CB_2=BB_2-BC=50-30=20$  dan $A_2C=A_2B_2-CB_2=40-20=20$.
   
   Pada gambar b juga diperlihatkan bahwa $\bigtriangleup ABC$ sebagun dengan $\bigtriangleup A_2DC$ sehingga konsep kesebangunan berlaku
   
                        $\displaystyle x=\frac{AC}{A_2}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}$
   
   Dengan demikan dari persamaan 2 kita dapatkan
   
                        $\displaystyle L_1 = \left ( \frac {5}{2} \right )^2 L_2$
   
            $\Leftrightarrow $       $\displaystyle 600 = \frac {25}{4}  L_2$ 
   
   
            $\Leftrightarrow $       $\displaystyle L_2=600 \times  \frac {4}{25} = 96 $ cm$^2$ 
   
   
   
   
   Sehingga dari gambar c kita dapatkan luas kotak persegi biru, yakni
   
   Luas persegi biru = Luas persegi besar $- 4 L_1+4L_2=50\times 50 - 4 \times 600 + 4 \times 96 = 484 $ cm$^2$
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
   Karena diameter lingkaran = 2 cm, maka jari-jari lingkaran tersebut = 1cm. Sehingga OE = EP = OF = OB = 1 cm..
   
   $\bigtriangleup OPF $ merupakan segitiga siku-siku, sehingga dengan hukum phytagoras diperoleh
   
                  $FP=\sqrt{OP^2-OF^2}= \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt 3 $
   
   Kemudian perhatikan gambar berikut:
   
   
   

   
   
   
   Karena bidang AORF adalah persegi, maka AO = PD = AR = RF = 1 cm. $\bigtriangleup ARP$ juga merupakan segitiga siku-siku dimana $RD=RF+FP+PD=1+\sqrt 3+1=2+\sqrt 3$. Dengan menggunakan phytagoras diperoleh
            $AD = \sqrt{AR^2+RD^2}=\sqrt{1^2+(2+sqrt 3)^2}=\sqrt{1+7+4\sqrt 3}=\sqrt{8+4\sqrt 3}$
   
                   $=\sqrt {8+2.2 \sqrt 3}=\sqrt{8+2.\sqrt 4 . \sqrt 3} = \sqrt{8+\sqrt{12}}$
   
   
   Karena $AD=\sqrt x+\sqrt y = \sqrt{8+2.\sqrt{12}}$, maka
   
                   $AD^2=(\sqrt x+\sqrt y)^2 = (\sqrt{(8+2.\sqrt{12}})^2$
   $\Leftrightarrow$                $\ x+y+2 \sqrt {xy} = \sqrt{8+2.\sqrt{12}}$
   
   $\Leftrightarrow$                $\ x+y=8$  dan  $x\times y = 12$   ...................persamaan 3
   
   Dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut diperoleh:
   
   $x \times y =12 $   $\Rightarrow$   $x \times (8-x )=12$
   
                                  $\Leftrightarrow$   $x ^2-8x +12=0$
                                  $\Leftrightarrow$   $(x -6)\ (x -2)=0$
                                  $\Leftrightarrow$   $x=6$    atau   $x=2$
   
   Dengan mensubtitusikan kembali nilai x ke persamaan 3 maka akan diperoleh jika x = 6 maka y = 2   atau  jika x = 2 maka y = 6.
   
   Karena pada soal diketahui $x < y$  maka pilih  $x =2$  dan $y= 6$  sehingga didapat
   
                            $AD =\sqrt 2+ \sqrt 6$
   
   
   
   
   
   
   
   
   ==  Selamat Belajar - Semoga Sukses ==

Soal ulangan harian: perbandingan dan skala kelas 7

   A.  Pilihan Ganda

Berilah tanda silang(x) pada huruf   a, b, c, atau d di depan jawaban yang tepat!

1. Setiap   minggu  4.  ekor  sapi  dapat   menghabiskan  16 karung  rumput  teki Jika  ayah mempunyai   9 ekor  sapi,  maka  banyaknya rumput teki yang diperlukan   ayah adalah…karung

   a. 30 b.      33 c.       36 d.      39

   
   
2. Pada suatu  daerah  pada gambar  menggunakan  skala  1 :  11.000.000.   Jika jarak  antara dua kota pada peta adalah   6 cm,  maka jarak  sebenarnya   antara  dua  kota  adalah  ...Km
   a. 66                  b. 660 c.       6.600 d.  66.000
3.  Skala dari suatu gambar rencana pembangunan gedung  adalah 1: 200. Jika tinggi gedung pada gambar rencana adalah12,5 cm. Maka jarak sebenarnya adalah... m
             a.    16 b.    25 c.    30 d. 35 
   
   
4. Sebuah mobil rnenqhabiskan 8 liter bensin untuk menempuh jarak 56 km. Jika jarak yang ditempuh 84 km, maka bensin yang diperlukan adalah...
   a. 5,5 liter b. 7,0 liter c. 10,5 liter d. 12,0 liter
5. Sebuah panti asuhan memiliki persediaan beras yang cukup untuk 20 orang selama 15 hari. Jika penghuni panti asuhan bertambah 5 orang,  persediaan beras akan habis dalam waktu … a. 8 hari b.      10 Hari c.       12 Hari d.      20 Hari
   
   
6. Enam tahun yang lalu, jumlah umur Andi dan ibunya adalah 60 tahun dengan perbandingan   5:7.   Umur   Andi   sekarang adalah...   a.       25 tahun b.      31 tahun c.       32 tahun d.      35 tahun
7. Setiap minggu 5 ekor sapi dapat menghabiskan 15 karung rumput teki.  Jika ayah mempunyai 12 ekor sapi maka banyak rumput teki yang diperlukan ayah adalah....   a.    36 karung b.   25 karung c.       30 karung           d.      21 karung.
   
   
8. Tono memiliki 18 kelereng dan Budi memiliki 12 kelereng. perbandingan banyak kelereng Tono dan Budi adalah... a. 3 : 2 b.      2 : 3 c.       9 : 3 d.      3 : 9
9. Perbandingan kelereng Tono dan Budi adalah 3 : 2. Jika banyaknya kelereng Tono 24 kelereng maka banyak kelereng budi adalah.... a.       14 b.      15 c. 16 d.  18
10. Perbandingan kelereng Tono dan Budi adalah 3 : 2 . Jika jumlah kelereng mereka adalah 40 kelereng maka selisih kelereng mereka adalah... a.       7 kelereng b.  8 kelereng       c.       9 kelereng d.  10 kelereng
11. Suatu daerah jika digambar pada skala 1 : 12.000.000. Jika jarak pada peta adalah 7 cm maka jarak sebenarnya antara 2 kota tersebut adalah ...   a.       960 km  b.      800 km c.       840 km               d.      720 km
12. Skala dari suatu gambar rencana 1 : 400. Jika tinggi gedung pada gambar adalah 8 cm maka tinggi gedung sebenarnya....   a.       42 m               b.      32 m c.       36 m                  d.      30 m
13. Sebuah mobil menghabiskan 4 liter bensin untuk menempuh 28 km. Jika jarak yang ditempuh 42  km maka bensin yang diperlukan adalah....   a.        3 liter             b.      6 liter c.       5 liter                d.      8 liter
    
    
14. Sebuah panti asuhan memiliki persediaan beras yang cukup untuk 30 orang selama 20 hari.  Jika penghuni panti asuhan bertambah 10 orang maka persediaan akan habis dalam berapa hari.... a.       10 hari b.      13 hari c.       12 hari                d.      15 hari
    
15. 5 tahun yang lalu jumlah umur Iva dan Ayahnya  adalah 70.  Dengan perbandingan 2 : 5.  Umur iva sekarang adalah....   a.       20 tahun  b.      30 tahun c.       25 tahun         d.      35 tahun
16. Perbandingan uang Nadia: Alia: Sunan = 2: 3 : 5. Jika selisih uang Nadia dan Alia adalah 25.000. maka jumlah uang Nadia dan Alia adalah ....   a.       50.000 b.      125.000 c.       75.000                d.      150.000
    
    
17. Perbandingan Uang Maman , Nunung, dan Opik adalah 3 : 7 : 4. Jika jumlah uang ketiganya adalah Rp 280.000,00. Tentukan jumlah uang Maman dan Opik.   a.       150.000 b.      140.000 c.       130.000 d.      120.000
    
    
18. Gambar sebidang tanah berbentuk persegi panjang berskala 1 : 400. Jika panjang dan lebar gambar 3 cm dan 5 cm . maka luas sebenarnya adalah   a.       240 m$^2$          b.      300m$^2$ c.       260 m$^2$          d.      360 m$^2$
    
19. Seorang siswa membuat denah sebuah gedung berikut pekarangannnya pada kertas gambar berukuran 40 x 30 cm . Ukuran gedung tersebut sebenarnya adalah  200m x 150 m. Skala yang mungkin adalah... a.       1:200              b. 1:400 c. 1:300              d. 1: 500
20. Pak Ardi membuat denah gedung pada kertas berukuran 40 cm x 30 cm. Jika ukuran gedungnya 28 m x 21 m maka skala yang mungkin adalah...   a.   1: 50               b. 1: 70 c. 1: 60               d. 1:65
21. Sebuah mobil memerlukan 5 liter bensin untuk menempuh jarak 25 km. Jika ternyata mobil menghabiskan 7 liter bensin maka jarak yang ditempuh adalah.... a. 35 km             b. 45 km c. 40 km           d. 50 km
    
    
22. Pada sebuah acara diperlukan 200 loyang kue untuk menjamu 800 orang. Banyak kue yang dibutuhkan untuk menjamu 1200 orang adalah... a.       250                 b.      420 c.       300                 d.      460
    
    
23. Persediaan pakan ternak 100 ayam cukup untuk 36 hari. Jika ayam bertambah 20 ekor maka makanan akan cukup dalam berapa hari...   a.  26 hari                 b.  40 hari c. 30 hari            d. 50 hari
    
    
24. Bu Beni membeli 4 baju dengan harga Rp 220 000,00. Bila Bu Lia akan membeli 8 baju sama ditempat yang sama maka Bu lia harus membayar ....   a.  440.000          b. 110.000 c. 660.000          d. 220.000
    
    
25. Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan 6 hari oleh 5 orang pekerja. Pekerjaan itu ternyata dikerjakan 10 orang maka akan selesai .... hari   a.  3 hari   b. 2 hari c.  5 hari     d.  6 hari
    = Selamat Mengerjakan =

    NB: Untuk materinya, kalian bisa baca di tautan : "Perbandingan dan Skala"