Latihan soal 1Materi Pengantar Limit Fungsi
Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!
- Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
JawabPernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya
$\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$
Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
$\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.
Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$
Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$ - Apakah yang dimaksud dengan$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$
Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?
Jawab$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada. - Perhatikan gambar grafik berikut ini!
Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$
c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
d. $f(3)$
e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$
Jawab
a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$
c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$
d. $f(3)=2$
e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$ - Perhatikan gambar berikut ini!
Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
d. $f(2)$
e. $f(-2)$
Jawaba. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$
c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$
d. $f(2)=1$
e. $f(-2)=3$ - Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!
$f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$
JawabGrafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$ maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$ - Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai daria. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$
c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$
d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$
Jawab
a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$
d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$ - Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$
b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$
Jawab
Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$ ada jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$
a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$
$k =8-10 =-2$
b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$
$\Leftrightarrow$ 2k = -4 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$ - Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam tentukan$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!
- Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah$\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Dimana $m_o $ adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$
jawab
ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$
Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga. - Jelaskan apakah
a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?
Jawab.
a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi. Sementara ketika $x = 1$ nilai $2x - 1$ sama dengan 1
b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1.
jawab
$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$ dan $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$
Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.
======= 000 =======
