Pembahasan Soal Ulangan harian : Balok dan Kubus

Ulangan Harian Matematika

Kelas 8 SMP

Materi : Kubus dan Balok

============ 000 ===========

Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

A. Soal Pilihan Ganda

1. Perhatikan gambar berikut ini
   
   
   
   
   
   Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
        a. AB // DC // EF // HG
        b. AE // BF // CG // DH
        c. AD // EH // BC // FG
        d. AD // BC // BF // CG
   
   jawab:
   
   Jawaban d. karena garis AD tegak lurus dengan garis BF tetapi AD sejajar dengan BC dan bersilangan dengan CG
   
   
   
2. Perhatikan gambar berikut ini:
   
   
   
   
   
   Jika rangkaian persegi panjang di atas dilihat sepanjang garis putus-putus, akan terbentuk bangun ....
        a. kubus
        b. prisma
        c. limas
        d. balok
   
   Jawab 
   
   Gambar tersebut merupakan jaring-jaring balok
   
   
   
3. Sebuah balok mempunyai luas permukaan 376 cm${}^2$. Jika panjang balok 10 cm, lebar balok 6 cm, tinggi balok adalah ....
        a. 6 cm
        b. 8 cm
        c. 7 cm
        d. 9 cm
   
   jawab
   
   Luas permukaan balok $=2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                376                  $=2\times (10\times 6+10\times t+6\times t)$
   
                ${\displaystyle \frac{376}{2}}$                $=60+(10+6)\times t$
   
                 188                 = 60 + 16 t
   
   $\iff$     ${\displaystyle t=\frac{188-60}{16}=\frac{128}{16}=8}$ cm
   
                    
4. Sebuah kubus panjang rusuknya 6 cm. Luas permukaan kubus itu adalah ....
        a. 36 cm${}^2$
        b. 432 cm${}^2$ 
        c. 216 cm${}^2$ 
        d. 1.296 cm${}^2$ 
   
   jawab
   
   luas permukaan kubus $=6\times s^2=6\times 6^2=216$ cm${}^2$
   
   
   
5. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah ....
        a. Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan jika kedua garis itu tidak berpotongan dan
            terletak pada satu bidang.
        b. Sebuah balok memiliki enam diagonal ruang.
        c. Sebuah balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan
            sepasang-sepasang kongruen.
        d. Diagonal bidang balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling
            berhadapan dalam ruang pada kotak.
   
   jawab
   Pernyataan (a) salah karena dua buah garis yang bersilangan terletak pada bidang yang berbeda
   Pernyataan (b) salah karena balok memiliki 4 diagonal ruang
   Pernyataan  (d) salah karena diagonal bidang merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan pada permukaan bidang datar balok.
   
   
   
6. Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 3 dm. Jika selisih luas sisi kubus itu 234 dm2, selisih volume kedua kubus adalah ....
        a. 358 dm${}^3$
        b. 387 dm${}^3$ 
        c. 378 dm${}^3$ 
        d. 387,5 dm${}^3$ 
   
   Misalkan R dan r masing-masing merupakan rusuk kubus 1 dan kubus 2, .maka 
   
               R - r = 3 dm   dan     $6R^2-6r^2=234$ dm${}^2$
       
                                                 ${\displaystyle R^2-r^2=\frac{234}{6}=39}$
   
   dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas didapat
   
               $R^2-r^2=39$
               $(R-r)(R+r)=39$
               $3(R+r)=39$
               ${\displaystyle R+r=\frac{39}{3}=13}$
   
   Oleh karena itu didapat
   
               $R+r=13$ 
               $\underset{―}{R-r=3}$ -
                  $2r=10$    $\iff$     ${\displaystyle r=\frac{10}{2}}$
   
               $R+r=13$
               $\underset{―}{R-r=3}$ +
               $2R=16$    $\iff$     ${\displaystyle R=\frac{16}{2}}$
    
   Dengan demikian selisih Volume dapat dicari yakni
   
   Volume kubus 1 - Volume kubus 2 ${\displaystyle ={\left(\frac{16}{2}\right)}^3-{\left(\frac{10}{2}\right)}^3=\frac{4096-1000}{8}=\frac{3096}{8}=387}$ dm${}^3$
   
   
   
7. Rusuk-rusuk balok yang bertemu pada sebuah pojok balok berbanding 4 : 4 : 1. Jika volume balok 432 liter, luas permukaan balok adalah ....
        a. 423 dm${}^2$ 
        b. 452 dm${}^2$ 
        c. 432 dm${}^2$ 
        d. 464 dm${}^2$ 
   
   Jawab
   
   misalkan ukuran rusuk adalah p = 4x, l = 4x dan t = x. maka
   
        Volume balok $=p\times l\times t=4x\times 4x\times x$
   
                432        $=16\times x^3$
   
                 $\iff$     ${\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{432}{16}}=\sqrt[3]{27}=3}$
   
   Dengan demikian
          
        Luas permukaan balok $=2\times (4x\times 4x+4x\times x+4x\times x)$
   
        Luas permukaan balok $=2\times (4x\times (4x+x+x))$
   
        Luas permukaan balok $=2\times (4x\times 6x=48x^2=48\times 3^2=432$ dm${}^2$
      
   
   
8. Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ m dan selisih volumenya ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ m${}^3$. Jika kubus besar disusun menjadi kubus-kubus kecil yang kongruen dengan panjang rusuk 10 cm, banyaknya kubus-kubus kecil itu adalah ....
        a. 10 buah
        b. 500 buah
        c. 100 buah
        d. 1.000 buah
   
   jawab
   
   Misalkan R = rusuk kubus besar dan r = rusuk kubus kecil
   
   maka    ${\displaystyle R-r=\frac{1}{2}}$     $\iff$    ${\displaystyle r=R-\frac{1}{2}}$  
   
                                      $\iff$    ${\displaystyle r^3={(R-\frac{1}{2})}^3}$ ..... persamaan 1
   
                 ${\displaystyle R^3-r^3=\frac{7}{8}}$     $\iff$    $r^3=R^3-\frac{7}{8}$   ..... persamaan 2
   
   
   dari persamaan 1 dan 2 diperoleh
   
                ${(R-\frac{1}{2})}^3=R^3-\frac{7}{8}$
   
                $R^3+\frac{3r}{4}-\frac{3R^2}{2}-\frac{1}{8}=R^3-\frac{7}{8}$
   
                $\frac{3R}{4}-\frac{3R^2}{2}-\frac{1}{8}+\frac{7}{8}=0$     
   
                $\frac{3R}{4}-\frac{3R^2}{2}+\frac{6}{8}=0$     kalikan 4
   
                $-6R^2+3R+3=0$     $\iff$  $2R^2-r-1=0$
   
                                                         $\iff$  $(2R+1)(R-1)=0$
   
                                                         $\iff$  ${\displaystyle R=-\frac{1}{2}}$   atau   $R=1$
   
   Karena ukuran jarak bernilai positif, pilih R = 1 m = 100 cm dan ${\displaystyle r=R-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}$ m ${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 100=50}$ cm . Dengan demikian jumlah kubus kecil berukuran 10 cm yang dapat mengisi kubus dengan R = 100 cm adalah :
   
   Jumlah kubus kecil  ${\displaystyle =\frac{{100}^3}{{10}^3}={\left(\frac{100}{10}\right)}^3={10}^3=1000}$ kubus
   
   
   
9. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = (x + 1) cm, BC = x cm, dan AC = (x + 2) cm. Jika tinggi balok 2 cm, volume balok adalah ....
        a. 9 cm${}^3$
        b. 42 cm${}^3$ 
        c. 24 cm${}^3$ 
        d. 48 cm${}^3$
   
   Jawab
   
   Dengan menggunakan rumus phytagoras diperoleh
   
   $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$
   
   $(x+1{)}^2+x^2=(x+2{)}^2$
   
   $x^2+2x+1+x^2=x^2+4x+4$
   
   $x^2-2x-3=0$   $\iff$    $(x-3)(x+1)=0$     $\iff$     $x=3$ atau $x=-1$
   
   Pilih x = 3, didapat  AB = 4, BC = 3 dan AC = 5. Dengan demikian volume balok adalah
   
   Volume $=AB\times BC\times tinggi=4\times 3\times 2=24$ cm${}^2$
   
   
   
10. Sebuah kubus memiliki rusuk sepanjang 6 cm. Rusuk itu diperpanjang sebesar k kali panjang rusuk semula, sehingga volumenya menjadi 1.728 cm3. Nilai k adalah ....
         a. 2
         b. 6
         c. 4
         d. 8
    
    jawab
    
    karena  R = 6k, maka
    
    Volume $=R^3$   $\iff$    $1728=(6k{)}^3$
     
                                 $\iff$    $1728=216k^3$
    
                                 $\iff$    ${\displaystyle k=\sqrt[3]{\frac{1728}{216}}=\sqrt[3]{8}=2}$
      

B. Soal Essay

Jawab pertanyaan ini dengan jelas

1. Pada kertas berpetak, lukislah balok PQRS.TUVW dengan panjang 4 satuan, lebar 2 satuan, dan tinggi 3 satuan.
        a. Lukislah semua diagonal ruangnya.
        b. Ada berapa banyak diagonal bidangnya, sebutkan.
   
   Jawab
   
   a. 
   
   
   
   
   b. karena balok memiliki 6 sisi dan masing-masing sisi memiliki 2 diagonal bidang, maka
       banyaknya diagonal bidang pada balok adalah $2\times 6=12$ buah.  
   
   
   
2. Hitunglah luas permukaan balok jika diketahui
         a. V = 24 cm3, p = 4 cm, dan l = 3 cm;
         b. V = 315 cm3, p = 9 cm, dan l = 7 cm.
   
   Jawab:
   a. Volume $=p\times l\times t$
            24    $=4\times 3\times t$   $Leftrightarrow$     ${\displaystyle t=\frac{24}{12}=2}$ cm
   
       Luas permukaan $=2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                  $=2\times (4\times 3+4\times 2+3\times 2)$
                                  $=2\times (12+8+6)=52$ cm${}^2$   
   
   b. Volume $=p\times l\times t$
            315    $=9\times 7\times t$   $Leftrightarrow$     ${\displaystyle t=\frac{315}{63}=5}$ cm
   
       Luas permukaan $=2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
                                  $=2\times (9\times 7+9\times 5+7\times 5)$
                                  $=2\times (63+45+35)=286$ cm${}^2$
   
   
   
3. Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 2 m. Kubus tersebut tersusun dari kubus-kubus kecil dengan panjang setiap rusuknya 20 cm.
        a. Tentukan volume kubus besar dan kubus kecil.
        b. Berapa banyak kubus kecil hingga tersusun kubus besar?
   
   jawab
   
   a. Volume kubus besar $={200}^3=8.000.000$ cm${}^3$
       Volume kubus kecil $={20}^3=8.000$ cm${}^3$
   
   b. Banyaknya kubus kecil ${\displaystyle =\frac{8.000.000}{8.000}=1.000}$ buah
   
   
   
4.  Luas permukaan sebuah kubus adalah 294 cm${}^2$. Hitunglah
        a. panjang diagonal bidangnya;
        b. panjang diagonal ruangnya;
        c. volume kubus.
   
   Jawab:
           Luas permukaan $=6\times s^2$
                  294              $=6\times s^2$
   
           $\iff$      ${\displaystyle s=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7}$ cm
   
   a. Panjang diagonal bidang $=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$ cm
   b. Panjang diagonal ruang  $=\sqrt{7^{(}7\sqrt{2}{)}^2}=7\sqrt{3}$ cm
   c. Volume $=s^3=7^3=343$ cm${}^3$
   
    
5. Diketahui tempat air berukuran panjang 60 cm, lebar 50 cm, dan tinggi 100 cm berisi air penuh. Air tersebut akan dikurangi dengan cara melubangi tempat tersebut, hingga air yang keluar ditampung dalam tempat lain yang berukuran $(40\times 30\times 20)$ cm.
        a. Tentukan volume penampungan air.
        b. Tentukan tinggi permukaan air pada tempat pertama setelah dikurangi.
   
   Jawab
   
   a. Volume penampungan air $=40\times 30\times 20=24000$ cm${}^3$
   b. Volume bak air $=60\times 50\times 100=300.000$ cm${}^3$
       Selisih volume $=300.000-24.000=276.000$ cm${}^3$
       
       tinggi air dalam bak setelah dikurangi ${\displaystyle =\frac{276.000}{60\times 50}=\frac{276.000}{3000}=92}$ cm.