Garis singgung persekutuan dua lingkaran

Kedudukan Garis Singgung pada Dua Lingkaran

    Pada pembahasan kali lalu, kita telah mempelajari materi tentang garis singgung dan kharakteristiknya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari lebih lanjut mengenai garis singgung persekutuan dua lingkaran. Di dalam pembahasan ini, kita diperkenalkan terlebih dahulu perihal bagaimana kedudukan lingkaran terhadap lingkaran lain lalu kemudian dibahas mengenai kedudukan garis singgung terhadap dua lingkaran. Pada bagian terakhir kalian akan diajak untuk mengenal apa itu garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar lingkaran dan bagaimana cara menentukan panjang garisnya. Untuk mempersingkat waktu, baiklah kita awali terlebih dahulu dengan topik pembahasan kita mengenai kedudukan dua lingkaran.

A. Kedudukan Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut

1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. (gambar 1)
   Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat). 
   
   
2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. (gambar 2)
   Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris. 
   
   
3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = 1 2 R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam. (gambar 3)
   
   
4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. (gambar 4)
   
   
5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. (gambar 5)
   
   
6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar. (gambar 6) 
   
   

L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah . (gambar 7)

B. Kedudukan Garis Singgung terhadap Dua Lingkaran

        Setelah kita mengetahui bagaimana kedudukan dua lingkaran, maka pada pembahasan selanjutnya kita akan diperlihatkan bagaimana kedudukan garis singgung terhadap dua lingkaran. Hubungan garis  singgung dengan lingkaran dapat memiliki hubungan sebagai berikut:

1. Pada Gambar (i) kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
   
   
2. Pada Gambar (ii) kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. 
   
   
3. Pada Gambar (iii) kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
   
   
4. Pada Gambar (iv) kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. 
   
   
5. Pada Gambar (v) kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

Ada sebuah pertanyaan menarik bagi kalian: Jika kita mengetahui bahwa sebuah garis menyinggung kedua lingkaran di dua titik, apakah kita dapat menentukan jarak kedua titik singgung tersebut? Jawaban dari pertanyaan ini akan kalian dapat ketika kita mempelajari tentang garis singgung perseketuan lingkaran, yakni garis yang menghubungkan titik singgung pada masing-masing lingkaran.. Di dalam pembahasan selanjutnya, kalian akan mengenal dua istilah penting yakni garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar lingkaran dan mempelajari  bagaimana menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran dan garis singgung persekutuan luar tersebut. 

C. Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran 

        Untuk  menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran, kita dapat menggunakan hukum phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas, garis m menyinggung dua buah lingkaran yang berpusat di titik O dan P. Titik A dan C merupakan titik persinggungan garis m  terhadap kedua lingkaran tersebut. garis OB merupakan perpanjangan garis OA dan garis BP sejajar dengan garis m. Titik D merupakan titik potong antara garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran tersebut dengan garis m. Sementara OA dan PC adalah jari-jari masing-masing lingkaran dan AC adalah panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran. Karena ABPC adalah persegi panjang maka kita dapatkan AB = PC dan BP = AC. 

Perhatikan, bahwa $\bigtriangleup OAD$ merupakan segitiga siku-siku dan $\bigtriangleup OBP$ sebangun dengan $\bigtriangleup OAD$. Garis OB tegak lurus dengan garis BP. Dengan menggunakan hukum Phytagoras kita dapatkan

                $OP ^2 = OB^2+BP^2 =(OA+AB)^2+AC^2= (OA+PC)^2+AC^2$

         $\Leftrightarrow$   $AC^2 = OP^2 -(OA+PC)^2$

jika kita misalkan panjang garis singgung persekutuan dalam $AC= d$, Jari-jari masing-masing lingkaran adalah OA = R  dan PC = r  serta jarak kedua lingkaran $OP =p$ maka kita dapatkan : "panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran adalah akar kuadrat dari kuadrat jarak kedua lingkaran dikurangi kuadrat jumlah kedua jari-jari lingkaran, yakni

$d =\sqrt{ p^2 -(R+r)^2}$

D. Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran

        Untuk  menentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran, kita dapat menggunakan hukum Phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas, garis m adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran di titik B dan C. Kedua lingkaran berpusat di O dan P. Garis AP sejajar dengan garis m. Ruas garis OP adalah jarak kedua titik pusat masing-masing lingkaran dan OB serta PC adalah jari-jari masing-masing lingkaran. Karena segiempat ABCP adalah persegi panjang, maka AP = BC dan AB = CP sehingga OA = OB - AB. 

Perhatikan bahwa $\bigtriangleup OAP$ merupakan segitiga siku-siku. Garis OA tegak lurus dengan garis AP. Dengan demikian kita dapat menggunakan hukum Phytagoraas yakni:

                  $OP^2 = OA^2+ AP^2=(OB-AB)^2+AP^2$

       $\Leftrightarrow$       $AP^2=OP^2-(OB-OA)^2$

Jika panjang garis singgung persekutuan luar $AP = d$, jarak kedua titik pusat lingkaran $OP = p$ dan masing-masing jari-jari lingkaran $OB =R$ dan $CP=AB=r$, maka kita dapat menyimpulkan bahwa: "Jarak garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran sama dengan akar kuadrat dari kuadrat jarak titik pusat kedua lingkaran  dikurang kuadrat selisih kedua jari-jari lingkaran", yakni:

$ d=\sqrt{p^2-(R-r)^2}$

=== Selamat Belajar ===