3 cara menentukan akar-akar persamaan Kuadrat beserta pembuktiannya

Kalian tentu masih ingat bagaimana menjabarkan persamaan  (2x + 4 )(3x - 5). Tentu saja hasil yang akan didapatkan seperti proses berikut ini

                 $(2x + 4 )(3x - 5)=2x (3x - 5) + 4 (3x-5)=2x \times 3x -2x \times 5 + 4 \times 3x - 5 \times 5$
                                              $=6x^2 - 10x +12x-20)=6x^2+2x-20$

Bentuk persamaan terakhir yang kita dapatkan tadi berbentuk persamaan kuadrat. 

Nah ... Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari materi yang berhubungan dengan  fungsi kuadrat. Pokok bahasan yang akan dibicarakan disini berkenaan dengan konsep fungsi kuadrat dan menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

A, Konsep dasar Fungsi kuadrat

        Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi polinomial satu variabel dengan pangkat tertingging dua. Bentuk yang paling umum dari fungsi kuadrat yakni  $f(x)=ax^2+bx+c$. Akan tetapi kita  juga dapat menulis bentuk persamaan kuadrat dengan notasi $ax^2+bx+c = 0$ dengan a dan b adalah koefisien dan c adalah konstanta. Keberadaan koefisien a dan b serta konstanta c nantinya akan memainkan peranan yang sangat penting sebab koefisien dan konstanta tersebut akan banyak digunakan dalam pembahasan mengenai persamaan kuadrat.

B. Akar-akar persamaan kuadrat. 

        Sebelum kita melangkah lebih jauh, ada baiknya kita ingat kembali bahwa persamaan $p\times q =0$ hanya dapat dipenuhi apabila minimal salah satu dari p atau q bernilai nol. Jadi jika seandainya $p =0$ dan $q \neq 0$ maka persamaan tersebut menjadi benar karena $p\times q= 0\times q =0$. Demikian juga sebaliknya jika $q=0$ sementara $p \neq 0$ , maka persamaan tersebut juga benar. Kasus itu juga berlaku seandainya p atau q merupakan sebuah  fungsi, Misalnya, $p = y-2$ dan $q \neq 0$, maka  persamaan $p \times q =(y -2) q =0$ menjadi benar apabila nilai p = y - 2 = 0, yakni persamaan $p\times q=0 $ dipenuhi ketika y  = 2. Konsep seperti ini merupakan hal yang paling mendasar untuk kalian perhatikan ketika mempelajari akar-akar persamaan kuadrat.
       Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai dari x yang membuat fungsi kuadrat tersebut menjadi sama dengan nol. Sebagaimana kita ketahui bentuk persamaan kuadrat dapat juga ditulis dengan

                                                  $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)=0$

bentuk persamaan tersebut akan dapat dipenuhi bila nilai $x = x_1$ atau $x = x_2$.  Nilai dari $x_1$ dan $x_2$ inilah yang nantinya disebut akar-akar dari persamaan kuadrat. 

Contoh 1: 

Diketahui persamaan kuadrat $f(x) = x^2-5x+6=0$. Tentukan nilai x sehingga nilai $f(x)= 0$.

Jawab:

 Bentuk persamaan $x^2-5x+6=0$  dapat diuraikan menjadi 

                              $f(x) = (x - 3) (x-2) = 0$
          
                                 $\Leftrightarrow x -3 = 0$      atau  $ x - 2 = 0$
                                 $\Leftrightarrow x =3$             atau  $ x= 2$       

Jadi penyelesaiannya HP = {$x|x =3$ atau $x=2$}           

Perhatikan, bentuk penyelesaian terakhir, yakni $x=3$ atau $x=2$ membuat nilai $f(x)=0$ sebab jika kita masukan nilai $x=3$ atau $x=2$ kedalam persamaan $f(x)=x^2-5x+6$  menghasilkan:

                $f(3) = 3^2-5.3+6 = 9 - 15 + 6 = 0$   dan     $f(2) = 2^2-5.2+6 = 4 - 10 + 6 = 0$

          Oleh karena itu $x_1=3$ dan $x_2=2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ x^2-5x+6 = 0$.

Nah... pertanyaan selanjutnya adalah  bagaimana kita dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari sebuah fungsi $f(x)=ax^2+bx+c$. Ada beberapa metode yang dapat dilakukan yakni : Metode pemfaktoran, Melengkapi kuadrat sempurna dan Rumus a,b,c, D. Kita akan membahas satu persatu teknik mencari akar-akar dalam pembahasan berikut ini.

C. Metode Pemfaktoran

        Secara tidak langsung, sebenarnya kita sudah diperkenalkan metode pemfaktoran ketika menjawab soal pada contoh 1 di atas. Metode pemfaktoran adalah menemukan bentuk faktor dari persamaan kuadrat  sehingga akhirnya persamaan kuadrat tersebut menjadi:

                                             $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=\frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=0$   

untuk mendapatkan tekniknya kita akan melihat satu persatu ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan kuadrat tersebut.

• Pada ruas kiri fungsi $f(x)$ berbentuk
  
               $ax^2+bx+c$                .................................................persamaan 1
  
  
  
• Pada ruas kanan fungsi $f(x)$ berbentuk 
  
               $\displaystyle \frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=\frac  {(ax-p)(ax-q)} {a} $ 
  
                                              $\displaystyle =\frac  {ax(ax-q)-p(ax-q)} {a} $ 
  
                                         $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\frac {a^2.x^2-a,q,x-a.p.x +p . q}{a}$ 
  
                                         $\Leftrightarrow$  $= a x^2- (p+q)x +$ $\displaystyle \frac {p . q}{a}$  .....................................persamaan 2
  
  

Bila kita perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2 maka kita akan mencari nilai $p$ dan $q$ sedemikian sehingga bila:

•  $p\times q = a \times c $
  
  
•  $p+ q=-b$
  
  

Contoh 2

Tentukan akar-akar dari persamaan $5x^2+13x-6=0$ dengan menggunakan metode pemfaktoran!

Jawab:

Dari persamaan  $5x^2+13x-6=0$ maka nilai $a=5, b=13, c=-6$

 maka kita akan menentukan nilai p dan q sehingga

• $p+q=b$            $\Leftrightarrow$     $p+q=13$

• $p\times q=a\times c$     $\Leftrightarrow$     $p\times q =5 \times (-6)=-30$

perhatikan, pasangan terurut dari faktor -30 adalah {(-1, 30), (1, -30), (-2, 15), (2, -15), (3, -10), (-3, 10), (-6, 5) dan (6, -5)}. Dari beberapa pilihan ini, (-2 dan 15) adalah yang paling tepat karena -2+15 = 13 dan $-2 \times 15=-30$. Oleh karena itu pilih $p=-2$ dan $q=15$ sehingga

 

          $\displaystyle 5x^2+13x-6 =\frac {(ax-p)(ax-q)}{a}=0$

                    $\Leftrightarrow$         $\displaystyle 5x^2+13x-6 =\frac {(5x-(-2))(5x-15)}{5}=0$

                    $\Leftrightarrow$                                 $\displaystyle =\frac {(5x+2) 5. (x-3)}{5}=0$

                    $\Leftrightarrow$                                 $\displaystyle =(5x+2)(x-3)=0$

           Sehingga didapatkan   $5x +2=0$      atau $x-3=0$

           $\Leftrightarrow$         $\displaystyle x =-\frac {2}{5}$    atau  $x = 3$

           jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah  $\displaystyle x =-\frac {2}{5}$    atau  $x = 3$

  

D. Metode Kuadrat Sempurna

Pada metode kuadrat sempurna, kita akan mengubah bentuk persamaan   $ax^2+bx+c= 0$ menjadi:

                                  $ax^2+bx+c= (x-p)^2-q=0$  ..................................................persamaan 3 

perhatikan langkah-langkahnya                     
                       $ax^2+bx+c=0$    bagi kedua ruas dengan a

             $\Leftrightarrow$       $\displaystyle \frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}$

             $\Leftrightarrow$       $\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$     tambahkan kedua ruas dengan $\displaystyle \left ( \frac {b}{2a} \right )^2$
 
              $\Leftrightarrow$       $\displaystyle x^2+2. \frac{b}{2a}x+ \left ( \frac {b}{2a} \right )^2 +\frac{c}{a}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2=0$  

              $\Leftrightarrow$       $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac {c}{a}=0$  .......................... persamaan 4 

Perhatikan, dengan membandingkan persamaan 3 dan persamaan 4 maka  $\displaystyle p=\frac{b}{2a}$  dan    $\displaystyle q=-\left ( \frac{b}{2a}\right )^2 +\frac {c}{a}$. Dengan demikian kita menemukan  rumus mencari akar-akar yakni

                   $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac {c}{a}=0$   $\Leftrightarrow$     $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$


Contoh 3: 
  

         Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $6x^2 + 13x - 5 = 0$ dengan menggunakan metode 

jawab

dari persamaan  $6x^2 + 13x - 5 = 0$ kita dapatkan $a=6, b=13, c=-5$

Dengan menggunakan  metode kuadrat sempurna didapatkan

          $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{2.6} \right )^2 =\left ( \frac{13}{2.6} \right )^2 - \frac {-5}{6}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{12} \right )^2 = \frac{169}{144}  + \frac {120}{144}$

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  \left ( x+\frac {13}{12} \right )^2 = \frac{289}{144}  $

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x+\frac {13}{12} =\pm \sqrt {\frac{289}{144}}  $

$\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x+\frac {13}{12} =\pm \frac{17}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x=\pm \frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x= \frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $     4 atau      $\displaystyle  x= -\frac {17}{12} -\frac{13}{12}  $

          $\Leftrightarrow$      $\displaystyle  x= \frac {4}{12}=\frac {1}{3} $      atau      $\displaystyle  x= -\frac {30}{12} =\frac{5}{2}  $

Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $\displaystyle x =\frac {1}{3}$    atau  $\displaystyle x =-\frac {5}{2}$

 

E. Metode Rumus a,b,c, D

Metode ini sebenarnya merupakan pengembangan dari metode kuadrat sempurna. Apabila kita perhatikan rumus kuadrat sempurna, maka akan diperoleh

 $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$

 $\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x+\frac {b}{2a}  =\pm \sqrt {\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}}$

$\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x=-\frac {b}{2a}  \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\Leftrightarrow$    $\displaystyle   x=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}  $

Jika $D= b^2 - 4ac$ maka dari persamaan terakhir diperoleh rumus akar-akar persamaan kuadrat:

                 $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $

 

Contoh :
        Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+7x-15=0$ dengan menggunakan rumus $a.b,c D$!

Jawab:

Persamaan  $4x^2+7x-15=0$ memiliki nilai $a=4, b=7, -15$

Maka $D=b^2-4ac=7^2-4.4.(-15)=49+240=289$ 

          $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {-7+ \sqrt {289}} {2.4}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-7- \sqrt {289}} {2.4}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {-7+ 17} {8}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-7- 17} {8}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {10} {8}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-24} {8}  $

          $\Leftrightarrow$     $\displaystyle   x=\frac {5} {4}  $      atau        $\displaystyle   x=-3  $

Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah    $\displaystyle   x=\frac {5} {4}  $      atau        $\displaystyle   x=-3  $