Altissima: 3 cara menentukan akar-akar persamaan Kuadrat beserta pembuktiannya

Minggu, 16 Januari 2022

3 cara menentukan akar-akar persamaan Kuadrat beserta pembuktiannya

Kalian tentu masih ingat bagaimana menjabarkan persamaan  (2x + 4 )(3x - 5). Tentu saja hasil yang akan didapatkan seperti proses berikut ini

                 (2x+4)(3x5)=2x(3x5)+4(3x5)=2x×3x2x×5+4×3x5×5
                                              =6x210x+12x20)=6x2+2x20

Bentuk persamaan terakhir yang kita dapatkan tadi berbentuk persamaan kuadrat. 

Nah ... Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari materi yang berhubungan dengan  fungsi kuadrat. Pokok bahasan yang akan dibicarakan disini berkenaan dengan konsep fungsi kuadrat dan menentukan akar-akar persamaan kuadrat.


A, Konsep dasar Fungsi kuadrat


        Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi polinomial satu variabel dengan pangkat tertingging dua. Bentuk yang paling umum dari fungsi kuadrat yakni  f(x)=ax2+bx+c. Akan tetapi kita  juga dapat menulis bentuk persamaan kuadrat dengan notasi ax2+bx+c=0 dengan a dan b adalah koefisien dan c adalah konstanta. Keberadaan koefisien a dan b serta konstanta c nantinya akan memainkan peranan yang sangat penting sebab koefisien dan konstanta tersebut akan banyak digunakan dalam pembahasan mengenai persamaan kuadrat.

B. Akar-akar persamaan kuadrat. 

        Sebelum kita melangkah lebih jauh, ada baiknya kita ingat kembali bahwa persamaan p×q=0 hanya dapat dipenuhi apabila minimal salah satu dari p atau q bernilai nol. Jadi jika seandainya p=0 dan q0 maka persamaan tersebut menjadi benar karena p×q=0×q=0. Demikian juga sebaliknya jika q=0 sementara p0 , maka persamaan tersebut juga benar. Kasus itu juga berlaku seandainya p atau merupakan sebuah  fungsi, Misalnya, p=y2 dan q0, maka  persamaan p×q=(y2)q=0 menjadi benar apabila nilai p = y - 2 = 0, yakni persamaan p×q=0 dipenuhi ketika  = 2. Konsep seperti ini merupakan hal yang paling mendasar untuk kalian perhatikan ketika mempelajari akar-akar persamaan kuadrat.
       Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai dari x yang membuat fungsi kuadrat tersebut menjadi sama dengan nol. Sebagaimana kita ketahui bentuk persamaan kuadrat dapat juga ditulis dengan

                                                  f(x)=(xx1)(xx2)=0

bentuk persamaan tersebut akan dapat dipenuhi bila nilai x=x1 atau x=x2.  Nilai dari x1 dan x2 inilah yang nantinya disebut akar-akar dari persamaan kuadrat. 

Contoh 1: 

Diketahui persamaan kuadrat f(x)=x25x+6=0. Tentukan nilai x sehingga nilai f(x)=0.

Jawab:

 Bentuk persamaan x25x+6=0  dapat diuraikan menjadi 

                              f(x)=(x3)(x2)=0
          
                                 x3=0      atau  x2=0
                                 x=3             atau  x=2       

Jadi penyelesaiannya HP = {x|x=3 atau x=2}           

Perhatikan, bentuk penyelesaian terakhir, yakni x=3 atau x=2 membuat nilai f(x)=0 sebab jika kita masukan nilai x=3 atau x=2 kedalam persamaan f(x)=x25x+6  menghasilkan:

                f(3)=325.3+6=915+6=0   dan     f(2)=225.2+6=410+6=0

          Oleh karena itu x1=3 dan x2=2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x25x+6=0.

Nah... pertanyaan selanjutnya adalah  bagaimana kita dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari sebuah fungsi f(x)=ax2+bx+c. Ada beberapa metode yang dapat dilakukan yakni : Metode pemfaktoran, Melengkapi kuadrat sempurna dan Rumus a,b,c, D. Kita akan membahas satu persatu teknik mencari akar-akar dalam pembahasan berikut ini.

C. Metode Pemfaktoran

        Secara tidak langsung, sebenarnya kita sudah diperkenalkan metode pemfaktoran ketika menjawab soal pada contoh 1 di atas. Metode pemfaktoran adalah menemukan bentuk faktor dari persamaan kuadrat  sehingga akhirnya persamaan kuadrat tersebut menjadi:

                                             f(x)=ax2+bx+c=(axp)(axq)a=0   

untuk mendapatkan tekniknya kita akan melihat satu persatu ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan kuadrat tersebut.
  • Pada ruas kiri fungsi f(x) berbentuk

                 ax2+bx+c                .................................................persamaan 1


  • Pada ruas kanan fungsi f(x) berbentuk 

                 (axp)(axq)a=(axp)(axq)a 

                                                =ax(axq)p(axq)a 

                                             =a2.x2a,q,xa.p.x+p.qa 

                                             =ax2(p+q)x+ p.qa  .....................................persamaan 2

Bila kita perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2 maka kita akan mencari nilai p dan q sedemikian sehingga bila:
  •  p×q=a×c

  •  p+q=b


Contoh 2
Tentukan akar-akar dari persamaan 5x2+13x6=0 dengan menggunakan metode pemfaktoran!

Jawab:

Dari persamaan  5x2+13x6=0 maka nilai a=5,b=13,c=6

 maka kita akan menentukan nilai p dan q sehingga

  • p+q=b                 p+q=13

  • p×q=a×c          p×q=5×(6)=30

perhatikan, pasangan terurut dari faktor -30 adalah {(-1, 30), (1, -30), (-2, 15), (2, -15), (3, -10), (-3, 10), (-6, 5) dan (6, -5)}. Dari beberapa pilihan ini, (-2 dan 15) adalah yang paling tepat karena -2+15 = 13 dan 2×15=30. Oleh karena itu pilih p=2 dan q=15 sehingga

 
          5x2+13x6=(axp)(axq)a=0

                             5x2+13x6=(5x(2))(5x15)5=0

                                                     =(5x+2)5.(x3)5=0

                                                     =(5x+2)(x3)=0

           Sehingga didapatkan   5x+2=0      atau x3=0

                    x=25    atau  x=3

           jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah  x=25    atau  x=3

  

D. Metode Kuadrat Sempurna


Pada metode kuadrat sempurna, kita akan mengubah bentuk persamaan   ax2+bx+c=0 menjadi:

                                  ax2+bx+c=(xp)2q=0 
 ..................................................persamaan 3 

perhatikan langkah-langkahnya  
                   

                       ax2+bx+c=0    bagi kedua ruas dengan a

                    ax2+bx+ca=0a


                    x2+bax+ca=0     tambahkan kedua ruas dengan (b2a)2
 
 
                    x2+2.b2ax+(b2a)2+ca(b2a)2=0  

                     (x+b2a)2(b2a)2+ca=0  .......................... persamaan 4 

Perhatikan, dengan membandingkan persamaan 3 dan persamaan 4 maka  p=b2a  dan    q=(b2a)2+ca. Dengan demikian kita menemukan  rumus mencari akar-akar yakni

                   (x+b2a)2(b2a)2+ca=0        (x+b2a)2=(b2a)2ca


Contoh 3: 
  
         Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 6x2+13x5=0 dengan menggunakan metode 

jawab

dari persamaan  6x2+13x5=0 kita dapatkan a=6,b=13,c=5

Dengan menggunakan  metode kuadrat sempurna didapatkan

          (x+b2a)2=(b2a)2ca

      (x+132.6)2=(132.6)256

      (x+1312)2=169144+120144

      (x+1312)2=289144

      x+1312=±289144

      x+1312=±1712

                x=±17121312

                x=17121312     4 atau      x=17121312

                x=412=13      atau      x=3012=52

Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x=13    atau  x=52

 

E. Metode Rumus a,b,c, D


Metode ini sebenarnya merupakan pengembangan dari metode kuadrat sempurna. Apabila kita perhatikan rumus kuadrat sempurna, maka akan diperoleh

 (x+b2a)2=(b2a)2ca

     x+b2a=±(b2a)2ca

    x=b2a±b24ac4a2

    x=b±b24ac2a

Jika D=b24ac maka dari persamaan terakhir diperoleh rumus akar-akar persamaan kuadrat:

                 x=b+D2a      atau        x=bD2a

 

Contoh :
        Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 4x2+7x15=0 dengan menggunakan rumus a.b,cD!

Jawab:

Persamaan  4x2+7x15=0 memiliki nilai a=4,b=7,15

Maka D=b24ac=724.4.(15)=49+240=289 

          x=b+D2a      atau        x=bD2a

               x=7+2892.4      atau        x=72892.4

               x=7+178      atau        x=7178

               x=108      atau        x=248

               x=54      atau        x=3

Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah    x=54      atau        x=3


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...