Pembahasan latihan mencari akar-akar persamaan kuadrat

1. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
        a. $x^2+4x-12=0$
        b. $3x^2+2x=8$
   
   Jawab
   
   a. Persamaan kuadrat $x^2+4x-12=0$  memiliki nilai $a =1, b=4, c=-12$
   

   akan dicari nilai p dan q yang memenuhi

               $p\times q=a\times c$

                          $=1\times -12=-12 $

     dan    $p+q=-b=-4$. 

    

   Himpunan pasangan terurut faktor dari -12 adalah {(-1,12), (1,-12),  (-2,6),  (2,-6), (-3,4), (3,-4)}.
   

   Dari himpunan pasangan terurut tersebut, (2. -6) adalah yang paling tepat karena 2+(-6) = -4 dan $2\times (-6) = -12$. Karena itu pilih $p=2$ dan $q=-6$. Dengan demikian kita dapatkan:

   
                 $\displaystyle x^2+4x-12=\frac{(ax-p)(ax-q)}{a}=0$
   
                      $\Leftrightarrow$             $\displaystyle =\frac{(1.x-2)(1.x-(-6))}{1}=0$
   
                      $\Leftrightarrow$             $=(x-2)(x+6)=0$    $\Leftrightarrow$   $x=2$ atau $x=-6$
   
   

   Dengan demikian akar-akar persamaan kuadratnya adalah    $x=2$    atau    $x=-6$

   
   
   b. Persamaan kuadrat $3x^2+2x=8$ $\Leftrightarrow$   $3x^2+2x-8=0$  memiliki nilai $a =3, b=2, c=-8$
   

   akan dicari nilai p dan q yang memenuhi

               $p\times q=a\times c$

                         $=3\times -8=-24 $

   dan      $p+q=-b=-2$. 

    

   Himpunan pasangan terurut faktor dari -24 adalah {(-1,24), (1,-24),  (-2,12),  (2,-12), (-3,8), (3,-8),(-4, 6), (4,-6)}.

   Dari himpunan pasangan terurut tersebut, (4, -6) adalah yang paling tepat karena 4+(-6) = -2 dan $4\times (-6) = -24$. Karena itu pilih $p=4$ dan $q=-6$. Dengan demikian kita dapatkan:

   
                 $\displaystyle 3x^2+2x-8=\frac{(ax-p)(ax-q)}{a}=0$
   
                      $\Leftrightarrow$             $\displaystyle =\frac{(3.x-4)(3.x-(-6))}{3}=0$
   
                      $\Leftrightarrow$             $=\frac {(3x-4)3,(x+2)}{3}=0$    $\Leftrightarrow$   $x=-2$ atau $x=6$
   
                      $\Leftrightarrow$             $=(3x-4)(x+2)=0$       $\Leftrightarrow$       $\displaystyle x=\frac {4}{3}$ atau $x=-2$
   
   
   

   Dengan demikian akar-akar persamaan kuadratnya adalah     $\displaystyle x=\frac {4}{3}$ atau    $x=-2$

      
2. Dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
       a. $2x^2+5x-12=0$
       b. $2x^2+5x=8$
   
   Jawab
   a. Persamaan kuadrat $2x^2+5x-12=0$  memiliki nilai $a=2,b=5, c=-12$
   dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, maka
   
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$
   
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{2.2} \right )^2 =\left ( \frac{5}{2.2} \right )^2 - \frac {-12}{2}$
    
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 =\left ( \frac{5}{4} \right )^2 + \frac {96}{16}$
   
         $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 = \frac{25}{16}  + \frac {96}{16}$
   
         $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 = \frac{121}{16} $
   
            $\displaystyle  x+\frac {5}{4}  = \pm \sqrt{\frac{121}{16}} $
   
            $\displaystyle  x+\frac {5}{4}  = \pm \frac{11}{4} $
   
            $\displaystyle  x = - \frac {5}{4} + \frac{11}{4} $     atau     $\displaystyle  x = - \frac {5}{4} - \frac{11}{4} $
   
            $\displaystyle  x =  \frac {6}{4}=\frac{3}{2} $         atau     $\displaystyle  x = - \frac {16}{4} = -4 $
    
   Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah  $\displaystyle  x =  \frac {6}{4}=\frac{3}{2} $           atau     $\displaystyle  x = - \frac {16}{4} = -4 $
   
   
   b. Persamaan kuadrat $2x^2+5x=8$   $\Rightarrow$      $2x^2+5x-8=0$    memiliki nilai $a=2,b=5, c=-8$
       dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, maka
   
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {b}{2a} \right )^2 =\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {c}{a}$
   
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{2.2} \right )^2 =\left ( \frac{5}{2.2} \right )^2 - \frac {-8}{2}$
    
        $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 =\left ( \frac{5}{4} \right )^2 + \frac {64}{16}$
   
         $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 = \frac{25}{16}  + \frac {64}{16}$
   
         $\displaystyle  \left ( x+\frac {5}{4} \right )^2 = \frac{89}{16} $
   
            $\displaystyle  x+\frac {5}{4}  = \pm \sqrt{\frac{89}{16}} $
   
            $\displaystyle  x+\frac {5}{4}  = \pm \frac{\sqrt {89}}{4} $
   
            $\displaystyle  x = - \frac {5}{4} + \frac{\sqrt 89}{4} $     atau     $\displaystyle  x = - \frac {5}{4} - \frac{\sqrt 89}{4} $
   
            $\displaystyle  x =  \frac {-5+\sqrt {89}}{4} $       atau     $\displaystyle  x = \frac {-5-\sqrt{89}}{4} $
    
   Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah    $\displaystyle  x =  \frac {-5+\sqrt {89}}{4} $               atau     $\displaystyle  x = \frac {-5-\sqrt{89}}{4} $
   
   
3. Dengan menggunakan rumus $a,b,c,D$, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
   a. $2x^2+3x-2=0$
   b. $3x^2-x=2$
   
   Jawab
   
   

   a. Persamaan kuadrat $2x^2+3x-2=0$ mimiliki nilai $a=2, b=3, c=-2$
   Dengan menggunakan $a,b,c,D$ maka
   
                  $D= b^2 - 4ac$ 
   
   
                  $D= 3^2 - 4.2.(-2)=9+16=25$
    
               $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $
   
                    $\displaystyle   x=\frac {-3+ \sqrt {25}} {2.2} =\frac{-3+5}{4}=\frac {1}{2} $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-3- \sqrt {25}} {2.2}=\frac{-3-5}{4}=-2  $
   
   jadi akar-akarnya adalah   $\displaystyle      x =\frac{1}{2} $      atau        $\displaystyle   x=-2  $
   
   
   

   b. Persamaan kuadrat $3x^2-x=2$    $\Leftrightarrow$    $3x^2-x-2=0$    mimiliki nilai $a=3, b=-1, c=-2$
   Dengan menggunakan $a,b,c,D$ maka
   
                  $D= -b^2 - 4ac$ 
   
   

                  $D= (-1)^2 - 4.3.(-2)=1+24=25$
    
                   $\displaystyle   x=\frac {-b+ \sqrt D} {2a}  $     atau        $\displaystyle   x=\frac {-b- \sqrt D} {2a}  $
   
                    $\displaystyle   x=\frac {-(-1)+ \sqrt 25} {2.3} =\frac{1+5}{6}=1 $      atau        $\displaystyle   x=\frac {-(-1)- \sqrt 25} {2.3}=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}  $
   
   jadi akar-akarnya adalah $\displaystyle       x=-\frac{2}{3} $      atau        $\displaystyle   x=1  $
   
   
   
4. Salah satu akar-akar dari persamaan kuadrat $3+7x-ax^2=0$ adalah $\displaystyle -\frac{1}{3}$. Tentukan akar-akar yang lainnya!
   
   Jawab 
   
   Andaikan salah satu akar-akarnya adalah $\displaystyle x= -\frac{1}{3}$ . Maka salah satu akar-akar tersebut memenuhi persamaan:
   
                            $f(x)=3+7x-ax^2=0$ 
   
         $\displaystyle x= -\frac{1}{3}$     $\Rightarrow$       $f \left( -\frac{1}{3} \right)=3+(7\times-\frac{1}{3})-a.\left ( -\frac{1}{3} \right )^2=0$ 
   
    $\Rightarrow$       $\displaystyle f \left( -\frac{1}{3} \right)=3-\frac{7}{3}-\frac{a}{9}=0$
   
    $\Rightarrow$       $\displaystyle \frac{27-21-a}{9}=0$
   
    $\Rightarrow$       $\displaystyle \frac{6-a}{9}=0$      $\Rightarrow$   $a=6$
   
   Dengan demikian persamaannya kuadratnya menjadi: 
   
                            $f(x)=3+7x-ax^2=0$ 
   
    $\Rightarrow$                $3+7x-6x^2=0$    memiliki $a=-6,b=7, c=3$
   
   Dengan menggunakan metode $a,b,c,D$ diperoleh 
   
           $D=b^2-4ac= 7^2-4.(-6).3=49+72=121$
   
           $\displaystyle x =\frac{-b+\sqrt D}{2a}$     atau      $\displaystyle x =\frac{-b-\sqrt D}{2a}$
   
          $\displaystyle x =\frac{-7+\sqrt {121}}{2.-6}$     atau      $\displaystyle x =\frac{-7-\sqrt {121}}{2.-6}$
   
           $\displaystyle x =\frac{-7+11}{-12}$     atau      $\displaystyle x =\frac{-7-11}{-12}$
   
           $\displaystyle x =\frac{4}{-12}=-\frac{1}{3}$     atau      $\displaystyle x =\frac{-18}{-12}=1\frac{1}{2}$
   
   jadi akar-akar yang lainnya adalah $\displaystyle x =1\frac{1}{2}$
   

   
   
    
5. Dua bilangan jika dikalikan hasilya 12 namun jika dijumlahkan hasilnya 7. Berapakah bilangan-bilangan itu?
   
   Jawab.
   
   Misalkan bilangan itu adalah x dan y   maka
   
          $x + y = 7$    $\Rightarrow $     $y=7-x$
          $x \times y = 12$
   
   Dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut diperoleh
   
                  $x \times y = 12$    $\Leftrightarrow$      $x \times (7-x) = 12$
   
                                                  $\Leftrightarrow$      $7x -x^2 = 12$
   
                                                  $\Leftrightarrow$      $x^2 -7x+12=0$    $a=1, b=-7,c=12$
   
   Dengan menggunakan metode pemfaktoran diperoleh
   
               $x^2 -7x+12=(x-4)(x-3)=0$    $\Rightarrow$    $x=4$   atau   $x=3$
   
   Untuk $x=4$  maka $y = 7-x = 7-4 =3$
   
   Untuk $x=3$  maka $y = 7-x = 7-3 =4$
   
   jadi kedua bilangan tersebut adalah 3 dan 4.
   
   
   
   NB:
   Materi mengenai akar-akar persamaan kuadrat ini bisa kalian baca di : "Mencari akar-akar persamaan kuadrat"
   
   
   
   
   

   = Have A Nice Day =