Pembahasan latihan mencari akar-akar persamaan kuadrat

1. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
        a. $x^2+4x-12=0$
        b. $3x^2+2x=8$
   
   Jawab
   
   a. Persamaan kuadrat $x^2+4x-12=0$  memiliki nilai $a=1,b=4,c=-12$
   

   akan dicari nilai p dan q yang memenuhi

               $p\times q=a\times c$

                          $=1\times -12=-12$

     dan    $p+q=-b=-4$. 

    

   Himpunan pasangan terurut faktor dari -12 adalah {(-1,12), (1,-12),  (-2,6),  (2,-6), (-3,4), (3,-4)}.
   

   Dari himpunan pasangan terurut tersebut, (2. -6) adalah yang paling tepat karena 2+(-6) = -4 dan $2\times (-6)=-12$. Karena itu pilih $p=2$ dan $q=-6$. Dengan demikian kita dapatkan:

   
                 ${\displaystyle x^2+4x-12=\frac{(ax-p)(ax-q)}{a}=0}$
   
                      $\iff$             ${\displaystyle =\frac{(1.x-2)(1.x-(-6))}{1}=0}$
   
                      $\iff$             $=(x-2)(x+6)=0$    $\iff$   $x=2$ atau $x=-6$
   
   

   Dengan demikian akar-akar persamaan kuadratnya adalah    $x=2$    atau    $x=-6$

   
   
   b. Persamaan kuadrat $3x^2+2x=8$ $\iff$   $3x^2+2x-8=0$  memiliki nilai $a=3,b=2,c=-8$
   

   akan dicari nilai p dan q yang memenuhi

               $p\times q=a\times c$

                         $=3\times -8=-24$

   dan      $p+q=-b=-2$. 

    

   Himpunan pasangan terurut faktor dari -24 adalah {(-1,24), (1,-24),  (-2,12),  (2,-12), (-3,8), (3,-8),(-4, 6), (4,-6)}.

   Dari himpunan pasangan terurut tersebut, (4, -6) adalah yang paling tepat karena 4+(-6) = -2 dan $4\times (-6)=-24$. Karena itu pilih $p=4$ dan $q=-6$. Dengan demikian kita dapatkan:

   
                 ${\displaystyle 3x^2+2x-8=\frac{(ax-p)(ax-q)}{a}=0}$
   
                      $\iff$             ${\displaystyle =\frac{(3.x-4)(3.x-(-6))}{3}=0}$
   
                      $\iff$             $=\frac{(3x-4)3,(x+2)}{3}=0$    $\iff$   $x=-2$ atau $x=6$
   
                      $\iff$             $=(3x-4)(x+2)=0$       $\iff$       ${\displaystyle x=\frac{4}{3}}$ atau $x=-2$
   
   
   

   Dengan demikian akar-akar persamaan kuadratnya adalah     ${\displaystyle x=\frac{4}{3}}$ atau    $x=-2$

      
2. Dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
       a. $2x^2+5x-12=0$
       b. $2x^2+5x=8$
   
   Jawab
   a. Persamaan kuadrat $2x^2+5x-12=0$  memiliki nilai $a=2,b=5,c=-12$
   dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, maka
   
        ${\displaystyle {(x+\frac{b}{2a})}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}$
   
        ${\displaystyle {(x+\frac{5}{2.2})}^2={\left(\frac{5}{2.2}\right)}^2-\frac{-12}{2}}$
    
        ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2={\left(\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{96}{16}}$
   
         ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2=\frac{25}{16}+\frac{96}{16}}$
   
         ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2=\frac{121}{16}}$
   
            ${\displaystyle x+\frac{5}{4}=\pm \sqrt{\frac{121}{16}}}$
   
            ${\displaystyle x+\frac{5}{4}=\pm \frac{11}{4}}$
   
            ${\displaystyle x=-\frac{5}{4}+\frac{11}{4}}$     atau     ${\displaystyle x=-\frac{5}{4}-\frac{11}{4}}$
   
            ${\displaystyle x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}}$         atau     ${\displaystyle x=-\frac{16}{4}=-4}$
    
   Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah  ${\displaystyle x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}}$           atau     ${\displaystyle x=-\frac{16}{4}=-4}$
   
   
   b. Persamaan kuadrat $2x^2+5x=8$   $\Rightarrow$      $2x^2+5x-8=0$    memiliki nilai $a=2,b=5,c=-8$
       dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, maka
   
        ${\displaystyle {(x+\frac{b}{2a})}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}$
   
        ${\displaystyle {(x+\frac{5}{2.2})}^2={\left(\frac{5}{2.2}\right)}^2-\frac{-8}{2}}$
    
        ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2={\left(\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{64}{16}}$
   
         ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2=\frac{25}{16}+\frac{64}{16}}$
   
         ${\displaystyle {(x+\frac{5}{4})}^2=\frac{89}{16}}$
   
            ${\displaystyle x+\frac{5}{4}=\pm \sqrt{\frac{89}{16}}}$
   
            ${\displaystyle x+\frac{5}{4}=\pm \frac{\sqrt{89}}{4}}$
   
            ${\displaystyle x=-\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{8}9}{4}}$     atau     ${\displaystyle x=-\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{8}9}{4}}$
   
            ${\displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}}$       atau     ${\displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{89}}{4}}$
    
   Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah    ${\displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}}$               atau     ${\displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{89}}{4}}$
   
   
3. Dengan menggunakan rumus $a,b,c,D$, tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:
   a. $2x^2+3x-2=0$
   b. $3x^2-x=2$
   
   Jawab
   
   

   a. Persamaan kuadrat $2x^2+3x-2=0$ mimiliki nilai $a=2,b=3,c=-2$
   Dengan menggunakan $a,b,c,D$ maka
   
                  $D=b^2-4ac$ 
   
   
                  $D=3^2-4.2.(-2)=9+16=25$
    
               ${\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$      atau        ${\displaystyle x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$
   
                    ${\displaystyle x=\frac{-3+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}}$      atau        ${\displaystyle x=\frac{-3-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{-3-5}{4}=-2}$
   
   jadi akar-akarnya adalah   ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$      atau        ${\displaystyle x=-2}$
   
   
   

   b. Persamaan kuadrat $3x^2-x=2$    $\iff$    $3x^2-x-2=0$    mimiliki nilai $a=3,b=-1,c=-2$
   Dengan menggunakan $a,b,c,D$ maka
   
                  $D=-b^2-4ac$ 
   
   

                  $D=(-1{)}^2-4.3.(-2)=1+24=25$
    
                   ${\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$     atau        ${\displaystyle x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$
   
                    ${\displaystyle x=\frac{-(-1)+\sqrt{2}5}{2.3}=\frac{1+5}{6}=1}$      atau        ${\displaystyle x=\frac{-(-1)-\sqrt{2}5}{2.3}=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}}$
   
   jadi akar-akarnya adalah ${\displaystyle x=-\frac{2}{3}}$      atau        ${\displaystyle x=1}$
   
   
   
4. Salah satu akar-akar dari persamaan kuadrat $3+7x-a{x}^2=0$ adalah ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$. Tentukan akar-akar yang lainnya!
   
   Jawab 
   
   Andaikan salah satu akar-akarnya adalah ${\displaystyle x=-\frac{1}{3}}$ . Maka salah satu akar-akar tersebut memenuhi persamaan:
   
                            $f(x)=3+7x-a{x}^2=0$ 
   
         ${\displaystyle x=-\frac{1}{3}}$     $\Rightarrow$       $f(-\frac{1}{3})=3+(7\times -\frac{1}{3})-a.{(-\frac{1}{3})}^2=0$ 
   
    $\Rightarrow$       ${\displaystyle f(-\frac{1}{3})=3-\frac{7}{3}-\frac{a}{9}=0}$
   
    $\Rightarrow$       ${\displaystyle \frac{27-21-a}{9}=0}$
   
    $\Rightarrow$       ${\displaystyle \frac{6-a}{9}=0}$      $\Rightarrow$   $a=6$
   
   Dengan demikian persamaannya kuadratnya menjadi: 
   
                            $f(x)=3+7x-a{x}^2=0$ 
   
    $\Rightarrow$                $3+7x-6x^2=0$    memiliki $a=-6,b=7,c=3$
   
   Dengan menggunakan metode $a,b,c,D$ diperoleh 
   
           $D=b^2-4ac=7^2-4.(-6).3=49+72=121$
   
           ${\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$     atau      ${\displaystyle x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$
   
          ${\displaystyle x=\frac{-7+\sqrt{121}}{2.-6}}$     atau      ${\displaystyle x=\frac{-7-\sqrt{121}}{2.-6}}$
   
           ${\displaystyle x=\frac{-7+11}{-12}}$     atau      ${\displaystyle x=\frac{-7-11}{-12}}$
   
           ${\displaystyle x=\frac{4}{-12}=-\frac{1}{3}}$     atau      ${\displaystyle x=\frac{-18}{-12}=1\frac{1}{2}}$
   
   jadi akar-akar yang lainnya adalah ${\displaystyle x=1\frac{1}{2}}$
   

   
   
    
5. Dua bilangan jika dikalikan hasilya 12 namun jika dijumlahkan hasilnya 7. Berapakah bilangan-bilangan itu?
   
   Jawab.
   
   Misalkan bilangan itu adalah x dan y   maka
   
          $x+y=7$    $\Rightarrow$     $y=7-x$
          $x\times y=12$
   
   Dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut diperoleh
   
                  $x\times y=12$    $\iff$      $x\times (7-x)=12$
   
                                                  $\iff$      $7x-x^2=12$
   
                                                  $\iff$      $x^2-7x+12=0$    $a=1,b=-7,c=12$
   
   Dengan menggunakan metode pemfaktoran diperoleh
   
               $x^2-7x+12=(x-4)(x-3)=0$    $\Rightarrow$    $x=4$   atau   $x=3$
   
   Untuk $x=4$  maka $y=7-x=7-4=3$
   
   Untuk $x=3$  maka $y=7-x=7-3=4$
   
   jadi kedua bilangan tersebut adalah 3 dan 4.
   
   
   
   NB:
   Materi mengenai akar-akar persamaan kuadrat ini bisa kalian baca di : "Mencari akar-akar persamaan kuadrat"
   
   
   
   
   

   = Have A Nice Day =