Sudut antara dua tali busur

Hubungan Sudut antara Dua Tali Busur dengan Sudut Pusat

Pada pertemuan kali lalu kita telah membahas mengenai segiempat tali busur pada lingkaran. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai hubungan yang dapat terjadi diantara kedua tali busur. Sepasang tali busur dapat berada dalam posisi saling sejajar, tetapi dapat juga berpotongaan satu dengan yang lainnya. Ketika kedua tali busur berpotongan, maka akan terbentuk sudut pada titik perpotongan tersebut. Dua buah tali busur dapat berpotongan di dalam lingkaran ataupun dapat berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan tali busur tersebut. Nah... bagaimanakah kharakteristik dari sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur tersebut? Berikut penjelasannya.

hubungan di antara beberapa  tali busur pada lingkaran

A. Sudut pada dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Tali busur $\overline {AC}$ berpotongan dengan tali busur $\overline {BD}$ pada lingkaran yang berpusat di O, Keduanya berpotongan di titik E. Kemudian perhatikan gambar berikut ini:
 

Pada gambar (i) nampak bahwa $\angle CBD$ merupakan sudut keliling dan $\angle COD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{DC}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

$\displaystyle \angle CBD =\frac{1}{2}\times \angle COD$ ..... persamaan 1

Pada gambar (ii) nampak bahwa $\angle ACB$ merupakan sudut keliling dan $\angle AOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{AB}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

$\displaystyle \angle ACB =\frac{1}{2}\times \angle AOB$ ..... persamaan 2

Perhatikan $\bigtriangleup BEC$ pada gambar (iii). Nampak bahwa $\angle BEC = 180^o-(\angle BCE + \angle CBE)$ dan pada garis $\overline {BD}$, sudut $\angle BEC$ merupakan sudut pelurus dari $\angle DEC$. Sehingga berlaku

$\angle DEC = 180^o-\angle BEC =180-(180^o-(\angle BCE + \angle CBE)) = \angle BCE + \angle CBE$ ..... persamaan 3

Karena $\angle CBE = \angle CBD$ dan $\angle BCE = \angle ACB$ maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 berlaku

$\angle DEC =  \angle ACB + \angle CBD=\frac{1}{2} \times \angle AOB + \frac {1}{2} \times \angle COD = \frac{1}{2}\times (\angle AOB + \angle COD)$

Dengan demikian kita dapat menentukan hubungan antara sudut yang terbentuk antara dua busur yang berpotongan dengan sudut pusatnya yakni

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. 

$\angle DEC = \frac{1}{2}\times (\angle AOB + \angle COD)$

 

hubungan antara sudut pusat dengan sudut yang terbentuk
dari kedua tali busur yang berpotongaan di dalam lingkaran

B. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Pada gambar di atas nampak bahwa tali busur $\overline {AB}$ dan $\overline {CD}$ berpotongan di luar lingkaran pada titik E. Sudut $\angle AED$ merupakan sudut yang terbentuk dari perpotongan kedua tali busur tersebut. Untuk menentukan besarnya sudut $\angle AED$, perhatikan langkah-langkah berikut ini:

Pada gambar (a) nampak bahwa $\angle BDE$ merupakan sudut keliling dan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{BC}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

$\displaystyle \angle BDE = \frac{1}{2}\times \angle BOC$ ...... persamaan (*)

Pada gambar (b) nampak bahwa $\angle ABD$ merupakan sudut keliling dan $\angle AOD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\overset {\frown}{AD}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

$\displaystyle \angle ABD = \frac{1}{2}\times \angle AOD$ ..... persamaan (**)

Segitiga $\bigtriangleup DBE$ pada gambar (c) memperlihatkan bahwa $\angle DBE =180^o-(\angle BDE +\angle BED)$  dan pada garis $\overline {AE}$, $\angle DBE$ merupakan pelurus dari $\angle ABD$. Dengan demikian berlaku hubungan

$\angle ABD = 180^o-(180^o-(\angle BDE + \angle BED)) = \angle BDE + \angle BED$ ..... persamaan (***)

Karena $\angle BED=\angle AED$ maka dari persamaan (***) diperoleh

$\angle ABD = \angle BDE + \angle BED=\angle BDE + \angle AED$

Dari persamaan terakhir dan persamaan (*) serta persamaan (**)

$\angle ABD = \angle BDE + \angle AED$

$\displaystyle \frac {1}{2} \times \angle AOD = \frac{1}{2} \times BOC + \angle AED$

$\displaystyle \angle AED = \frac{1}{2}\times \angle  AOD - \frac{1}{2} \times \angle BOC = \frac{1}{2}\times(\angle AOD - \angle BOC)$

dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa 

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

 $\angle AED  = \frac{1}{2}\times(\angle AOD-\angle BOC)$

 

Hubungan sudut pusat dengan sudut yang dibentuk dari
dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran.




==== Selamat Belajar ====