Sudut antara dua tali busur

Hubungan Sudut antara Dua Tali Busur dengan Sudut Pusat

Pada pertemuan kali lalu kita telah membahas mengenai segiempat tali busur pada lingkaran. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai hubungan yang dapat terjadi diantara kedua tali busur. Sepasang tali busur dapat berada dalam posisi saling sejajar, tetapi dapat juga berpotongaan satu dengan yang lainnya. Ketika kedua tali busur berpotongan, maka akan terbentuk sudut pada titik perpotongan tersebut. Dua buah tali busur dapat berpotongan di dalam lingkaran ataupun dapat berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan tali busur tersebut. Nah... bagaimanakah kharakteristik dari sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur tersebut? Berikut penjelasannya.

hubungan di antara beberapa  tali busur pada lingkaran

A. Sudut pada dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Tali busur $\overline{AC}$ berpotongan dengan tali busur $\overline{BD}$ pada lingkaran yang berpusat di O, Keduanya berpotongan di titik E. Kemudian perhatikan gambar berikut ini:
 

Pada gambar (i) nampak bahwa $\mathrm{\angle }CBD$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }COD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{DC}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

${\displaystyle \mathrm{\angle }CBD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }COD}$ ..... persamaan 1

Pada gambar (ii) nampak bahwa $\mathrm{\angle }ACB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }AOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{AB}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

${\displaystyle \mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOB}$ ..... persamaan 2

Perhatikan $△BEC$ pada gambar (iii). Nampak bahwa $\mathrm{\angle }BEC={180}^o-(\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE)$ dan pada garis $\overline{BD}$, sudut $\mathrm{\angle }BEC$ merupakan sudut pelurus dari $\mathrm{\angle }DEC$. Sehingga berlaku

$\mathrm{\angle }DEC={180}^o-\mathrm{\angle }BEC=180-({180}^o-(\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE))=\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE$ ..... persamaan 3

Karena $\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }CBD$ dan $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }ACB$ maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 berlaku

$\mathrm{\angle }DEC=\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }CBD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOB+\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }COD=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }COD)$

Dengan demikian kita dapat menentukan hubungan antara sudut yang terbentuk antara dua busur yang berpotongan dengan sudut pusatnya yakni

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. 

$\mathrm{\angle }DEC=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }COD)$

 

hubungan antara sudut pusat dengan sudut yang terbentuk
dari kedua tali busur yang berpotongaan di dalam lingkaran

B. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Pada gambar di atas nampak bahwa tali busur $\overline{AB}$ dan $\overline{CD}$ berpotongan di luar lingkaran pada titik E. Sudut $\mathrm{\angle }AED$ merupakan sudut yang terbentuk dari perpotongan kedua tali busur tersebut. Untuk menentukan besarnya sudut $\mathrm{\angle }AED$, perhatikan langkah-langkah berikut ini:

Pada gambar (a) nampak bahwa $\mathrm{\angle }BDE$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }BOC$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{BC}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

${\displaystyle \mathrm{\angle }BDE=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOC}$ ...... persamaan (*)

Pada gambar (b) nampak bahwa $\mathrm{\angle }ABD$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }AOD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{AD}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

${\displaystyle \mathrm{\angle }ABD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD}$ ..... persamaan (**)

Segitiga $△DBE$ pada gambar (c) memperlihatkan bahwa $\mathrm{\angle }DBE={180}^o-(\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED)$  dan pada garis $\overline{AE}$, $\mathrm{\angle }DBE$ merupakan pelurus dari $\mathrm{\angle }ABD$. Dengan demikian berlaku hubungan

$\mathrm{\angle }ABD={180}^o-({180}^o-(\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED))=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED$ ..... persamaan (***)

Karena $\mathrm{\angle }BED=\mathrm{\angle }AED$ maka dari persamaan (***) diperoleh

$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }AED$

Dari persamaan terakhir dan persamaan (*) serta persamaan (**)

$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }AED$

${\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD=\frac{1}{2}\times BOC+\mathrm{\angle }AED}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }AED=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD-\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOC=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOD-\mathrm{\angle }BOC)}$

dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa 

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

 $\mathrm{\angle }AED=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOD-\mathrm{\angle }BOC)$

 

Hubungan sudut pusat dengan sudut yang dibentuk dari
dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran.




==== Selamat Belajar ====