Altissima

Jumat, 28 Januari 2022

Pembahasan tugas : Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga

 Latihan Soal: 
Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

dikumpulkan pada 29 Januari 2022

Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

  1. Perhatikan gambar berikut ini.



    Jika panjang AB = 8 cm, BC = 9 cm, dan AC =145 cm, tentukan
           a. luas  ABC;
           b. keliling  ABC;
           c. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC.

    Jawab:

    a. Karena ABC merupakan segitiga siku-siku maka berlaku

    Luas ABC=12×BC×AB=12×9×8=36 cm2

    b, Keliling ABC=AB+BC+AC=8+9+145=17+145


    c. panjang jari-jari lingkaran dalam  

    r=luasABCs=3612×kelilingABC=3612×(17+145)=7217+145 


  2. Perhatikan gambar berikut ini!



    diketahui panjang AB = BC = AC = 9 cm. Tentukan 
            a. luas ' ABC;
            b. panjang jari-jari lingkaran luar ' ABC. 

    Jawab

    a. s=12×(AB+BC+AC)=12×3×9=272 cm

            luas ABC=s(sAB)(sBC)(sAC)=272×(2729)3

            luas ABC=272×(92)3=272=8143 cm2



    b. Panjang jari-jari lingkaran luar ABC

    r=AB×BC×AC4×luasABC=3×98143=433=439 cm



  3. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 26 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. Tentukan
            a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
            b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.

    Jawab

    a = 10, c = 26 dan  b = ? .Gunakan phytagoras untuk mencari b

    b=c2a2=262102=676100=576=24

    Luas segitiga =12×a×b=12×10×24=120 cm2

    s=12(a+b+c)=12(10+24+26)=30   

    a. r=luass=12030=4 cm

    b. r=a×b×c4×luas=10×24×264×120=13 cm



  4. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 26 cm, 28 cm, dan 38 cm. Hitunglah
            a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
            b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.

    Jawab:

    a=26,b=28 dan c=38
    s=12(a+b+c)=12(26+28+38)=46

    luas =s(sa)(sb)(sc)=46(4626)(4628)(4638)=46×20×18×8=24230 cm2

    a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga =

    r=luass=2423046=1223023 cm

    b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga =

    r=a×b×c4×luas=26×28×384×24230=17292301380 cm


  5. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Hitunglah
            a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;
            b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga

    jawab:

    Jawab:

    a=8,b=15 dan c=17

    s=12(a+b+c)=12(8+15+17)=20

    luas =s(sa)(sb)(sc)=20(208)(2015)(2017)=20×12×5×3=60 cm2


    a. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga =

    r=luass=6020=3 cm

    b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga =

    r=a×b×c4×luas=8×15×174×60=8,5 cm


==== Selamat Mengerjakan ====



catatan:
Sebagai bahan acuan untuk mengerjakan soal tersebut, dapat kalian baca pada tautan berjudul "Menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga"








Jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga.

Menentukan Panjang Jari - Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga


Setelah kita membahas materi tentang sabuk pada lingkaran, kali ini kita akan mempelajari materi mengenai bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dimana tiga titik pada lingkaran tersebut masing-masing menyinggung sisi-sisi pada segitiga. Pada pembahasan kali ini. kita akan mengenal istilah jari-jari lingkaran dalam segitiga dan jari-jari lingkaran luar segitiga. Namun sebelum kita mengenal lebih jauh mengenai hal itu, kita akan diperkenalkan terlebih dahulu teknik menghitung luas segitiga bila diketahui panjang ketiga sisinya.


A. Menentukan Luas Segitiga Bila Diketahui Panjang Sisi-Sisinya.


 Perhatikan gambar berikut ini:


Gambar di atas menunjukan bahwa segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = c, AC = b dan BC = a. Jika kita menarik garis tegak lurus BC dan melalui A, maka akan didapatkan titik potong garis tegak lurus tersebut dengan garis BC. Misalkan saja titik potong tersebut adalah D. Apabila kita andaikan panjang BD = x, maka panjang CD = a - x. Dengan demikian berdasarkan rumus Phtagoras kita dapatkan:

t2=c2x2   dan  t2=b2(ax)2 ........ persamaan 1

jika kita subtitusikan kedua persaman tersebut maka kita akan mendapatkan   

                c2x2=b2(ax)2 

                c2x2=b2a2+2axx2

                c2b2+a2=2ax

                x=c2b2+a22a

kita subtitusikan persamaan terakhir ke dalam bagian pertama persamaan 1 didapat

                 t2=c2x2

                 t2=c2(c2b2+a22a)2    ingat      p2q2=(pq)(p+q)     

                 t2=(c+c2b2+a22a)(cc2b2+a22a)

                 t2=(2ac+c2b2+a22a)(2ac(c2b2+a2)2a)

                 t2=(c2b2+a2+2ac2a)(c2+b2a2+2ac2a)

                 t2=(c2+2ac+a2b22a)(b2(c22ac+a2)2a)

                 t2=((c+a)2b22a)(b2(ca)22a)

                 t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(b(ca))2a) 

                 t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(bc+a))2a)  ..... persamaan 2


Sekarang misalkan s=12×keliling ABC=12(a+b+c), maka

                 a+b+c=2s       c+a=2sb      a+b=2sc       b+c=2sa   ..... persamaan 3

Sehingga dari persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

                t2=((c+a+b)(c+ab)2a)((b+ca)(bc+a))2a)  

               t2=((s)((2sb)b)2a)(((2sa)a)((2sc)c)2a)  

               t2=((2s)(2s2b)2a)((2s2a)(2s2c)2a)  

              t2=(2(2s)(sb)2a)(2(sa)2(sc)2a)  

              t2=(4(s)(sb)(sb)(sa)a2)  

              t=2a(s)(sb)(sb)(sa)  

Karena Luas ABC=12×a×t, maka dari persamaan terakhir diperoleh

               Luas ABC=12×a×2a(s)(sb)(sb)(sa)

               Luas ABC=(s)(sb)(sb)(sa)

            
Dengan demikian kita sudah dapat menyimpulkan bahwa

Rumus :

" Jika sebuah segitiga memiliki panjang sisi masing-masing adalah a, b dan c, maka luas segitiga tersebut adalah 

               Luas =s(sa)(sb)(sc)        dimana s=12×(a+b+c)


B. Jari-jari Lingkaran  Dalam Segitiga


Sekarang perhatikan gambar berikut ini


Pada gambar di atas nampak a, b, dan c adalah panjang sisi masing-masing segitiga. Setiap sisi segitiga tersebut bersinggungan dengan sebuah lingkaran yang terdapat pada segitiga tersebut. Kita akan menunjukan hubungan antara luas segitiga, panjang sisi segitiga dan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut.

Perhatikan bahwa segitiga ABC terbagi dalam 3 buah segitiga yakni : AOB.AOC  dan  BOC. Jari-jari lingkaran yang terdapat di dalam ABC  merupakan tinggi dari setiap segitiga tersebut. Dengan demikian 

Luas ABC= luas AOB + luas AOC + luas BOC

                   Luas ABC=12.c.r+12.b.r+12.a.r

                   Luas ABC=12r.(a+b+c)

karena (a+b+c) = 2s dan luas segitiga  =s(sa)(sb)(sc)  maka kita dapatkan 

                   Luas ABC=12r.(a+b+c)

                   Luas ABC=12r.2s


                   r=luasABCs=s(sa)(sb)(sc)s


Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

"Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga dibagi setengah dari keliling segitiga, yakni:

  r=luasABCs=s(sa)(sb)(sc)s

C. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga


Untuk memahami jari-jari lingkaran luar segitiga, kalian bisa mengamti gambar berikut ini:


Gambar di atas menunjukan bahwa sebuah segitiga ABC berada di dalam lingkaran yang berjari-jari. Setiap sudut dari ABC menyinggung lingkaran yang berpusat di O. Panjang sisi AB=c,BC=a dan AC=b. Kita akan menentukan apakah ada hubungan antara jari-jari lingkaran dengan panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Sebagai gambaran awalny, coba kalian membuat garis AD yang tegak lurus dengan garis BC. Kemudian kalian buat perpanjangan garis AO sampai memotong lingkaran di titik E. Maka kalian akan mendapati gambar seperti berikut ini:


 
Kalau kalian amati, AE merupakan diameter lingkaran dan ACE merupakan sudut keliling yang menghadap busur AE.  Berdasarkan sifat sudut keliling dan sudut pusat,  maka kita dapatkan:

ACE=12×AOE=12×180o=90o

kemudian perhatikan ABC dan AEC. Kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yakni AC. Maka berdasarkan sifat semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kita dapatkan

ABC=AEC

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa ABD sebanding dengan AEC sehingga berlaku hubungan perbandingan yakni:

AEAB=ACAD

2rc=bAD         sebab AE adalah diameter lingkaran


AD=b×c2r  ............... persamaan (i)

Sekarang kita amati kembali ABC. Dengan mensubtitusikan persamaan (i) maka kita dapatkan luas segitiga tersebut adalah

Luas ABC=12×BC×AD=12×a×(b×c2r)=a×b×c4r

atau

r=a×b×c4×luasABC=a×b×c4s(sa)(sb)(sc)

untuk  s=12×(a+b+c)

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa
"Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perkalian sisi-sisi segitiga dibagi dengan 4 kali luas segitiga tersebut, yakni :

r=a×b×c4×luasABC=a×b×c4s(sa)(sb)(sc)

untuk  s=12×(a+b+c)




===== Selamat Belajar =====















Menentukan panjang sabuk lingkaran

Kalian tentu tahu rantai sepeda bukan? ya... rantai sepeda merupakan bagian dari sepeda yang digunakan sebagai penggerak sepeda. Nah, apakah kalian dapat menghitung panjang rantai sepeda jika diketahui panjang jari-jari gear sepeda? Pada pembahasan kali ini kita akan diperkenalkan contoh penyelesaian bagaimana menghitung panjang sabuk lingkaran. Dengan kalian mengetahui bagaimana langkah-langkah perhitungannya, kalian akan dapat menentukan sendiri panjang rantai sepeda.

Contoh 1

Dua buah gear sepeda memiliki jari-jari sama sebesar 14 cm. Tentukan panjang rantai yang menghubungkan gear speda tersebut!

jawab  
perhatikan gambar berikut


Pada gambar di atas kita mengetahui bahwa dua gear memiliki jari-jari yang sama yakni 14 cm. Dengan demikian panjang AB=CD=2×14=28 cm. Busur AD=BC. Kita akan menentukan panjang busur tersebut untuk mengetahui panjang rantai yang mengelilingi gear 1 dan gear 2.

Perhatikan bahwa busur DA merupakan 12 keliling lingkaran. Karena busur Busur AD=BC , Maka jelas bahwa jumlah panjang rantai yang mengelilingi gear 1 dan gear 2 tidak lain adalah keliling 1 buah gear itu sendiri. Sehingga kita dapatkan

panjang sabuk = keliling lingkaran  +AB+CD=π×diameter+28+28=227×28+56=88+56=144 cm

Jadi panjang rantai yang dibutuhkan adalah 144 cm  



Contoh 2


Diketahui 3 buah lingkaran memiliki jari-jari 7 cm diikat sedemikian rupa seperti gambar berikut ini:


Hitunglah panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat ke tiga lingkaran tersebut!

Jawab:
perhatikan gambar berikut ini


Ketiga lingkaran masing-masing memiliki titik pusat di A, B dan C. Karena masing-masing lingkaran memiliki jari-jari 7 cm, maka  panjang AB = BC = AC = 7 +7 =14 cm. ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga ABC=BCA=BAC=60o. Selain itu karena letaknya yang kosentris terhadap segitiga sama sisi ABC, maka panjang busur DI=UF=GH, Kita akan menentukan panjang masing busur ini untuk menentukan panjang tali yang melingkari masing-masing lingkaran.

Perhatikan lingkaran yang berpusat di A
karena ABDE, BCGF dan  ACHI adalah persegi panjang maka DAB=IAC=902 dan  = AB = 14
Dengan demikian kita dapat menentukan besar sudut DAI yakni
DAI=360oDABIACBAC=360o90o90o60o=120o 

Berdasarkan teori garis singgung lingkaran, maka kita dapatkan

Panjang busur DI=DAI360o×kelilinglingkaranA=120o360o×227×14=13×44=443 cm

Dengan demikian panjang sabuk ketiga lingkaran tersebut dapat kita cari, yakni

Panjang sabuk  =DI+UF+GH+DE+FG+HI
                   =3×(DI+AB)=3×(443+14)=44+42=86 cm

Jadi panjang tali yang dibutuhkan dari 86 cm.


Contoh 3




Gambar di atas adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

Jawab:
sama seperti pada contoh 2, keenam lingkaran tersebut tersusun secara konsentris terhadap segitiga sama sisi yang panjang sisinya =4×24=96 cm. Karena kedudukannya yang konsentris maka besar sudut yang terbentuk pada busur yang dikeliling tali (lingkaran 1, 4 dan 6) sebesar 120o. Dengan demikian

panjang busur =3× panjang sisi segitiga sama sisi + 3× panjang busur yang dikeliling tali =3×96+3×120o360o×3,14×48=288+150,72=438,72 cm




==== Selamat Belajar ====



Kamis, 27 Januari 2022

Pembahasan Tugas harian 1: garis singgung lingkaran kelas 8 SMP (27 Januari 2022)

Latihan Soal Garis Singgung Lingkaran
Kelas 8 SMP 

Tugas dikumpulkan pada 27 Januari 2022
dikirim langsung melalui alamat email: altissimastudycenter@gmail.com


Kerjakan soal berikut dengan benar

  1. Dari garis-garis k, l, m, n, dan p pada gambar di atas, manakah yang merupakan garis singgung lingkaran? 


    jawab:

    Salah satu ciri khas garis singgung lingkaran adalah tidak memotong lingkaran di dua titik tetapi menyentuh lingkaran di satu titik. Oleh karena itu garis yang menyinggung lingkaran pada gambar tersebut adalah garis l, garis n dan garis j.


  2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dengan jari-jari 5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A(0, 5). 

    jawab


  3. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P(3, 2) dan jari-jari 4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik Q(–1, 2).

    jawab :



  4. Berdasarkan keterangan pada gambar berikut, hitunglah panjang setiap garis singgung lingkarannya.


    jawab

    (i)   AB=OB2OA2=7252=4925=24=26  cm

    (ii)  PQ=OP2OQ2=202122=400144=256=16  cm

    (iii) XY=OX2OY2=262102=676100=576=24  cm


  5. Perhatikan gambar berikut:



    Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Jika OA = 10 cm dan OB = 26 cm maka tentukan
              a. panjang garis singgung AB;
              b. luas layang-layang OBAC;
              c. panjang tali busur AC.
    jawab

    a. AB=OB2OA2=262102=676100=576=24  cm

    b. Luas OAB=12×AB×OA=12×24×10=120 cm2

        Jadi luas layang-layang =2×OAB=2×120=240 cm2

    c. Misalkan D adalah titik potong diagonal layang-layang
        Dengan menggunakan perbandingan luas kita dapatkan 

        Luas OAB=12×OB×AD

        120=12×26×AD

        AD=12013
         
        dengan demikian panjang tali busur layang AC=2×AD=2×12013=24013 cm 

  6. Perhatikan gambar berikut.


    Berdasarkan gambar tersebut, benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut?
          a. AB sejajar PQ
          b. AP tegak lurus PQ 
          c. AB = CD
          d. AB = PQ
          e. AP tegak lurus AB di titik A

    jawab:
    a. salah karena PABAPQ dan ABQPQB
    b. Benar berdasarkan sifat garis singgung lingkaran.
    c. Benar berdasarkan sifat garis singgung persekutuan luar lingkaran 
    d. Salah karena AB adalah ruas garis singgung persekutuan luar lingkaran, sedangkan PQ jarak titik pusat kedua lingkaran. berdasarkan sifat garis singgung persekutuan luar panjang PQ > panjang AB 


  7. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah
          a. panjang garis singgung persekutuan dalam;
          b. panjang garis singgung persekutuan luarnya.

    Jawab
    diketahui  p = 24, = 12 dan r = 5
    a. d=p2(R+r)2=242(12+5)2=576289=287 cm

    b. d=p2(Rr)2=242(125)2=57649=527 cm

  8. Perhatikan gambar di atas.


    Panjang jari-jari lingkaran yang berpusat di O adalah 9 cm dan panjang jari-jari lingkaran yang berpusat di P adalah 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm, tentukan
          a. jarak kedua pusat lingkaran;
          b. luas segi empat yang diarsir

    Jawab

    Diketahui d = 12 cm, R = 9 cm dan r = 4 cm 

    a. p=d2+(Rr)2=122+(94)2=144+25=13 cm
    b. Luas daerah yang diarsir =2×luastrapesium=2×12×(R+r)×AB=2×12×(9+4)×12=156 cm2


  9. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. 

    Jawab
    diketahui d = 24 cm, p =26 cm dan  R = 6 cm
    R+r=p2d2
    6+t=26262=676576=100=10       r=106=4cm

     
  10. Panjang jari-jari dua buah lingkaran yang berpusat di O dan P masing-masing adalah 8 cm dan 4 cm. Jarak kedua titik pusatnya 20 cm.
       a. Lukislah garis singgung persekutuan dalamnya.
       b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam tersebut.

  11. Jawab
    diketahui  R = 8 cm, r = 4 cm dan p = 20 cm

    a, 


    b. d=p2(R+r)2=202(8+4)2=400144=256=16 cm





Postingan lainnya

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pad...