Garis singgung lingkaran

Pengertian Garis Singgung Lingkaran dan Kharakteristiknya

Kalian tentu pernah melihat katrol bukan? Ya... sebuah katrol memiliki tali dan sebuah tuas berbentuk roda. Tali tersebut berada pada bagian tepi roda katrol. Kalau kita bayangkan tali itu sebagai garis dan roda katrol sebagai lingkaran, maka seakan-akan terdapat dua buah garis yang menyinggung lingkaran. Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai garis singgung lingkaran. Pokok pembahasan yang akan kita capai adalah mengenal definisi garis singgung serta menentukan panjang garis singgung yang terdapat pada lingkaran.

katrol

A. Pengertian Garis Singgung lingkaran 

    Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran. Hubungan ini  terletak pada kedudukan garis tersebut terhadap lingkaran. Sebuah garis dapat memiliki hubungan dengan lingkaran seperti misalnya garis berada di luar lingkaran, garis memotong lingkaran dan garis menynggung lingkaran di suatu titik. Sebuah garis yang berada di luar lingkaran tidak memiliki titik yang bersentuhan pada lingkaran. Garis yang memotong lingkaran akan menghasilkan dua buah titik potong pada lingkaran tersebut. Sementara garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran di satu titik tertentu. Garis yang menyinggung lingkaran ini selanjutnya akan disebut garis singgung lingkaran.

hubungan garis dengan lingkaran

B. Kharakteristik garis singgung lingkaran

        Apabila kita amati lebih jauh, maka terdapat beberapa ciri khas yang unik pada garis singging ligkaran. Beberapa ciri khas tersebut di antaranya dijelaskan sebagai berikut:

1. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung  lingkaran tersebut
          Jika kita membuat sejumlah garis yang menyinggung lingkaran, maka kita akan mendapatkan bahwa setiap garis tersebut akan memiliki titik singgung lingkaran yang berbeda satu dengan yang lainnya. Hal ini menunjukan bahwa melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat 1 garis yang menyinggung lingkaran tersebut.
   
   

   

   4 buah garis menyinggung lingkaran di 4 titik yang berbeda
   

   
        Kita mungkin bertanya benarkah pernyataan tersebut? Tentu saja pertanyaan ini dapat kita jawab jika kita membuat analisis sebagai berikut 
   
   
   

   
   
          Pada gambar nampak dua buah garis m dan n menyinggung lingkaran di titik P dan Q dan berpotongan di luar lingkaran. Jika kita geser titik perpotongan  tersebut sampai di titik A, maka garis n akan berubah posisi menjadi garis n' dengan titik singgung di S dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m' dengan titik singgung berada di R. Kemudian jika kita geser kembali titik potongnya mendekati lingkaran di titik B, maka maka garis m akan berubah posisi menjadi garis n'' dengan titik singgung di U dan garis garis m akan bergeser menjadi garis m'' dengan titik singgung berada di T. Begitu seterusnya sampai kita geser titik potong tersebut berada pada titik C, yakni titik berada pada lingkaran. Nampak bahwa  garis m dan garis n akan berhimpit/menyatu dengan garis g. Hal ini menunjukan bahwa setiap garis singgung lingkaran hanya memiliki satu titik singgung pada lingkaran tersebut.
   
   
   
2. Setiap garis singgung yang terbentuk pada lingkaran akan berada pada posisi tegak lurus terhadap jari-jarinya di titik tersebut.
           Pernyataan ini dibuktikan oleh Euclid dengan cara yang begitu sederhana di dalam bukunya yang berjudul Element jilid III. mari kita perhatikan gambar berikut ini:
   
   

   

   
   Andaikan terdapat sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan titik pusatnya berada di O. Andaikan pula terdapat sebuah garis yang menyinggung lingkaran tersebut di titik A seperti pada gambar di atas. Karena A berada pada lingkaran maka panjang $\overline{OA}=r$ Jika garis $\overline{OA}$ tidak tegak lurus terhadap garis singgungnya, maka tentunya ada titik P sedemikian sehingga garis $\overline{OP}$ tegak lurus dengan garis singgungnya. Akibatnya garis $|\overline{OP}|<|\overline{OA}=r$ sehingga menjadikannya titik P adalah titik terdekat terhadap titik pusat O. Akan tetapi hal ini mustahil sebab titik P berada di luar lingkaran tersebut. Dengan demikian garis $\overline{OA}$ pastilah tegak lurus dengan garis singgungnya dan $|\overline{OA}|=r$ . Hal ini sudah cukup untuk menunjukan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran.
   
   

   

   Setiap garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran
   
   

   Nah... jika kita sudah tahu bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran, maka dengan mudah kita dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran. Jika sebuah garis menyinggung lingkaran yang berpusat di O pada titik A dan melalui titik P yang berada di luar lingkaran, maka dengan menggunakan phytagoras didapat:
   
   

   $AP=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}$

   
   

   

   
   
   
3. Jika terdapat dua garis yang masing-masing menyinggung lingkaran di titik A dan B dan kedua garis tersebut berpotongan di titik C, maka panjang AC = BC. 
   
   Perhatikan gambar berikut:
   
   
   
   
   Pada gambar nampak dua buah garis singgung lingkaran saling berpotongan di titik C, Seperti kita ketahui, OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian panjang OA = panjang OB = r. Garis $\overline{AC}$ dan $\overline{OA}$ saling tegak lurus. Demikian juga garis $\overline{BC}$ dan $\overline{OB}$ saling tegak lurus, Dengan demikian berlaku hukum phytagoras yakni:
   
   $O{C}^2=O{A}^2+A{C}^2$   dan $O{C}^2=O{B}^2+B{C}^2$
   
   dari kedua persamaan tersebut didapat
   
                      $O{A}^2+A{C}^2=O{B}^2+B{C}^2$
                       $O{A}^2+A{C}^2=O{A}^2+B{C}^2$
                                   $A{C}^2=B{C}^2$
                                       $AC=BC$
   
   Dengan demikian dapat disimpulkan dua buah garis yang menyinggung lingkaran di titik A dan B dan  saling berpotongan di luar lingkaran pada titik C  memiliki panjang AC = panjang BC.
   
   

==== Selamat Belajar ====

Sudut antara dua tali busur

Hubungan Sudut antara Dua Tali Busur dengan Sudut Pusat

Pada pertemuan kali lalu kita telah membahas mengenai segiempat tali busur pada lingkaran. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai hubungan yang dapat terjadi diantara kedua tali busur. Sepasang tali busur dapat berada dalam posisi saling sejajar, tetapi dapat juga berpotongaan satu dengan yang lainnya. Ketika kedua tali busur berpotongan, maka akan terbentuk sudut pada titik perpotongan tersebut. Dua buah tali busur dapat berpotongan di dalam lingkaran ataupun dapat berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan tali busur tersebut. Nah... bagaimanakah kharakteristik dari sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur tersebut? Berikut penjelasannya.

hubungan di antara beberapa  tali busur pada lingkaran

A. Sudut pada dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Tali busur $\overline{AC}$ berpotongan dengan tali busur $\overline{BD}$ pada lingkaran yang berpusat di O, Keduanya berpotongan di titik E. Kemudian perhatikan gambar berikut ini:
 

Pada gambar (i) nampak bahwa $\mathrm{\angle }CBD$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }COD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{DC}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

${\displaystyle \mathrm{\angle }CBD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }COD}$ ..... persamaan 1

Pada gambar (ii) nampak bahwa $\mathrm{\angle }ACB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }AOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{AB}$. Oleh karena itu terdapat hubungan:

${\displaystyle \mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOB}$ ..... persamaan 2

Perhatikan $△BEC$ pada gambar (iii). Nampak bahwa $\mathrm{\angle }BEC={180}^o-(\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE)$ dan pada garis $\overline{BD}$, sudut $\mathrm{\angle }BEC$ merupakan sudut pelurus dari $\mathrm{\angle }DEC$. Sehingga berlaku

$\mathrm{\angle }DEC={180}^o-\mathrm{\angle }BEC=180-({180}^o-(\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE))=\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }CBE$ ..... persamaan 3

Karena $\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }CBD$ dan $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }ACB$ maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 berlaku

$\mathrm{\angle }DEC=\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }CBD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOB+\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }COD=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }COD)$

Dengan demikian kita dapat menentukan hubungan antara sudut yang terbentuk antara dua busur yang berpotongan dengan sudut pusatnya yakni

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. 

$\mathrm{\angle }DEC=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }COD)$

 

hubungan antara sudut pusat dengan sudut yang terbentuk
dari kedua tali busur yang berpotongaan di dalam lingkaran

B. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini:

Sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Pada gambar di atas nampak bahwa tali busur $\overline{AB}$ dan $\overline{CD}$ berpotongan di luar lingkaran pada titik E. Sudut $\mathrm{\angle }AED$ merupakan sudut yang terbentuk dari perpotongan kedua tali busur tersebut. Untuk menentukan besarnya sudut $\mathrm{\angle }AED$, perhatikan langkah-langkah berikut ini:

Pada gambar (a) nampak bahwa $\mathrm{\angle }BDE$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }BOC$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{BC}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

${\displaystyle \mathrm{\angle }BDE=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOC}$ ...... persamaan (*)

Pada gambar (b) nampak bahwa $\mathrm{\angle }ABD$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }AOD$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{AD}$. Dengan demikian berlaku hubungan :

${\displaystyle \mathrm{\angle }ABD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD}$ ..... persamaan (**)

Segitiga $△DBE$ pada gambar (c) memperlihatkan bahwa $\mathrm{\angle }DBE={180}^o-(\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED)$  dan pada garis $\overline{AE}$, $\mathrm{\angle }DBE$ merupakan pelurus dari $\mathrm{\angle }ABD$. Dengan demikian berlaku hubungan

$\mathrm{\angle }ABD={180}^o-({180}^o-(\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED))=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED$ ..... persamaan (***)

Karena $\mathrm{\angle }BED=\mathrm{\angle }AED$ maka dari persamaan (***) diperoleh

$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }BED=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }AED$

Dari persamaan terakhir dan persamaan (*) serta persamaan (**)

$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }BDE+\mathrm{\angle }AED$

${\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD=\frac{1}{2}\times BOC+\mathrm{\angle }AED}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }AED=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOD-\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOC=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOD-\mathrm{\angle }BOC)}$

dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa 

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

 $\mathrm{\angle }AED=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }AOD-\mathrm{\angle }BOC)$

 

Hubungan sudut pusat dengan sudut yang dibentuk dari
dua buah tali busur yang berpotongan di luar lingkaran.




==== Selamat Belajar ====

Segi empat tali busur

        Kharakteristik Segiempat Tali Busur

        Segi empat tali busur merupakan segiempat yang titik sudutnya terletak pada lingkaran. Keempat ruas garis yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut merupakan tali busur pada lingkaran tersebut. Pada gambar di bawah ini, nampak bahwa garis $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD}$  dan $\overline{AD}$ merupakan tali busur yang terhubung sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah segi empat ABCD dimana setiap sudutnya terletak pada lingkaran.

segiempat tali busur

Nah, pada pembahasan kali ini, kita akan diajak untuk memahami kharakteristik dari segiempat tali busur beserta beberapa teorema yang mengikutinya.

A. Sifat-sifat tali busur

Misalkan kita membuat 4 garis yang melalui titik pusat dan menuju ke masing-masing sudut pada segiempat ABCD seperti pada gambar berikut.

hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada segiempat tali busur

Perhatikan bahwa $\mathrm{\angle }DAB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }DOB$ merupakan sudut pusat. Keduanya menghadap busur yang sama yakni $\stackrel{⌢}{DB}$. Dengan demikian berdasarkan  hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama didapat:

$\mathrm{\angle }DAB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC)$ ..... persamaan 1

Tetapi kita juga melihat bahwa $\mathrm{\angle }DCB$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }DOB$ merupakan sudut pusat yang menghadap busur $\stackrel{⌢}{DB}$ pada arah yang berlawanan. Sehingga kita dapatkan juga

$\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB)$ ..... persamaan 2

Tetapi kita tahu juga bahwa $\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB={360}^o$ membentuk satu putaran penuh sehingga

$\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB={360}^o$ ..... persamaan 3

Maka dari persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 kita dapatkan

$\mathrm{\angle }DAB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC)$

$\underset{―}{\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB})$ + 

$\mathrm{\angle }DAB+\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\times (\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }DOA+\mathrm{\angle }AOB)=\frac{1}{2}\times {360}^o={180}^o$

 Hal sama bisa kalian periksa untuk $\mathrm{\angle }ABC$ dan $\mathrm{\angle }ADC$. Jika keduanya dijumlahkan maka akan didapat

$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ADC={180}^o$

Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa

jumlah dari dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah ${180}^o$

 B. Segiempat talibusur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran

Hal yang menarik akan kita amati pada segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran seperti gambar berikut ini:

tali busur persegi panjang

$\overline{AC}$  dan  $\overline{BD}$  masing-masing merupakan diameter lingkaran. Akan tetapi  demikian $\mathrm{\angle }AOC$  dan $\mathrm{\angle }BOD$ bernilai ${180}^o$ dan keduanya merupakan sudut pusat. $\mathrm{\angle }AOC$ merupakan sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\mathrm{\angle }ABC$  dan $\mathrm{\angle }ADC$ sementara $\mathrm{\angle }BOD$ merupakan sudut pusat sudut pusat yang memiliki hubungan dengan sudut keliling $\mathrm{\angle }BAD$ dan $\mathrm{\angle }BCD$. Dengan demikian kita peroleh

${\displaystyle \mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOC=\frac{1}{2}\times {180}^o={90}^o}$

 

${\displaystyle \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BCD=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }BOD=\frac{1}{2}\times {180}^o={90}^o}$

Maka kita mendapatkan fakta bahwa tali busur pada sudut yang saling berhadapan berada pada posisi saling tegak lurus satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu AB sejajar dengan CD dan AD sejajar dengan BC. Menariknya, ABCD membentuk persegi panjang. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Segiempat tali busur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan berbentuk persegi panjang.

 

C. Segiempat tali busur yang diagonalnya saling berpotongan tegak lurus di titik pusat lingkaran

        Lalu pertannyaan selanjutnya adalah bagaimana bentuk segiempat tali busur apabila diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. Untuk menjawab hal ini, perhatikan gambar berikut: 

tali busur persegi

Kalian bisa amati, bahwa bidang ABCD membentuk bidang persegi. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa 

segiempat tali busur dimana diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang berpotongan tegak lurus di titik pusatnya membentuk bidang persegi. 

 ==== Selamat Belajar ====

\

Beberapa Teorema Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Lingkaran      

        Beberapa waktu lalu kalian sudah mengenal apa itu sudut pusat dan sudut keliling. Sebagaimana kalian ketahui, sudut pusat adalah sudut yang dibentuk dari dua buah jari-jari yang berpotongan di titik pusat lungkaran. Sementara, sudut keliling adalah sudut yang dibentuk dari tali busur yang berpotongan di titik yang terdapat pada keliling lingkaran. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah 

Sudut pusat $=2\times$ sudut keliling

Pada pembahasan berikut, kita akan membahas lebih jauh hal-hal yang berkaitan dengan sudut pusat dan sudut keliling. Beberapa diantaranya adalah menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran, menentukan besarnya sudut keliling yang menghadap busur linkaran yang sama, dan menentukan besarnya sudut pada segiempat tali busur. Kita akan membahasnya satu persatu. 

A. Sudut Pusat besarnya 2 kali sudut keliling

        Pada awal pertemuan kita  sudah diperkenalkan sebuah pernyataan bahwa besarnya sudut pusat sama dengan dua kali besarnya sudut keliling. Tentu saja pernyataan ini dapat dibuktikan kebenarannya bila kita memperhatikan penjelasan berikut ini:

Perhatikan gambar

Pada gambar tersebut, $\mathrm{\angle }BAC$ merupakan sudut keliling dan $\mathrm{\angle }BOC$ merupakan sudut pusat. Kedua sudut ini menghadap busur yang sama yakni busur $\stackrel{⌢}{BC}$. Sekarang, apabila kita menarik garis lurus melalui titik A dan titik pusat lingkaran maka kita akan dapatkan gambar sebagai berikut:

Perhatikan bahwa bila $\mathrm{\angle }OAB=x$ dan $\mathrm{\angle }OAC=y$ maka dengan memperhatikan $△AOB$  dan  $△AOC$ kita dapatkan 

$\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }BOD+\mathrm{\angle }COD$              ...... persamaan 1

$\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }OAB+\mathrm{\angle }OAC=x+y$ ...... persamaan 2

Padahal kita tahu panjang $\overline{OA}=\bar{O}B=\bar{O}C=r$. Dengan demikian $△AOB$ dan $△AOC$ merupakan segitiga sama kaki. Akibatnya $\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA$ dan $\mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }OCA$. 

Pada $△AOB$   $\iff$   $\mathrm{\angle }AOB={180}^o-(\mathrm{\angle }OAB+\mathrm{\angle }OBA)={180}^o-(x+x)={180}^o-2x$ ..... persamaan 3

 

Pada $△AOC$   $\iff$   $\mathrm{\angle }AOC={180}^o-(\mathrm{\angle }OAC+\mathrm{\angle }OCA)={180}^o-(y+y)={180}^o-2y$ ..... persamaan 4 

Tetapi kita tahu bahwa $\mathrm{\angle }BOD$ merupakan pelururs dari $\mathrm{\angle }AOB$ dan $\mathrm{\angle }COD$ merupakan pelururs dari $\mathrm{\angle }AOC$. dengan demikian jika kita memperhatikan persamaan 3 dan persamaan 4 maka kita dapatkan

$\mathrm{\angle }BOD={180}^o-\mathrm{\angle }AOB={180}^o-({180}^o-2x)=2x$

$\mathrm{\angle }COD={180}^o-\mathrm{\angle }AOC={180}^o-({180}^o-2y)=2x$

Dari dua persamaan terakhir dan dengan melihat persamaan 1 dan persamaan 2 kita dapatkan

$\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }BOD+\mathrm{\angle }COD=2x+2y=2(x+y)=2\times \mathrm{\angle }BAC$

Dengan demikian terbukti bahwa besarnya sudut pusat sama dengan $2\times$ sudut keliling.

B. Hubungan sudut pusat dengan keliling dan luas lingkaran

Perhatikan gambar berikut:

Karena juring AOB merupakan bagian dari lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku hubungan perbandingan, yakni 

${\displaystyle \frac{\mathrm{\angle }AOB}{{360}^o}=\frac{\begin{array}{cc}busur& \stackrel{⌢}{AB}\end{array}}{\begin{array}{cc}keliling& lingkaran\end{array}}=\frac{\begin{array}{ccc}luas& juring& AOB\end{array}}{\begin{array}{cc}luas& lingkaran\end{array}}}$

            

C. Besarnya sudut keliling yang menghadap diameter

Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar tersebut nampak bahwa $\mathrm{\angle }ACB$ merupakan sudut keliling yang menghadap diameter $\overline{AB}$. Sebagaimana kita tahu bahwa sudut satu putaran penuh = ${360}^o$ dan diameter lingkaran membagi dua lingkaran sama besar. Dengan demikian besarnya $\mathrm{\angle }AOB={180}^o$. Kita pun tahu bahwa $\mathrm{\angle }AOB$ dan $\mathrm{\angle }ACB$ menghadap busur yang sama sehingga mereka mempunyai hubungan sebagai sudut pusat dan sudut keliling. Dengan demikian karena sudut pusat $=2\times$ sudut keliling maka diperoleh:

${\displaystyle \mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }AOB=\frac{1}{2}\times {180}^o={90}^o}$

Nah, dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

• Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki sudut sebesar ${90}^o$
• Semua sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran memiliki 2 tali busur yang saling tegak lurus. 

 

Semua sudut keliling yang menghadap
diameter lingkaran memiliki sudut sebesar ${90}^o$

D. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama 

        Untuk melihat hubungan antara sudut keliling yang menghadap busur yang sama, kalian bisa memperhatikan gambar berikut ini:

Perhatikan bahwa $\mathrm{\angle }DOE$ merupakan sudut pusat dan $\mathrm{\angle }DAE,\mathrm{\angle }DBE$  dan  $\mathrm{\angle }DCE$  merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yakni busur $\stackrel{⌢}{DE}$. Karena kita tahu bahwa hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sudut pusat = $2\times$ sudut keliling maka :

${\displaystyle \mathrm{\angle }DAE=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOE}$  

${\displaystyle \mathrm{\angle }DBE=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOE}$  

${\displaystyle \mathrm{\angle }DCE=\frac{1}{2}\times \mathrm{\angle }DOE}$  

sehingga kita dapatkan

$\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }DBE=\mathrm{\angle }DCE$

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa

Semua sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama seperti halnya dengan sudut pusat, maka besarnya semua sudut keliling tersebut sama yakni setengah dari sudut pusatnya.

 

==== Selamat Belajar ====