Altissima: 2022

Minggu, 06 Februari 2022

Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat

Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pada bagian ini, kita akan mendalami lebih lanjut mengenai bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam menyelesaikan persoalan sehari-hari. Pembahasan pokok dari tulisan ini berkaitan dengan laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat dan contoh persoalan yang berkaitan dengan perihal tersebut. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat pembahasan berikut ini

A. Menghitung Perubahan Rata-Rata dan Perubahan Sesaat

Misalkan kita memiliki fungsi y = f (x) yang bergantung pada nilai x seperti gambar 1. Jika x berubah dari x = c menjadi x = c + h maka perubahan x dan perubahan nilai fungsinya adalah

$\Delta x = (c+h) - c=h$

$\Delta y = f(c+h)- f(c)$

Perhatikan gambar berikut

gambar 1

Dengan demikian kita akan mendapatkan hasil bagi selisih keduanya menjadi

$\displaystyle \frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Persamaan di atas seringkali dikenal dengan laju perubahan rata-rata pada fungsi $f(x)$ terhadap x sepanjang interval [c, c+h].

Lalu apa yang terjadi terhadap laju perubahan rata-rata jika perubahan interval x menjadi semakin kecil mendekati nol, yakni dimana $\Delta x = h \rightarrow 0$. Pendekatan nilai limit terhadap laju perubahan rata-rata ini sering disebut dengan laju perubahan sesaat ketika x = c atau bisa juga disebut dengan kemiringan garis singgung terhadap kurva $y=f(x)$ di titik $(c,f(c))$. Oleh karena itu kita mendapatkan rumus laju perubahan sesaat ketika $\Delta x=h \rightarrow 0$ di titik x = c adalah

laju perubahan sesaat $\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta x}{\Delta y}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

B. Beberapa Contoh Persoalan yang Berkaitan dengan Perubahan Sesaat.

Contoh 1

Sebuah kota dijangkiti epidemi flu. Petugas menaksir bahwa setelah t hari setelah dimulainya epidemi flu, jumlah orang yang terkena penyakit flu ditaksir sebagai sebuah fungsi:

$p(t) = 120 t^2 - 2t^3$ $0\leq t\leq 40$

Berapakah laju menularnya penyakit tersebut pada saat

a. $t = 10$ b. $t = 20$ c. $t = 40$

Jawab :

Misalkan laju perubahan didefinisikan sebagai $p'(t)$, maka

$\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-p(t)}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t+h)^2-2(t+h)^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t^2+2th+h^2-2(t^3+3th^2+3t^2h+h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (240th+120h^2-6th^2-6t^2h-2h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 240t+120h-6th-6t^2-2h^2 $

$\Leftrightarrow$ $=240t+120.0-6t.0-6.t^2-2.0^2=240t-6t^2 $

Dengan demikian kita dapatkan

a. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah

$p'(10)=240.10-6.10^2 =2400-600=1800 $ orang

b. Laju perubahan sesaat ketika t = 20 adalah

$p'(10)=240.20-6.20^2 =4800-2400=2400 $ orang

c. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah

$p'(10)=240.40-6.40^2 =9600-9600=0 $ orang

Contoh 2

Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah T dengan fungsi sebagai berikut

$T=0,1(400-40t+t^2)$ $0 \leq t \leq 12$

a. Tentukan laju perubahan rata-rata dari T terhadap t antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi$

b. Tentukan Laju perubahan sesaat T pada saat t pada jam 5 pagi.

Jawab

a. Laju perubahan rata-rata antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi adalah

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{T(6)-T(5)}{6-1}$

$\Leftrightarrow$ $ =(0,1(400-40.6+6^2))-(0,1(400-40.5+5^2))=0,1(400-240+36)-(400-200+25)$

$\Leftrightarrow$ $ =(0,1(-40+11)=-2,9$

b. Misalkan laju perubahan sesaat adalah $T'$, maka

$\displaystyle T'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {T(t+h)-T(t)}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40(t+h)+(t+h)^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2 \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40t-40h+t^2+2th+h^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2) \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {-40h+2th+h^2 }{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} -40+2t+h=-40+2t+0=-40+2t$

Dengan demikian pada saat $t=5$ laju perubahan suhu sesaat adalah

$T'(5)=-40+2.5=10$

Contoh 3

Suatu perusahaan mulai beroperasi pada tahun 2016. Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut selama t tahun adalah p juta rupiah. dengan

$p(t)=50.000+18.000 t +600t^2$

Tentukan prakiraan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tahun 2023?

Jawab

Misalkan laju perubahan sesaat adalah $p'$, maka

$\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-T(t)}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000(t+h)+600 (t+h)^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2 \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000t+18.000.h+600t^2+1.200th+600h^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2) \right )}{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {18.000h+1.200th+600h^2 }{h}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 18.000+1.200t+600h=18.000+1.200t+0=18.000+1.200t$

Dengan demikian pada saat $t=2023-2016=7$ laju perubahan suhu sesaat adalah

$p'(7)=18.000+1.200\times 7=18.000+8.400=26.400$

=============== 000 ================

Sabtu, 05 Februari 2022

Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1
Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?

Jawab
Pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya

$\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$

Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :

$\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.

Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$

Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$
Apakah yang dimaksud dengan

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$

Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?

Jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.
Perhatikan gambar grafik berikut ini!

Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?

a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$

d. $f(3)$

e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$

Jawab

a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$

d. $f(3)=2$

e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
Perhatikan gambar berikut ini!

Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!

a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$

d. $f(2)$

e. $f(-2)$

Jawab

a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$

d. $f(2)=1$

e. $f(-2)=3$
Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!

$f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$

Jawab

Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$ maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$
Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari

   a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$

d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$

Jawab

a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$   dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$

c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$   dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$

d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$   dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$
Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!

a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$

b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$

Jawab
Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$ ada jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$

a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$

$k =8-10 =-2$

b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$

$\Leftrightarrow$ 2k = -4 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$
Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam tentukan
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$

$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$ dan $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$

Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah

$\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Dimana $m_o $ adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$

jawab

ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$

Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga.
Jelaskan apakah

a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?

Jawab.

a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi. Sementara ketika $x = 1$ nilai $2x - 1$ sama dengan 1

b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1.

======= 000 =======

Teorema Limit

Teorema Limit Fungsi Aljabar

Didalam pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan limit fungsi dengan menggunakan beberapa metode, yakni metode subtitusi, metode pemfaktoran, metode perkalian sekawan dan metode D'Hospital. Metode terakhir akan kita bahas lebih lanjut ketika kalian sudah mempelajari mengenai turunan dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mengenal beberapa teorema yang berkaitan dengan limit dan bagaimana contoh penyelesaian soalnya. Berikut beberapa teorema yang terdapat pada limit fungsi.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k = k$
dimana k adalah suatu konstanta.

contoh:
Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 $

Jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 = 10$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}x = c$

Contoh
Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x $

jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x = \lim_{x\rightarrow 9}9 = 9 $
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k f(x) = k \lim_{x \rightarrow c}f(x)$

dimana k adalah suatu konstanta

Contoh

Tenukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-5x+1) $

jawab
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-x+1) = 4 . \lim_{x \rightarrow 2}(x^2-x+1)=4.\lim_{x \rightarrow 2}(2^2-2+1)=4 . 3= 12$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) + \lim_{x \rightarrow c} g(x)$

Contoh
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$

Jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} + \lim_{x \rightarrow 1} \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1}$

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x-1)(x+2)}{(x-1)(2x - 1)} $

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1} x+1 +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x+2)}{(2x - 1)}= \lim_{x \rightarrow 1} 1+1 + \lim_{x \rightarrow 1}\frac {(1+2)}{(2.1 - 1)}$

$\displaystyle = 2 + \frac {3}{1}=5$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) \times \lim_{x \rightarrow c} g(x)$

contoh
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$

jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$

$\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$

$\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x+2)}{(x-2)}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x -1)}{(2x-1)(x-2)}\right)$

$\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} (x+2)\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x -1)}{(2x-1)}\right)$

$\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} 2+2\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(2 -1)}{(2.2-1)}\right)= 4 \times \frac {1}{3}=\frac {4}{3}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac {(f(x)} {g(x)} =\frac{ \lim_{x \rightarrow c}f(x)} { \lim_{x \rightarrow c} g(x)}$ asalkan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) \neq 0$

Contoh

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)} $

jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)}=\frac {\lim_{ x\rightarrow 2}x^3-2x+1} {\lim_{x\rightarrow 2}3x+5)}=\displaystyle \frac{lim_{x \rightarrow 2} (2^3-2,2+1)}{\lim_{x\rightarrow 2} ( 3.2+5)}=\frac {3}{11}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left ( f(x) \right )^n=\left (\lim_{x \rightarrow c}f(x) \right )^n$ untuk n adalah bilangan asli

contoh

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2$

jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2 = \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2= \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {(x-1)(x+1)}{x+1} \right )^2$

$\displaystyle =\left (\lim_{x \rightarrow -1} (x+1)\right )^2=\left (\lim_{x \rightarrow -1} (-1+1)\right )^2=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sqrt [n]{ f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow c}f(x) }$ untuk n adalah bilangan asli

Contoh

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}$

jawab

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2.4^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}27}=3$

Catatan penting:

Pada kenyataannya kita akan sering menjumpai bentuk $\displaystyle \frac {\lim_{x \rightarrow c}f(x)}{\lim_{x \rightarrow c}g(x)}=\frac {0}{0}$, Oleh karena itu kita tidak dapat menggunakan teorema 6 dalam menghitung nilai limit. Bentuk seperti ini lebih dikenal dengan bentuk tak tentu. Jika kalian mendapati persoalan seperti itu, maka langkah yang tepat adalah dengan mengubahnya kedalam bentuk rasional lalu kemudian menyederhanakan fungsinya sebagaimana yang telah dijelaskan pada tautan sebelumnya. Setelah itu, dilanjutkan dengan menghitung nilai limitnya.

=====000=====

Jumat, 04 Februari 2022

3 Cara menentukan nilai limit fungsi

Cara Menentukan Limit Fungsi

Pada pertemuan sebelumnya, kalian sudah mengetahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} =4$ melalui pendekatan intuitif, yakni dengan menggunakan daftar tabel dan grafik fungsinya. Meskipun metode seperti ini dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya, namun upaya menentukan nilai tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama. Pertanyaan selanjutnya adalah, adakah teknik khusus dalam menentukan nilai limit fungsi tanpa harus menggunakan daftar tabel beserta grafiknya? Jawaban atas pertanyaan tersebut tentu ada. Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari materi tentang bagaimana menentukan nilai limit fungsinya. Beberapa metode tersebut diantaranya adalah metode subtitusi, pemfaktoran dan perkalian sekawan.

A. Metode Subtitusi

Ketika kalian berhadapan dengan limit fungsi, langkah pertama yang wajib kalian usahakan adalah mensubtitusikan nilai $x=c$ untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$. Jika hasil yang didapat nilainya ada (misalnya $f(c)=L$) dan bukan berbentuk $\displaystyle f(c)=\frac {0}{0}$,

Contoh 1

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4}{x-2}$

Jawab

jika kita subtitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan

$\displaystyle f(3) =\frac {3^2-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$

Dengan demikian

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 5$

Lalu bagaimana jika $f(c) =\frac {0}{0}$. Tentu saja metode subtitusi tidak dapat digunakan karena kita melakukan pendekatan terhadap nilai $f(x)$ ketika x mendekati c. Kita akan menggunakan metode lainnya dalam menentukan nilai limit $f(x)$. Namun sebelum melangkah lebih jauh, ada hal penting yang perlu kalian perhatikan yakni, di dalam beberapa kasus kita bisa menduga ada faktor dari $f(x)$ yang menyebabkan ketika $x=c$, maka nilai $\displaystyle f(c) =\frac{0}{0}$. Dugaan sementara tentu saja faktor tersebut adalah $(x-c)$.

Pada kasus $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$ misalnya, kita dapat menduga bahwa ketika $x=2$, maka faktor yang menyebabkan nilai $\displaystyle f(2) =\frac {0}{0}$ adalah $(x-2)$. Jika memang demikian, maka kita akan mengeliminasi faktor $(x-2)$ ini sehingga menghasilkan fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ seolah-olah menjadi bentuk fungsi yang lebih sederhana. Beberapa diantaranya adalah metode pemfaktoran dan perkalian sekawan.

B. Metode Pemfaktoran

Kita kembali ke contoh menentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$. Perhatikan bahwa fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ dapat kita ubah menjadi:

$\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Pada bagian pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir terdapat faktor $(x-2)$ yang menyebabkan ketika $x=2$ nilai $\displaystyle f(2)=\frac {0}{0}$. Karena itu, kita akan menyederhanakan fungsi $f(x)$ tersebut menjadi

Dengan demikian kita bisa menentukan nilai limit $f(x)$ yakni dengan cara mensubtitusikan nilai $x =2$ kedalam persamaan terakhir:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=x+2=2+2=4$

Harap diingat, bentuk penyederhanaan tersebut diperbolehkan karena kita tidak mencari nilai $f(x)$ di $x=2$ melainkan kisaran nilai $f(x)$ ketika x mendekati 2.

Contoh 2

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$

Jawab :

Kita akan cek terlebih dahulu nilai $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$ untuk $x = 3$, yakni:

$\displaystyle f(3)=\frac{3^2-5.3+6}{2.3^2-5.3-3}=\frac{9-15+6}{18-15-3}=\frac{0}{0}$

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni pemfaktoran.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-3)}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\frac{x-2}{2x+1}=\frac{3-2}{2.3+1}=\frac{1}{7}$

C. Perkalian Sekawan

Metode ini acap kali ampuh untuk digunakan pada soal-soal dimana fungsinya berbentuk akar. Salah satu ciri khas dari metode ini adalah mengalikan soalnya dengan kawannya tanpa mengubah bentuk soal tersebut. Asumsi dasarnya adalah bahwa 1 bisa diubah kedalam berbagai macam bentuk pecahan seperti misalnya :

$\displaystyle 1 = \frac{3}{3}=\frac {a+b}{a+b}=\frac {\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt a -\sqrt b}{\sqrt a -\sqrt b}=...$ dst

Beberapa contoh kawan dari suatu fungsi adalah sebagai berikut:

$p(x) = a + b$ maka kawanya adalah $\displaystyle \frac {a - b}{a-b}$
$p(x) = \sqrt {a - b}$ maka kawanya adalah $\displaystyle \frac {\sqrt{a + b}}{\sqrt{a-b}}$
$p(x) = \sqrt {a + b}-\sqrt{a-b}$ maka kawanya adalah $\displaystyle \frac {\sqrt {a +b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt {a-b}}$

Contoh 3

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}$

jawab

Ketika nilai $x = 3$ kita subtitusikan ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan:

$\displaystyle f(3)= \frac {3-\sqrt{18-3^2}}{3-3}=\frac {3-\sqrt 9}{0} =\frac {0}{0}$

karena itu kita tidak dapat menggunakan metode subtitusi. Akan kita coba dengan menggunakan metode perkalian sekawan, yakni:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}=\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-\sqrt {18-x^2}}{x-3}\times \frac {3+\sqrt {18x^2}}{3+\sqrt {18-x^2}}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {9-(18-x^2)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x^2-9}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {(x-3)(x+3)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x+3}{ 3+\sqrt {18-x^2}}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {3+3}{ 3+\sqrt {18-3^2}}=\frac{6}{3+\sqrt 9}=\frac {6}{6}=1$

Dengan demikian kita sudah diperkenalkan 3 macam teknik dasar dalam menentukan nilai dari limit fungsi. Sebenarnya masih ada 1 teknik lagi yang juga cukup ampuh yakni D'hospital. Namun teknik ini memerlukan pemahaman lebih lanjut yakni turunan yang nanti juga akan kalian pelajari setelah kalian menguasai materi limit fungsi. Pada kesempatan kali ini saya hanya akan menunjukan sedikit teorema D'Hospital yang berhubungan dengan limit fungsi:

Teorema D'Hospital :

Jika untuk $x=c$ nilai fungsi $ \displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} =\frac {0}{0}$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow c}\frac {f '(x)}{g ' (x)}$

dimana $f'(x)$ dan $g'(x)$ masing-masing merupakan turunan dari fungsi $f(x)$ dan $g(x)$

======= 0000 ========

Pengantar Limit Fungsi

Pengertian Intuitif Limit Fungsi

Pada bagian sebelumnya kalian sudah mempelajari tentang fungsi. Sebuah fungsi biasanya dinotasikan dengan simbol $f(x)$ dimana mempunyai variabel peubah yakni x. Jika variabel x tersebut digantikan nilainya dengan sebuah bilangan, maka fungsi akan menghasilkan nilai tertentu, Misalnya jika kita memiliki sebuah fungsi $f(x)= 2x^2+3$, maka jika $x=5$ kita dapatkan nilai $f(x)=2.5^2+3=2.25+3=53$.

Nah pada kesempatan ini kita akan mempelajari lebih lanjut materi tentang fungsi. Lebih tepatnya materi tentang limit fungsi. Materi ini berkaitan dengan batas nilai fungsi ketika x mendekati nilai tertentu. Ada kalanya sebuah fungsi $f(x)$ tidak terdefinisi pada saat x bernilai tertentu. Tetapi ketika x mendekati nilai tersebut, justru f (x) mendekati suatu nilai.

Sebagai pendahuluan, mari kita perhatikan fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4} {x-2}$. Apakah fungsi tersebut terdefinisi ketika x = 2? Jika kita amati bersama maka ketika x = 2 nilai fungsi f (x) menjadi

$\displaystyle f(2)=\frac {2^2-4}{2-2}=\frac {4-4}{2-2}=\frac{0}{0}$

Hal ini mengindikasikan bahwa ketika nilai x = 2, fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ menjadi tidak valid. Namun menariknya ketika nilai x mendekati 2 (bisa x < 2 atau x > 2 tetapi nilai x sangat dekat dengan 2) maka nilai $f(x)$ mendekati suatu nilai tertentu yakni $f(x)\approx 4$ seperti terlihat pada tabel berikut ini:

Nilai $\displaystyle f(x) =\frac {x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika $x$ mendekati 2 dari kiri dan kanan

Contoh di atas menunjukan ada f (x) memiliki nilai batas yakni 4 ketika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Nilai batas inilah yang disebut dengan limit. Pembahasan, kali ini kita akan mengulas lebih jauh mengenai nilai batas tersebut.

A. Pengertian Limit

Secara umum, kita dapat menyatakan limit sebagai sebuah pendekatan nilai dari sebuah fungsi. Pada contoh di atas, kita telah diperlihatkan bagaimana fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ mendekati 4 ketika x cukup dekat dengan 2 meskipun $x \neq 2$ dan $f(2)$ tidak ada. Dalam notasi matematika, kita dapat menuliskannya dengan:

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 4$

Di sini kalian perlu ingat bahwa nilai $f(2)\neq \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ sebab nilai $f(2)$ tidak ada. gambar grafik di bawah ini menunjukan bahwa ketika $x = 2$ grafik fungsi $f(x) terputus (berlobang). Berbeda ketika nilai x mendekati 2 dari kiri, grafik $f(x)$ tidak terputus, begiti juga ketika x mendekati 2 dari kanan. Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika yakni limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama dengan L, yakni

grafik fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$

Secara umum kita dapat menuliskan sebuah pernyataan matematika untuk limit $f(x)$ ketika x mendekati c sama denga L, yakni

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

Secara intuitif, kita dapat mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=L$ berarti $f(x)$ mendekati nilai L ketika x mendekati c dari kiri dan kanan tetapi $x \neq c$. Pernyataan $x \neq c$ menegaskan bahwa kita tidak akan pernah menganggap $x = c$ ketika berbicara mengenai limit. Karena itu simbol $x \rightarrow c$ lebih tepat untuk menegaskan bahwa nilai x cukup dekat dengan c baik dari kiri maupun kanan.

Kadangkala seseorang dapat menggunakan simbol $x \rightarrow c^-$ sebagai sarana untuk memahami bahwa nilai x mendekati c dari sisi kiri. Artinya nilai x mendekati c tetapi x < c. Sebaliknya, $x \rightarrow c^+$ menggambar nilai x mendekati c dari kanan yang berarti x mendekati c tetapi x > c. Dengan demikian kita bisa mendapatkan gambaran bahwa jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-}f(x) =L$ dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}f(x) = L$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x) =L$

Agar kalian semakin memahami konsep dasar limit, perhatikan beberapa contoh berikut ini:

Contoh 1.

Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$ jika ada!

Jawab

Apabila kita mensubtitusikan nilai $x=0$ ke dalam persamaan $f(x)$ maka akan didapatkan

$\displaystyle f(0)=\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}=\frac{2-\sqrt{4}}{0}=\frac{2-2}{0}\frac{0}{0}$

Sehingga jelas untuk $x=0$ fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{2-\sqrt{4-0}}{0}$ tidak terdefinisi. Akan tetapi perhatikan tabel dan grafik fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}$

dari tabel dan grafik tersebut nampak bahwa

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=0,25$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$

Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0,25$ , maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0,25$

Contoh 2 Tentukan $\displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0}\frac{2}{x}$ .

Jawab

Perhatikan tabel berikut:

Pada tabel nampak bahwa ketika $x \rightarrow 0^-$ maka nilai $f(x) \rightarrow -\infty$. Pada gambar, grafik $f(x)$ nampak bernilai semakin turun menuju nilai negatif yang semakin besar tak berhingga. Sebaliknya ketika $x \rightarrow 0^+$ maka nilai $f(x) \rightarrow +\infty$. Dari gambar grafiknya jelas bahwa nilai $f(x)$ semakin ke atas mengarah ke nilai positif yang semakin besar tak berhingga. Oleh karena

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac {2}{x}\neq \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x}$ maka $\displaystyle \lim {x \rightarrow 0} \frac {2}{x}$ tidak ada.

Contoh 3

Diberikan fungsi

$\displaystyle fx = \left \{ \begin {matrix} x^2 +5x +10 && x \geq 0 \\ \\ -x^2+2x+10 && x>0 \end {matrix} \right.$.

Tentukan $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$

Pada tabel dan grafik, nampak bahwa ketika x mendekati 0 dari kiri, nilai $f(x)$ mendekati 10. Demikian juga ketika x mendekati 0 dari kanan. Nilai $f(x)$ mendekati 10. Dengan demikian kita dapat menympulkan karena

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=10$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) =10$

Contoh 4 Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \left \lfloor x \right \rfloor$

catatan :

$ \left \lfloor x \right \rfloor$ adalah nilai pembulatan ke bawah sehingga menghasilkan bilangan bulat . contoh

$ \left \lfloor 3 \right \rfloor=3$ $ \left \lfloor -2,01 \right \rfloor=-2$

$ \left \lfloor 3,512 \right \rfloor=3$

Jawab

Perhatikan tabel dan grafik berikut ini!

Pada tabel dan grafik nampak ketika x mendekati 4 dari kiri, nilai $f(x)=3$. Tetapi ketika x mendekati 4 dari kanan, nilai $f(x)=4$. Dengan demikian

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}f(x) \neq \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^+}f(x)$ sehingga $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4}f(x)$ tidak ada.

Kamis, 03 Februari 2022

Pembahasan Soal Matematika Kelas 7 SMP materi Kubus dan Balok

Tugas Harian
Kubus dan Balok

==============000==============

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

Perhatikan gambar berikut!

Manakah pernyataan-pernyataan berikut yang benar?
a. Rusuk IJ // LK // MN // PO .
b. Rusuk JN // KO // IM // LP .
c. Rusuk MN tidak sejajar dengan LP .
d. Rusuk IL // JK // NO // MP

Jawab:
Semua pernyataan tersebut benar
Lukislah sebuah kubus KLMN.OPQR pada kertas berpetak dengan panjang rusuk 5 satuan.
a. Sebutkan pasangan ruas garis yang sejajar.
b. Sebutkan pula tiga pasang ruas garis yang bersilangan.

jawab

a. Pasangan garis yang sejajar
a.1 garis KL // MN // QR //OP
a.2 garis KO // LP // MQ //NR
a.3 garis KN // LM // PQ //OR

b, Pasangan garis yang bersilangan
b.1 KO dengan MN dan QR
b.2 KL dengan MQ dan NR
b.3 KN dengan LM dan MQ
Lukislah sebuah balok ABCD.EFGH pada kertas berpetak dengan ukuran panjang 5 satuan, lebar 3 satuan, dan tinggi 3 satuan.
a. Lukislah semua diagonal bidangnya.
b. Berapa banyak diagonal bidang yang dapat dilukis?

Jawab
a

b. Ada 12 diagonal sisi
Pada bangun balok yang telah kalian lukis (soal nomor 3), lukis diagonal ruangnya. Ada berapa banyak diagonal ruang yang dapat dilukis?
a. Lukislah sebuah kubus EFGH.IJKL pada kertas berpetak dengan panjang rusuk 6 satuan dan
EFGH sebagai bidang alasnya.
b. Hitunglah jumlah panjang diagonal bidang pada kubus tersebut.
c. Hitung pula jumlah panjang diagonal ruang pada kubus tersebut.

Jawab
a.

b.

Ada 12 diagonal bidang pada kubus
c.

Ada 4 diagonal ruang pada kubus
Lukislah sebuah kubus dan sebuah balok. Dapatkah kalian menentukan sifat-sifat kubus dan balok tersebut dipandang dari sisi, rusuk, dan titik sudutnya?

Jawab

Ciri-ciri Kubus
a. Memiliki 12 rusuk sama panjang
b. memiliki 6 sisi berbentuk persegi dan seluruh sudutnya membentuk 90$^o$
c. Memiliki 12 diagonal sisi, 6 bidang diagonal, 4 diagonal ruang.
d. Memiliki 8 titik sudut
e. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang
f. Setiap sisi yang berhimpitan saling tegak lurus satu dengan yang lainnya.

Ciri-ciri balok
a. Memiliki 12 rusuk, 4 rusuk yang saling sejajar berukuran sama panjang
b. Memiliki 8 titik sudut
c. Memiliki 6 sisi yang saling tegak lurus satu dengan sisi yang berhimpitan
d. Memiliki 12 diagonal sisi, 6 diagonal bidang dan 4 diagonal ruang.
e. Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya
kongruen
f. Setiap sisi yang berhimpitan saling tegak lurus terhadap yang lainnya
Lukislah kubus KLMN.OPQR.
a. Berbentuk apakah bangun KLMN? Berapakah luasnya?
b. Berbentuk apakah bangun LMQP? Berapakah luasnya?
c. Menurutmu, bagaimana luas setiap sisi pada suatu kubus?

Jawab

a. Bangun KLMN berbentuk persegi
b. Bangun LMQP berbentuk persegi
c, Luas setiap sisi pada kubus adalah luas persegi yakni $sisi \times sisi$
Lukislah balok ABCD.EFGH.
a. Berbentuk apakah bangun ABCD, BCGF, dan ABFE? Tentukan luasnya.
b. Tentukan pula luas sisi-sisi balok yang lain.
c. Apa yang dapat kalian simpulkan dari jawaban a dan b?

Jawab

a. Bangun ABCD berbentuk persegi panjang dengan luas $=AB \times BC$
Bangun BCGF berbentuk persegi panjang dengan luas $=CG \times BC$
Bangun ABFE berbentuk persegi panjang dengan luas $=AB \times BF$

b. Bangun EFGH berbentuk persegi panjang dengan luas $=EF \times FG$
Bangun CDHG berbentuk persegi panjang dengan luas $=CD \times DH$
Bangun ADHE berbentuk persegi panjang dengan luas $=AD \times DH$

c. Jika $AB = p, BC = l$ dan $AE = t$, maka luas permukaan balok dapat dicari yakni
Luas permukaan balok $ = 2 \times \left ( p\times l + p \times t + l \times t \right )$
Lukislah sebuah kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Berapakah jumlah panjang rusuk kubus tersebut?

Jumlah semua rusuk kubus adalah 12 buah. Karena masing-masing rusuk panjangnya 4 cm, maka total jumlah panjang seluruh rusuk $= 12 \times 4 = 48 $ cm
Sediakan sebuah kaleng bekas roti atau susu. Amatilah kaleng tersebut. Bagaimana sisi kaleng tersebut? Berapakah banyaknya rusuk kaleng tersebut?

Jawab
Sisi kaleng berbentuk persegi panjang. Banyaknya rusuk pada kaleng yang berbentuk balok/kubus adalah 12 buah.
Sukma memiliki kawat sepanjang 156 cm. Ia ingin menggunakan kawat tersebut untuk membuat kerangka kubus. Berapa panjang rusuk kubus agar kawat tidak bersisa?

Jawab
Banyaknya rusuk yang dibutuhkan adalah 12 buah. Dengan demikian panjang setiap rusuk dapat dihitung yakni

$\displaystyle r =\frac{156}{12}=13$ cm
Diketahui sebatang kawat mempunyai panjang 236 cm. Kawat itu akan dibuat model kerangka berbentuk kubus dan balok. Jika ukuran balok tersebut $(12 \times 8 \times 5)$ cm, tentukan panjang rusuk kubus.

Jawab

Panjang total kawat untuk balok $ = 4 \times ( p + l + t) =4 \times (12 + 8 + 5)=4 \times 25=100$ cm

Sisa kawat yang akan digunakan = 236 - panjang total kawat balok = 256 - 100 = 156 cm

Panjang setiap rusuk kubus yang akan dibuat $\displaystyle =\frac {156}{12}=13$ cm
Perhatikan gambar di bawah.

Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka seperti gambar di atas?

Jawab

Jumlah kawat yang dibutuhkan :

Balok besar $=4 \times (18+5+6) =4\times 29 = 116$
Balok kecil $= \underline {4 \times (5+5)+2 \times 12 =40 + 24 =64}$ +
total = 180
Hitunglah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kotak kapur tulis berukuran $(6 \times 4 \times 5)$ cm.

Jawab
panjang kawat yang diperlukan $=4\times (6+4+5)=4\times 15 =60$ cm
Made akan membuat 15 buah kerangka balok yang masing-masing berukuran $30 \times 20 \times 15$ cm. Bahan yang akan digunakan terbuat dari kawat yang harganya Rp1.500/m.
a. Hitunglah jumlah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat balok tersebut.
b. Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli bahan/kawat.

Jawab
a. Jumlah kawat yang diperlukan $= 4\times (30+20+15)=4\times 65=260$ m
b. Biaya yang diperlukan $= 260 \times 1500 = 390.000$
Di antara gambar berikut, manakah yang merupakan jaring-jaring kubus?

Jawab

Di antara gambar tersebut, hanya gambar a dan gambar d yang bukan jaring-jaring kubus. Sementara yang lainnya merupakan jaring-jaring kubus.
Di antara gambar berikut, manakah yang merupakan jaring-jaring balok?

Jawab
hanya gambar a yang bukan jaring-jaring balok
|
Perhatikan jaring-jaring kubus pada gambar di bawah.

Jika nomor 3 sebagai alas kubus, nomor berapakah yang menjadi tutup kubus?

Jawab
Nomor 1
Buatlah model balok dengan panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Carilah kemungkinan-kemungkinan jaring-jaring balok yang berlainan yang dapat dibuat dari balok tersebut. Ada berapakah jaring-jaring balok yang dapat kalian buat?

Jawab

Beberapa contohnya adalah
Hitunglah luas permukaan kubus dengan panjang setiap rusuknya sebagai berikut.
a. 4 cm
b. 10 cm
c. 7 cm
d. 12 cm

Jawab

a. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 4^2=96$ cm$^2$
b. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 10^2=600$ cm$^2$
c. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 7^2=294$ cm$^2$
d. Luas permukaan $=6 \times s^2=6 \times 12^2=864$ cm$^2$
Sebuah benda berbentuk kubus luas permukaannya 1.176 cm$^2$ . Berapa panjang rusuk kubus itu?

Jawab

rusuk kubus $\displaystyle =\sqrt {\frac {Luas}{6}}=\sqrt {\frac {1176}{6}}=14$ cm
Dua buah kubus masing-masing panjang rusuknya 6 cm dan 10 cm. Hitunglah perbandingan luas permukaan dua kubus tersebut.

Jawab

Luas kubus 1 : Luas kubus 2 $=6\times s_1^2 : 6\times s_2^2$

$=6\times 6^2 : 6\times 10^2$

$= 9 : 25$
Hitunglah luas permukaan balok dengan ukuran sebagai berikut.
a. $8 \times 4 \times 2 $ cm
b. $8 \times 3 \times 4 $ cm
c. $9 \times 9 \times 6 $ cm
d. $9 \times 8 \times 4 $ cm

Jawab
a. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
$=2 \times (8 \times 4+8\times 2 + 4\times 2)$
$=2\times (32 +16+8)=2\times 56=112 $ cm$^2$

b. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
$=2 \times (8 \times 3+8\times 4 + 3\times 4)$
$=2\times (24 +32+12)=2\times 68=136 $ cm$^2$

c. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
$=2 \times (9 \times 9+9\times 6 + 9\times 6)$
$=2\times (81 +54+54)=2\times 189=378 $ cm$^2$

d. Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
$=2 \times (9 \times 8+9\times 4 + 8\times 4)$
$=2\times (72 +36+32)=2\times 140=280 $ cm$^2$
Suatu balok memiliki luas permukaan 198 cm$^2$ . Jika lebar dan tinggi balok masing-masing 6 cm dan 3 cm, tentukan panjang balok tersebut.

Jawab

Luas permukaan $= 2\times (p\times l+p\times t+l\times t)$
198 $=2 \times (p \times 6+p\times 3 + 6\times 3)$
198 $=2\times (6p +3p+18)$
198 $= 18p+36$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle p=\frac {198-36}{18}=\frac {162}{18}=9$ cm
Hitunglah perbandingan luas permukaan dua buah balok yang berukuran $(6 \times 5 \times 4)$ cm dan $(8 \times 7 \times 4)$ cm.

Luas balok 1 : Luas balok 2 $=2\times (p_1\times l_1+p_1\times t_1 +l_1 \times t_1) : 2\times (p_2\times l_2+p_2\times t_2 +l_2 \times t_2)$

Luas balok 1 : Luas balok 2 $=2\times (6\times 5+6\times 4 +5 \times 4) : 2\times (8\times 7+8\times 4 +7 \times 4)$

Luas balok 1 : Luas balok 2 $=(30+24+20) : (56+32 +28)$

Luas balok 1 : Luas balok 2 $=74 : 116$

Luas balok 1 : Luas balok 2 $=37 : 58$

Rabu, 02 Februari 2022

Pembahasan Soal Ulangan harian : Balok dan Kubus

Ulangan Harian Matematika

Kelas 8 SMP

Materi : Kubus dan Balok

============ 000 ===========

Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar

A. Soal Pilihan Ganda

Perhatikan gambar berikut ini

Pernyataan di bawah ini benar, kecuali ....
a. AB // DC // EF // HG
b. AE // BF // CG // DH
c. AD // EH // BC // FG
d. AD // BC // BF // CG

jawab:

Jawaban d. karena garis AD tegak lurus dengan garis BF tetapi AD sejajar dengan BC dan bersilangan dengan CG
Perhatikan gambar berikut ini:

Jika rangkaian persegi panjang di atas dilihat sepanjang garis putus-putus, akan terbentuk bangun ....
a. kubus
b. prisma
c. limas
d. balok

Jawab

Gambar tersebut merupakan jaring-jaring balok
Sebuah balok mempunyai luas permukaan 376 cm$^2$. Jika panjang balok 10 cm, lebar balok 6 cm, tinggi balok adalah ....
a. 6 cm
b. 8 cm
c. 7 cm
d. 9 cm

jawab

Luas permukaan balok $=2\times (p\times l+p\times t + l \times t)$
376 $= 2\times (10 \times 6 + 10 \times t + 6\times t)$

$\displaystyle \frac {376}{2}$ $=60 +(10+6) \times t$

188 = 60 + 16 t

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle t=\frac{188-60}{16}=\frac{128}{16}=8$ cm
Sebuah kubus panjang rusuknya 6 cm. Luas permukaan kubus itu adalah ....
a. 36 cm$^2$
b. 432 cm$^2$
c. 216 cm$^2$
d. 1.296 cm$^2$

jawab

luas permukaan kubus $=6\times s^2=6\times 6^2=216$ cm$^2$
Pernyataan di bawah ini yang benar adalah ....
a. Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan jika kedua garis itu tidak berpotongan dan
terletak pada satu bidang.
b. Sebuah balok memiliki enam diagonal ruang.
c. Sebuah balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan
sepasang-sepasang kongruen.
d. Diagonal bidang balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling
berhadapan dalam ruang pada kotak.

jawab
Pernyataan (a) salah karena dua buah garis yang bersilangan terletak pada bidang yang berbeda
Pernyataan (b) salah karena balok memiliki 4 diagonal ruang
Pernyataan (d) salah karena diagonal bidang merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan pada permukaan bidang datar balok.
Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 3 dm. Jika selisih luas sisi kubus itu 234 dm2, selisih volume kedua kubus adalah ....
a. 358 dm$^3$
b. 387 dm$^3$
c. 378 dm$^3$
d. 387,5 dm$^3$

Misalkan R dan r masing-masing merupakan rusuk kubus 1 dan kubus 2, .maka

R - r = 3 dm dan $6R^2 - 6r^2 =234$ dm$^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 =\frac {234}{6}=39$

dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas didapat

$R^2 - r^2 = 39$
$(R - r)(R + r) = 39$
$3 (R + r) = 39$
$\displaystyle R + r =\frac{39}{3} = 13$

Oleh karena itu didapat

$R+r = 13$
$\underline {R-r = 3}$ -
$2r = 10$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r =\frac{10}{2}$

$R+r = 13$
$\underline {R-r = 3}$ +
$2R = 16$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle R =\frac{16}{2}$

Dengan demikian selisih Volume dapat dicari yakni

Volume kubus 1 - Volume kubus 2 $\displaystyle = \left ( \frac {16}{2} \right )^3 - \left ( \frac {10}{2} \right )^3 = \frac{4096-1000}{8}=\frac{3096}{8}=387 $ dm$^3$
Rusuk-rusuk balok yang bertemu pada sebuah pojok balok berbanding 4 : 4 : 1. Jika volume balok 432 liter, luas permukaan balok adalah ....
a. 423 dm$^2$
b. 452 dm$^2$
c. 432 dm$^2$
d. 464 dm$^2$

Jawab

misalkan ukuran rusuk adalah p = 4x, l = 4x dan t = x. maka

Volume balok $=p \times l \times t = 4x \times 4x \times x $

432 $=16 \times x^3$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle x =\sqrt[3] {\frac{432}{16}}=\sqrt[3]{27}=3$

Dengan demikian

Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times 4x + 4x \times x +4x\times x)$

Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times (4x + x + x))$

Luas permukaan balok $= 2\times (4x \times 6x = 48 x^2=48 \times 3^2 = 432 $ dm$^2$
Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah $\displaystyle \frac {1}{2}$ m dan selisih volumenya $\displaystyle \frac{7}{8}$ m$^3$. Jika kubus besar disusun menjadi kubus-kubus kecil yang kongruen dengan panjang rusuk 10 cm, banyaknya kubus-kubus kecil itu adalah ....
a. 10 buah
b. 500 buah
c. 100 buah
d. 1.000 buah

jawab

Misalkan R = rusuk kubus besar dan r = rusuk kubus kecil

maka $\displaystyle R - r = \frac {1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r = R - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle r^3 = \left ( R - \frac{1}{2} \right )^3$ ..... persamaan 1

$\displaystyle R^3 - r^3 = \frac {7}{8}$ $\Leftrightarrow$ $r^3=R^3 - \frac{7}{8}$ ..... persamaan 2

dari persamaan 1 dan 2 diperoleh

$ \left ( R- \frac{1}{2} \right )^3 = R^3 - \frac{7}{8}$

$ R^3 + \frac{3r}{4} -\frac {3R^2}{2}-\frac {1}{8} = R^3 -\frac{7}{8}$

$ \frac{3R}{4} -\frac {3R^2}{2}-\frac {1}{8} + \frac{7}{8}= 0$

$ \frac{3R}{4} -\frac {3R^2}{2}+\frac {6}{8} = 0$ kalikan 4

$ -6R^2 +3R+ 3 = 0$ $\Leftrightarrow$ $2R^2 - r -1= 0$

$\Leftrightarrow$ $(2R + 1)(R -1)= 0$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle R = -\frac {1}{2}$ atau $ R = 1$

Karena ukuran jarak bernilai positif, pilih R = 1 m = 100 cm dan $\displaystyle r =R-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ m $\displaystyle =\frac{1}{2}\times 100 =50$ cm . Dengan demikian jumlah kubus kecil berukuran 10 cm yang dapat mengisi kubus dengan R = 100 cm adalah :

Jumlah kubus kecil $\displaystyle = \frac{100^3}{10^3}=\left ( \frac{100}{10} \right )^3=10^3 = 1000 $ kubus
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = (x + 1) cm, BC = x cm, dan AC = (x + 2) cm. Jika tinggi balok 2 cm, volume balok adalah ....
a. 9 cm$^3$
b. 42 cm$^3$
c. 24 cm$^3$
d. 48 cm$^3$

Jawab

Dengan menggunakan rumus phytagoras diperoleh

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

$ (x+1)^2 + x^2 = (x+2)^2$

$ x^2+2x+1 + x^2 = x^2+4x+4$

$ x^2-2x-3 =0$ $\Leftrightarrow$ $(x-3)(x+1)=0$ $\Leftrightarrow$ $x = 3$ atau $x=-1$

Pilih x = 3, didapat AB = 4, BC = 3 dan AC = 5. Dengan demikian volume balok adalah

Volume $= AB \times BC \times tinggi = 4 \times 3 \times 2 =24$ cm$^2$
Sebuah kubus memiliki rusuk sepanjang 6 cm. Rusuk itu diperpanjang sebesar k kali panjang rusuk semula, sehingga volumenya menjadi 1.728 cm3. Nilai k adalah ....
a. 2
b. 6
c. 4
d. 8

jawab

karena R = 6k, maka

Volume $=R^3$ $\Leftrightarrow$ $ 1728 =(6k)^3$

$\Leftrightarrow$ $ 1728 =216 k^3$

$\Leftrightarrow$ $ \displaystyle k =\sqrt[3]{\frac {1728}{216}}=\sqrt[3]{8}=2 $

B. Soal Essay

Jawab pertanyaan ini dengan jelas

Pada kertas berpetak, lukislah balok PQRS.TUVW dengan panjang 4 satuan, lebar 2 satuan, dan tinggi 3 satuan.
a. Lukislah semua diagonal ruangnya.
b. Ada berapa banyak diagonal bidangnya, sebutkan.

Jawab

a.

b. karena balok memiliki 6 sisi dan masing-masing sisi memiliki 2 diagonal bidang, maka
banyaknya diagonal bidang pada balok adalah $2\times 6= 12$ buah.
Hitunglah luas permukaan balok jika diketahui
a. V = 24 cm3, p = 4 cm, dan l = 3 cm;
b. V = 315 cm3, p = 9 cm, dan l = 7 cm.

Jawab:
a. Volume $=p \times l \times t$
24 $=4 \times 3 \times t$ $Leftrightarrow$ $\displaystyle t=\frac{24}{12}=2$ cm

Luas permukaan $= 2\times (p\times l +p\times t + l\times t)$
$=2\times (4\times 3+4 \times 2 +3\times 2)$
$=2\times(12+8+6)=52$ cm$^2$

b. Volume $=p \times l \times t$
315 $=9 \times 7 \times t$ $Leftrightarrow$ $\displaystyle t=\frac{315}{63}=5$ cm

Luas permukaan $= 2\times (p\times l +p\times t + l\times t)$
$=2\times (9\times 7+9 \times 5 +7\times 5)$
$=2\times(63+45+35)=286$ cm$^2$
Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 2 m. Kubus tersebut tersusun dari kubus-kubus kecil dengan panjang setiap rusuknya 20 cm.
a. Tentukan volume kubus besar dan kubus kecil.
b. Berapa banyak kubus kecil hingga tersusun kubus besar?

jawab

a. Volume kubus besar $=200^3=8.000.000$ cm$^3$
Volume kubus kecil $=20^3=8.000$ cm$^3$

b. Banyaknya kubus kecil $\displaystyle =\frac{8.000.000}{8.000}=1.000$ buah
Luas permukaan sebuah kubus adalah 294 cm$^2$. Hitunglah
a. panjang diagonal bidangnya;
b. panjang diagonal ruangnya;
c. volume kubus.

Jawab:
Luas permukaan $ = 6 \times s^2$
294 $ = 6 \times s^2$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle s=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7$ cm

a. Panjang diagonal bidang $=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt 2$ cm
b. Panjang diagonal ruang $=\sqrt{7^(7\sqrt 2)^2}=7\sqrt 3$ cm
c. Volume $=s^3=7^3=343$ cm$^3$
Diketahui tempat air berukuran panjang 60 cm, lebar 50 cm, dan tinggi 100 cm berisi air penuh. Air tersebut akan dikurangi dengan cara melubangi tempat tersebut, hingga air yang keluar ditampung dalam tempat lain yang berukuran $(40 \times 30 \times 20)$ cm.
a. Tentukan volume penampungan air.
b. Tentukan tinggi permukaan air pada tempat pertama setelah dikurangi.

Jawab

a. Volume penampungan air $=40 \times 30 \times 20 =24000$ cm$^3$
b. Volume bak air $=60\times 50\times 100=300.000$ cm$^3$
Selisih volume $=300.000-24.000=276.000$ cm$^3$

tinggi air dalam bak setelah dikurangi $\displaystyle =\frac{276.000}{60\times 50}=\frac{276.000}{3000}= 92$ cm.