Aplikasi teori limit dalam menghitung Laju perubahan sesaat

Perubahan Rata-rata dan Perubahan Sesaat

Sejauh ini kita telah mempelajari mengenai konsep dasar limit dan beberapa teorema di dalamnya. Pada bagian ini, kita akan mendalami lebih lanjut mengenai bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam menyelesaikan persoalan sehari-hari. Pembahasan pokok dari tulisan ini berkaitan dengan laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat dan contoh persoalan yang berkaitan dengan perihal tersebut. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat pembahasan berikut ini


A. Menghitung Perubahan Rata-Rata dan Perubahan Sesaat

Misalkan kita memiliki fungsi y = f (x) yang bergantung pada nilai x seperti gambar 1. Jika x berubah dari x = c   menjadi x = c + h  maka perubahan x dan perubahan nilai fungsinya adalah  

$\Delta x = (c+h) - c=h$

$\Delta y = f(c+h)- f(c)$

 

Perhatikan gambar berikut

gambar 1

Dengan demikian kita akan mendapatkan hasil bagi selisih keduanya menjadi

$\displaystyle \frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Persamaan di atas seringkali dikenal dengan laju perubahan rata-rata pada fungsi $f(x)$ terhadap x sepanjang interval [c, c+h].

Lalu apa yang terjadi terhadap laju perubahan rata-rata jika perubahan interval x menjadi semakin kecil mendekati nol, yakni dimana $\Delta x = h \rightarrow 0$. Pendekatan nilai limit terhadap laju perubahan rata-rata ini sering disebut dengan laju perubahan sesaat ketika x = c atau bisa juga disebut dengan kemiringan garis singgung terhadap kurva $y=f(x)$ di titik $(c,f(c))$. Oleh karena itu kita mendapatkan rumus laju perubahan sesaat ketika $\Delta x=h \rightarrow 0$ di titik x = c adalah

laju perubahan sesaat $\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta x}{\Delta y}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

 

B. Beberapa Contoh Persoalan yang Berkaitan dengan Perubahan Sesaat.

Contoh 1

Sebuah kota dijangkiti epidemi flu. Petugas menaksir bahwa setelah t hari setelah dimulainya epidemi flu, jumlah orang yang terkena penyakit flu ditaksir sebagai sebuah fungsi:

$p(t) = 120 t^2 - 2t^3$        $0\leq t\leq 40$

Berapakah laju menularnya penyakit tersebut pada saat

      a. $t = 10$                    b. $t = 20$                         c. $t = 40$

Jawab :

Misalkan laju perubahan didefinisikan sebagai $p'(t)$, maka

     $\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-p(t)}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t+h)^2-2(t+h)^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (120 (t^2+2th+h^2-2(t^3+3th^2+3t^2h+h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left (240th+120h^2-6th^2-6t^2h-2h^3 \right )- \left (120t^2-2t^3 \right )}{h}$

      $\Leftrightarrow$   $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 240t+120h-6th-6t^2-2h^2 $

      $\Leftrightarrow$   $=240t+120.0-6t.0-6.t^2-2.0^2=240t-6t^2 $

Dengan demikian kita dapatkan

     a. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p'(10)=240.10-6.10^2 =2400-600=1800 $ orang

     b. Laju perubahan sesaat ketika t = 20 adalah 
  
         $p'(10)=240.20-6.20^2 =4800-2400=2400 $ orang


     c. Laju perubahan sesaat ketika t = 10 adalah 
  
         $p'(10)=240.40-6.40^2 =9600-9600=0 $ orang



Contoh 2

Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah T dengan fungsi sebagai berikut

$T=0,1(400-40t+t^2)$         $0 \leq t \leq 12$

     a. Tentukan laju perubahan rata-rata dari T terhadap t antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi$

     b. Tentukan Laju perubahan sesaat T pada saat t pada jam 5 pagi.

Jawab

a. Laju perubahan rata-rata antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi adalah

          $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{T(6)-T(5)}{6-1}$

            $\Leftrightarrow$   $ =(0,1(400-40.6+6^2))-(0,1(400-40.5+5^2))=0,1(400-240+36)-(400-200+25)$

           $\Leftrightarrow$   $ =(0,1(-40+11)=-2,9$


b. Misalkan laju perubahan sesaat adalah $T'$, maka


          $\displaystyle T'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {T(t+h)-T(t)}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40(t+h)+(t+h)^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2 \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 0,1 (400-40t-40h+t^2+2th+h^2 \right )- \left ( 0,1(400-40t+t^2) \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {-40h+2th+h^2 }{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} -40+2t+h=-40+2t+0=-40+2t$

    Dengan demikian pada saat $t=5$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $T'(5)=-40+2.5=10$



Contoh 3

Suatu perusahaan mulai beroperasi pada tahun 2016. Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut selama t tahun adalah p juta rupiah. dengan 

$p(t)=50.000+18.000 t +600t^2$

Tentukan prakiraan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tahun 2023?

Jawab

Misalkan laju perubahan sesaat adalah $p'$, maka


          $\displaystyle p'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {p(t+h)-T(t)}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000(t+h)+600 (t+h)^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2 \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\left ( 50.000+18.000t+18.000.h+600t^2+1.200th+600h^2 \right )- \left ( 50.000+18.000t+600t^2) \right )}{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {18.000h+1.200th+600h^2 }{h}$

           $\Leftrightarrow$  $\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} 18.000+1.200t+600h=18.000+1.200t+0=18.000+1.200t$

    Dengan demikian pada saat $t=2023-2016=7$ laju perubahan suhu sesaat adalah

            $p'(7)=18.000+1.200\times 7=18.000+8.400=26.400$

=============== 000 ================

Latihan soal limit bagian 1

Latihan soal 1

Materi Pengantar Limit Fungsi

Kerjakan soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa yang dimaksud dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$
   apakah hal itu juga berarti $f(-2)=7$?
   
   Jawab
   
   Pernyataan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x) =7$ memiliki arti untuk x mendekati -2, nilai $f(x)$ mendekati 7 meskipun pada kenyataannya $f(-2)$ belum tentu terdefinisi  ketika $x = -2$. Sebagai contoh misalnya
              
                  $\displaystyle f(x) = \frac {x^2+11x+18}{x+2}$
   
   Ketika nilai $x=-2$ disubtitusikan kedalam $f(x)$, maka akan didapatkan nilai :
   
                 $\displaystyle f(-2) =\frac {(-2)^2+11.(-2)+18}{-2+2}=\frac {4-22+18}{0}=\frac{0}{0}$.
   
   Karena $\displaystyle f(-2) =\frac {0}{0}$, maka  $f(x)$ tidak terdefinisi ketika $x = -2$
   
   Sementara $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+11x+18}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+9)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x+9=-2+9=7$
   
   
   
2. Apakah yang dimaksud dengan
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-4$
   
   Dalam keaadaan tersebut,apakah $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ ada ?
   
   Jawab
   
   
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x < 1) maka nilai $f(x)$ mendekati 5. Sementara $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=5$ berarti ketika x cukup dekat dengan 1 dari kiri (x > 1) maka nilai $f(x)$ mendekati -4. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)\neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$  sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.
   
   
   
   
3. Perhatikan gambar grafik berikut ini!
   
   
   
   
   Apakah masing-masing nilai limit berikut ini ada? jika tidak mengapa?
   
             a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
             d. $f(3)$
   
             e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$
   
   
   Jawab
   
             a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 3,2$
   
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=3$
   
             c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=1$
   
             d. $f(3)=2$
   
              e. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}f(x)$  tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x) \neq  \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)$
   
   
   
4. Perhatikan gambar berikut ini!
   
   
   
   
   
         Berdasarkan gambar di atas, tentukan nilai berikut ini!
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
   
                    d. $f(2)$
   
                    e. $f(-2)$
   
   
   Jawab
   
   
                    a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}f(x)$ tidak ada karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)=1$  dan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)$ tidak ada sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$
   
   
                    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=1$
   
                    c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= 3$
   
                    d. $f(2)=1$
   
                    e. $f(-2)=3$
   
   
   
5. Gambarkanlah sketsa grafik fungsi f  berikut dan gunakanlah grafik tersebut untuk menentukan nilai c sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$ ada!
   
                       $f(x) = \left \{ \begin {matrix} x^2+5 &&& x<1 \\ \\ 6x &&& x \geq 1 \end {matrix} \right.$ 
   
   
   Jawab
   
   
   
   
   
   Grafik menunjukan bahwa ketika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai $f(x)$ mendekati 6. Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=6$. Demikian juga sebaliknya, ketika x mendekati 1 dari kanan, nilai $f(x)$ mendekati 6 sehingga $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$. Karena $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=6$  maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=6$
   
   
   
6. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai dari
   
   

          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2$

   
          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1$
   
          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}$
   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}$
   
   Jawab
   
          a. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}3x+2=-4$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}3x+2=-4$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}3x+2=-4$
   
   

   

   
   
   
   

          b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x^2+2x-1=7$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x^2+2x-1=7$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2+2x-1=7$
   
   

   

   
   
   
   

          c. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}\frac {2}{x+2}=0,5$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\frac {2}{x+2}=0,5$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac {2}{x+2}=0,5$
   
   

   
   
   
   

   
          d. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$      dan      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$.   Dengan demikian $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\frac {x^2-1}{2x+2}=-1$
   
   

   

   
   
   
7. Tentukan nilai k sehingga limit berikut ada!
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) =\left \{ \begin {matrix} 3x+2 &&& x\leq 2 \\ \\ 5x+k &&& x>2 \end {matrix} \right.$
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) =\left \{ \begin {matrix} kx-3 &&& x\leq -1 \\ \\ x^2+k &&& x>-1 \end {matrix} \right.$
   
   Jawab
   Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)$  ada   jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+}f(x)$
   
          a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3x+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5x+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 3.2+2= \lim_{x \rightarrow 2^+}5,2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-} 8= \lim_{x \rightarrow 2^+}10+k$
    
             $k =8-10 =-2$
   
   
          b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} kx-3= \lim_{x \rightarrow 1+}x^2+k$             

    
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} k.(-1)-3= \lim_{x \rightarrow 1+}(-1)^2+k$
   
              $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} -k-3= \lim_{x \rightarrow 1+}1+k$
   
              $\Leftrightarrow$    2k = -4       $\Leftrightarrow$     $\displaystyle k=\frac {-4}{2}=-2$
   
   
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukan banyaknya $f(t)$ obat didalam aliran darah selama t jam   tentukan 

   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$   dan    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)$
dan jelaskan arti penting limit satu arah ini!





jawab

$displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$   dan    $displaystyle \lim_{x \rightarrow 12^-} f(t)=150 mg$

Dengan demikian pada saat t mendekati 12 jam, jumlah dosis obat dalam aliran darah mendekati 150 mg.


9. Dalam teori relativitas, massa yang bergerak dalam kecepatan v adalah 
   
   

   $\displaystyle m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

   
   Dimana $m_o $  adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya. Apa yang terjadi ketika $v \rightarrow c^-$
   
   jawab
   
   ketika $v \rightarrow c^-$, maka $\displaystyle \lim_{v\rightarrow c^-} \frac {m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\lim_{c\rightarrow c^-}\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{(c^-)^2}{c^2}}}=\lim_{x \rightarrow c^-}\frac{m}{0^+}=+\infty$
   
   Dengan demikian massa yang bergerak dalam kecepatan $v \rightarrow c^-$ akan menjadi besar tak berhingga.
   
   
   
10.   Jelaskan apakah 
    
             a. $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$ ?
    
             b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}2x-1$ ? mengapa?
    
    Jawab.
    
    a. Pernyataan $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ tidak sama dengan  $2x-1$, sebab ketika $x=1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\frac {0}{0}$ sehingga nilainya menjadi tak terdefinisi.  Sementara ketika $x = 1$  nilai $2x - 1$ sama dengan 1
    
    
    b. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(2x-1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}2x-1=2.1-1 =1$. Meskipun hasilnya sama dengan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow}2x-1$ namun hal itu tidak berarti $\frac {2x^2-3x+1}{x-1}=2x-1$. Sebab pernyataan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ menunjukan ketika $x\rightarrow 1$ nilai $\displaystyle \frac {2x^2-3x+1}{x-1}$ mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. 
    
    

======= 000 =======

Teorema Limit

Teorema Limit Fungsi Aljabar

Didalam pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan limit fungsi dengan menggunakan beberapa metode, yakni metode subtitusi, metode pemfaktoran, metode perkalian sekawan dan metode D'Hospital. Metode terakhir akan kita bahas lebih lanjut ketika kalian sudah mempelajari mengenai turunan dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mengenal beberapa teorema yang berkaitan dengan limit dan bagaimana contoh penyelesaian soalnya. Berikut beberapa teorema yang terdapat pada limit fungsi.

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k = k$
   dimana k adalah suatu konstanta.
   
   contoh:
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 $
   
   Jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8}10 = 10$
   
                 
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}x = c$
    
   Contoh 
                  Tentukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x $
   
   jawab 
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9}x = \lim_{x\rightarrow 9}9 = 9 $
   
   
   
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}k f(x) = k \lim_{x \rightarrow c}f(x)$
   
   dimana k adalah suatu konstanta
   
   Contoh
   
                   Tenukan $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-5x+1) $
   
   jawab
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}4(x^2-x+1) = 4 . \lim_{x \rightarrow 2}(x^2-x+1)=4.\lim_{x \rightarrow 2}(2^2-2+1)=4 . 3= 12$
   
   
   
4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) + \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   Contoh
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
   Jawab
   
                   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left ( \frac{x^2-1}{x-1} \right ) + \left ( \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1} \right )$
   
                           $\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 1}  \frac{x^2-1}{x-1} +   \lim_{x \rightarrow 1}  \frac {x^2+x-2}{2x^2 - 3x +1}$
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x-1)(x+2)}{(x-1)(2x - 1)} $
   
                           $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}  x+1 +\lim_{x \rightarrow 1}\frac {(x+2)}{(2x - 1)}= \lim_{x \rightarrow 1}  1+1 + \lim_{x \rightarrow 1}\frac {(1+2)}{(2.1 - 1)}$
   
                           $\displaystyle = 2 + \frac {3}{1}=5$
   
     
5. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \rightarrow c}f(x) \times \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
   
   contoh
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left (\frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left ( \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-4}{x-2}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2-3x +2}{2x^2-5x+2}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x+2)}{(x-2)}\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x-2)(x -1)}{(2x-1)(x-2)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} (x+2)\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x -1)}{(2x-1)}\right)$
   
                           $\displaystyle = \left (\lim_{x \rightarrow 2} 2+2\right ) \left (\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(2 -1)}{(2.2-1)}\right)= 4 \times \frac {1}{3}=\frac {4}{3}$
   
   
   
6. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac {(f(x)} {g(x)} =\frac{ \lim_{x \rightarrow c}f(x)} { \lim_{x \rightarrow c} g(x)}$   asalkan  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) \neq 0$
   
   Contoh
   
                  Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)} $
   
   jawab
   
                  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^3-2x+1} {3x+5)}=\frac {\lim_{ x\rightarrow 2}x^3-2x+1} {\lim_{x\rightarrow 2}3x+5)}=\displaystyle \frac{lim_{x \rightarrow 2} (2^3-2,2+1)}{\lim_{x\rightarrow 2} ( 3.2+5)}=\frac {3}{11}$
   
   
   
7. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left ( f(x) \right )^n=\left (\lim_{x \rightarrow c}f(x) \right )^n$  untuk n adalah bilangan asli
   
   contoh
   
                 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2$ 
   
   jawab
   
                 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left ( \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2 =  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {x^2-1}{x+1} \right )^2=  \left (\lim_{x \rightarrow -1} \frac {(x-1)(x+1)}{x+1} \right )^2$
   
                         $\displaystyle =\left (\lim_{x \rightarrow -1} (x+1)\right )^2=\left (\lim_{x \rightarrow -1} (-1+1)\right )^2=0$
   
   
   
8. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sqrt [n]{ f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow c}f(x) }$  untuk n adalah bilangan asli
   
   Contoh
   
                   Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}$
   
   jawab
   
                    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \sqrt [3]{2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2x^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}2.4^2-5}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow 4}27}=3$
   
                          
   

Catatan penting:

Pada kenyataannya kita akan sering menjumpai bentuk $\displaystyle \frac {\lim_{x \rightarrow c}f(x)}{\lim_{x \rightarrow c}g(x)}=\frac {0}{0}$, Oleh karena itu kita tidak dapat menggunakan teorema 6 dalam menghitung nilai limit. Bentuk seperti ini lebih dikenal dengan bentuk tak tentu. Jika kalian mendapati persoalan seperti itu, maka langkah yang tepat adalah dengan mengubahnya kedalam bentuk rasional lalu kemudian menyederhanakan fungsinya sebagaimana yang telah dijelaskan pada tautan sebelumnya. Setelah itu, dilanjutkan dengan menghitung nilai limitnya.

=====000=====

3 Cara menentukan nilai limit fungsi

Cara Menentukan Limit Fungsi

Pada pertemuan sebelumnya, kalian sudah mengetahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} =4$ melalui pendekatan intuitif, yakni dengan menggunakan daftar tabel dan grafik fungsinya. Meskipun metode seperti ini dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya, namun upaya menentukan nilai tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama. Pertanyaan selanjutnya adalah, adakah teknik khusus dalam menentukan nilai limit fungsi tanpa harus menggunakan daftar tabel beserta grafiknya? Jawaban atas pertanyaan tersebut tentu ada. Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari materi tentang bagaimana menentukan nilai limit fungsinya. Beberapa metode tersebut diantaranya adalah metode subtitusi, pemfaktoran dan perkalian sekawan.

A. Metode Subtitusi 

Ketika kalian berhadapan dengan limit fungsi, langkah pertama yang wajib kalian  usahakan adalah mensubtitusikan nilai $x=c$ untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)$. Jika hasil yang didapat nilainya ada (misalnya $f(c)=L$)  dan bukan berbentuk $\displaystyle f(c)=\frac {0}{0}$, 

Contoh 1 

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4}{x-2}$

Jawab

jika kita subtitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan

                  $\displaystyle f(3) =\frac {3^2-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$

 

          Dengan demikian

                            $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}= 5$

Lalu bagaimana jika $f(c) =\frac {0}{0}$. Tentu saja metode subtitusi tidak dapat digunakan karena kita melakukan pendekatan terhadap nilai $f(x)$ ketika x mendekati c. Kita akan menggunakan metode lainnya dalam menentukan nilai limit $f(x)$. Namun sebelum melangkah lebih jauh, ada hal penting yang perlu kalian perhatikan yakni, di dalam beberapa kasus kita bisa menduga ada faktor dari $f(x)$ yang menyebabkan ketika $x=c$, maka  nilai $\displaystyle f(c) =\frac{0}{0}$. Dugaan sementara tentu saja faktor tersebut adalah $(x-c)$.

Pada kasus $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$ misalnya,  kita dapat menduga bahwa ketika $x=2$, maka faktor yang menyebabkan nilai $\displaystyle f(2) =\frac {0}{0}$ adalah $(x-2)$. Jika memang demikian, maka kita akan mengeliminasi faktor $(x-2)$ ini sehingga menghasilkan fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ seolah-olah menjadi bentuk fungsi yang lebih sederhana. Beberapa diantaranya adalah metode pemfaktoran dan perkalian sekawan. 

B. Metode Pemfaktoran

Kita kembali ke contoh menentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$. Perhatikan bahwa fungsi $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$ dapat kita ubah menjadi:

                   $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x-2}$

    $\Leftrightarrow$           $\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Pada bagian pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir terdapat faktor $(x-2)$ yang menyebabkan ketika $x=2$ nilai $\displaystyle f(2)=\frac {0}{0}$. Karena itu, kita akan menyederhanakan fungsi $f(x)$ tersebut menjadi

Dengan demikian kita bisa menentukan nilai limit $f(x)$ yakni dengan cara mensubtitusikan nilai $x =2$ kedalam persamaan terakhir:

                            $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=x+2=2+2=4$

Harap diingat, bentuk penyederhanaan tersebut diperbolehkan karena kita tidak mencari nilai $f(x)$ di $x=2$ melainkan kisaran nilai $f(x)$ ketika x mendekati 2.

Contoh 2   

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$

Jawab : 

Kita akan cek terlebih dahulu nilai $\displaystyle f(x) =\frac{x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}$  untuk    $x = 3$, yakni:

               $\displaystyle f(3)=\frac{3^2-5.3+6}{2.3^2-5.3-3}=\frac{9-15+6}{18-15-3}=\frac{0}{0}$

 

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni pemfaktoran.

        $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-3)}$

                       $\Leftrightarrow$                    $\displaystyle =\frac{x-2}{2x+1}=\frac{3-2}{2.3+1}=\frac{1}{7}$

 C. Perkalian Sekawan

Metode ini acap kali ampuh untuk digunakan pada soal-soal dimana fungsinya berbentuk akar. Salah satu ciri khas dari metode ini adalah mengalikan soalnya dengan kawannya  tanpa mengubah bentuk soal tersebut. Asumsi dasarnya adalah bahwa 1 bisa diubah kedalam berbagai macam bentuk pecahan seperti misalnya :

                     $\displaystyle 1 = \frac{3}{3}=\frac {a+b}{a+b}=\frac {\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt a -\sqrt b}{\sqrt a -\sqrt b}=...$ dst

Beberapa contoh kawan dari suatu fungsi adalah sebagai berikut:

• $p(x) = a + b$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {a - b}{a-b}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a - b}$  maka kawanya adalah $\displaystyle  \frac {\sqrt{a + b}}{\sqrt{a-b}}$
  
  
• $p(x) = \sqrt {a + b}-\sqrt{a-b}$  maka kawanya adalah   $\displaystyle  \frac {\sqrt {a +b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt {a-b}}$
  

Contoh 3

Tentukan nilai dari     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}$

jawab

Ketika nilai $x = 3$ kita subtitusikan ke dalam fungsi $f(x)$ maka kita dapatkan:

          $\displaystyle  f(3)= \frac {3-\sqrt{18-3^2}}{3-3}=\frac {3-\sqrt 9}{0} =\frac {0}{0}$

karena itu kita tidak dapat menggunakan metode subtitusi. Akan kita coba dengan menggunakan metode perkalian sekawan, yakni:

          $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac {3-\sqrt{18-x^2}}{x-3}=\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-\sqrt {18-x^2}}{x-3}\times \frac {3+\sqrt {18x^2}}{3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {9-(18-x^2)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x^2-9}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {(x-3)(x+3)}{(x-3) \left ( 3+\sqrt {18-x^2}\right )}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {x+3}{ 3+\sqrt {18-x^2}}$

                   $\Leftrightarrow$                   $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 3}\frac {3+3}{ 3+\sqrt {18-3^2}}=\frac{6}{3+\sqrt 9}=\frac {6}{6}=1$

Dengan demikian kita sudah diperkenalkan 3 macam teknik dasar dalam menentukan nilai dari limit fungsi. Sebenarnya masih ada 1 teknik lagi yang juga cukup ampuh yakni D'hospital. Namun teknik ini memerlukan pemahaman lebih lanjut yakni turunan yang nanti juga akan kalian pelajari setelah kalian menguasai materi limit fungsi. Pada kesempatan kali ini saya hanya akan menunjukan sedikit teorema D'Hospital yang berhubungan dengan  limit fungsi: 


Teorema D'Hospital :

Jika untuk $x=c$ nilai fungsi $ \displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} =\frac {0}{0}$ maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow c}\frac {f '(x)}{g ' (x)}$

dimana $f'(x)$ dan $g'(x)$  masing-masing merupakan turunan dari fungsi $f(x)$ dan $g(x)$

======= 0000 ========